A gyűrűelmélet az általános algebra egyik ága , amely a gyűrűk tulajdonságait vizsgálja – az összeadást és szorzást tartalmazó algebrai struktúrák , amelyek viselkedésükben hasonlóak a számok összeadásához és szorzásához. A gyűrűelméletnek két ága van: a kommutatív és a nem kommutatív gyűrűk tanulmányozása.
A kommutatív gyűrűket általában jobban kutatják, mivel a kommutatív algebra fő vizsgálati tárgya , amely a modern matematika fontos részét képezi, eszközöket biztosítva az algebrai geometria és az algebrai számelmélet fejlesztéséhez . Ez a három elmélet olyan szorosan összefügg, hogy nem mindig lehet megjelölni, hogy egy adott eredmény melyik területhez tartozik, például Hilbert nulla tétele alapvető szerepet játszik az algebrai geometriában, de a kommutatív algebra szempontjából fogalmazódik meg és bizonyított. Egy másik példa a Fermat-féle utolsó tétel , amely elemi aritmetika szerint van megfogalmazva (amely a kommutatív algebra része), de bizonyítása az algebrai geometriából és az algebrai számelméletből származó mély eredményeket is felhasználja.
A nem kommutatív gyűrűk viselkedése bonyolultabb, elméletüket hosszú ideig a kommutatív algebrától függetlenül fejlesztették ki, de a 20. század végén az ilyen gyűrűk figyelembevételével egyre inkább geometrikusan építették fel ezt az elméletet. mint függvénygyűrűk (nem létező) "nem kommutatív tereken". Ez a tendencia az 1980-as években indult a nem kommutatív geometria megjelenésével és a kvantumcsoportok felfedezésével , ezen elméletek módszereinek alkalmazásával sikerült jobban megérteni a nem kommutatív gyűrűket, különösen a nem kommutatív Noether-gyűrűket . [1] .
Minden gyűrűre jellemző:
Szerkezeti tételek egyes gyűrűosztályokhoz: