Koherens nyaláb

A koherens tárcsák  olyan tárcsák , amelyek szorosan összefüggenek a hordozótér geometriai tulajdonságaival. A koherens köteg meghatározása egy gyűrűköteget használ , amely ezt a geometriai információt tárolja.

A koherens kötegek a vektorkötegek általánosításának tekinthetők . A vektorkötegektől eltérően ezek egy Abel-féle kategóriát alkotnak , ezért zárva vannak az olyan műveletek alatt, mint a kernelek , a cokernelek és a képek felvétele. A kvázi  -koherens kötegek olyan koherens kötegek általánosítása, amelyek végtelen rangú vektorkötegeket tartalmaznak.

A koherens kévék kohomológiája egy hatékony technika, amelyet különösen koherens tárcsák keresztmetszete tanulmányozására használnak.

Definíciók

Egy kvázi-koherens köteg egy gyűrűs téren ( X , O X ) egy O X - F modulokból álló köteg, amely lokálisan reprezentálható, azaz minden X pontnak van egy nyitott U szomszédsága , amelyre van egy pontos sorrend .

egyes I és J halmazokhoz (esetleg végtelen).

A gyűrűs térben ( X , O X ) lévő koherens köteg egy kvázi-koherens F köteg , amely teljesíti a következő két feltételt:

  1. véges típusú F köteg O X felett , azaz bármely X pontnak van olyan nyitott U környezete , hogy létezik O szürjektív morfizmusn
    X    | U → F | U valamilyen természetes n ;
  2. tetszőleges U ⊂ X nyitott halmazhoz , bármilyen természetes n és bármely morfizmus O X -modul φ: On
    X    | U → F | U , véges típusú kernel φ.

A (kvázi)koherens tárcsák közötti morfizmusok megegyeznek az O X -modulok morfizmusaival.

Tulajdonságok

Egy tetszőleges gyűrűs téren a kvázi-koherens kévék nem alkotnak Abeli-kategóriát. Azonban a kvázi-koherens tekercsek bármilyen séma fölött Abeli ​​kategóriát alkotnak, és ebben az összefüggésben rendkívül hasznosak. [egy]

A tetszőleges gyűrűs téren lévő koherens tárcsák egy Abeli-kategóriát alkotnak, az O X -modulok kategória teljes alkategóriáját.

Egy koherens köteg részmodulja koherens, ha véges típusú. A koherens köteg mindig végesen bemutatott O X -modul, abban az értelemben, hogy bármely X pontnak van egy nyitott U környezete , így az F | Az U -n lévő F köteg U izomorf az O X n morfizmus kokszmagjával | U → O X m | U természetes n és m . Ha O X koherens, akkor fordítva, bármely végesen bemutatott O X -modul koherens.

Egy O X gyűrűköveget koherensnek nevezünk, ha modulként koherens önmagán. Oka koherenciatétele kimondja , hogy egy holomorf függvényköteg egy komplex analitikus térben X koherens. Hasonlóképpen egy lokálisan Noether-féle X sémán az O X szerkezeti köteg koherens. [2]

Koherens gerendák helyi viselkedése

A koherens nyalábok fontos tulajdonsága, hogy egy pontban a koherens nyaláb tulajdonságai szabályozzák a viselkedését az adott pont közelében. Például Nakayama lemmája (geometriai értelemben) kimondja, hogy ha F  egy koherens köteg az X sémán , akkor annak szála, tenzorszorozva az F p ⊗ O X maradék mezővel , p k ( p ) p -nél (a vektor ) a k ( p )) maradékmező feletti tér akkor és csak akkor nulla, ha F nulla p valamely nyitott környezetén . Ehhez kapcsolódó tény, hogy egy koherens nyaláb rétegeinek mérete felső félfolytonos . [3] Így egy koherens kötegnek állandó rangja van egy nyitott részhalmaznál, míg egy zárt részhalmaznál a rang ugrálhat.

Ugyanebben a szellemben: egy F koherens köteg egy X sémán akkor és csak akkor vektorköteg, ha F p szála szabad modul egy lokális O X gyűrű felett , p bármely X - beli p pontra . [négy]

Az általános séma alapján lehetetlen meghatározni, hogy egy koherens köteg vektorköteg-e a rostjaiból, tenzorszorozva a maradék mezőkkel. Az adott lokális Noether-sémában azonban egy koherens köteg akkor és csak akkor vektorköteg, ha a rangja lokálisan állandó. [5]

Koherens kévék kohomológiája

A koherens tárcsák kohomológia elmélete az algebrai geometria egyik fő technikai eszköze. Bár csak az 1950-es években jelent meg, számos korábbi algebrai geometria eredményt érthetőbben fogalmaznak meg a koherens kévékre alkalmazott kévekohomológia nyelvén. Nagyjából elmondható, hogy a koherens tekercsek kohomológiája adott tulajdonságú függvények létrehozásának eszközének tekinthető; vonalkötegek szakaszai vagy általánosabb tárcsák általánosított funkciónak tekinthetők. A komplex analitikus geometriában a koherens tárcsák koherenciája is fontos szerepet játszik.

Eltűnő tételek affin esetben

A komplex elemzést forradalmasították Cartan A és B tételei , amelyeket 1953-ban igazoltak. Ezek az eredmények azt mondják, hogy ha E  egy koherens analitikus köteg egy X Stein téren , akkor E a globális szakaszaiból jön létre, és H i ( X , E ) = 0 minden i > 0 esetén. (Az X komplex tér egy Stein-tér, akkor és csak akkor, ha izomorf egy zárt C n analitikai altérrel bizonyos n esetén .) Ezek az eredmények általánosítanak egy nagy korábbi , adott szingularitású vagy egyéb tulajdonságú komplex analitikai függvények felépítésére vonatkozó munkát.

1955-ben Serre koherens tárcsákat vezetett be az algebrai geometriába (eredetileg egy algebrailag zárt mező fölött , de ezt a korlátozást Grothendieck megszüntette ). Cartan tételeinek analógjai nagy általánosságban igazak: ha E  kvázi-koherens köteg egy X affin sémán , akkor E a globális szakaszaiból generálódik, és H i ( X , E ) = 0, ha i > 0. [6 ] Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a kvázi-koherens tárcsák kategóriája egy X affin sémán ekvivalens az O ( X ) -modulok kategóriájával : az ekvivalencia az E tekercset a H 0 O ( X )-modulba viszi ( X , E ).

Cech-kohomológia és projektív térkohomológia

Az affin sémák koherenciájának eltűnése következtében egy szétválasztható X sémára, az X séma affin nyitott fedelére { U i } és egy kvázi-koherens E szálra X - en a H *( X , E ) kohomológiai csoportok izomorfak a Cech kohomológiai csoportokkal a nyitott fedő { U i } tekintetében. [6] Más szavakkal, ahhoz, hogy X kohomológiáját E -beli együtthatókkal számítsuk ki , elegendő ismerni E szakaszait az U i nyitott affin részhalmazok véges metszéspontjában .

A Cech-kohomológia segítségével kiszámítható egy projektív tér kohomológiája bármely vonalköteg együtthatóival. Ugyanis egy k mezőre, egy n természetes számra és egy j egész számra a P n projektív tér k feletti kohomológiái az O ( j ) vonalköteg együtthatóival a következők: [7]

Ez a számítás különösen azt mutatja, hogy egy k feletti projektív tér kohomológiája bármely vonalkötegben együtthatókkal véges dimenziós, mint k feletti vektorterek .

Ezeknek a kohemológiacsoportoknak az n feletti dimenziókban való eltűnése a Grothendieck eltűnési tétel sajátos esete : az E Abel-csoportok bármely kötegére az n < ∞ dimenziójú  X Noether- topológiai téren H i ( X , E ) = 0 minden i  >  n . [8] Ez az eredmény különösen hasznos, ha X egy Noether-séma (például egy algebrai változat egy mező felett), és E  egy koherens köteg.

Véges dimenziós kohomológia

Egy k mező feletti megfelelő X sémához és egy X -en lévő E koherens köteghez a H i ( X , E ) kohomológiacsoportok véges dimenziós vektorterek k felett . [9] Abban a konkrét esetben, amikor X projektív k felett , ezt a fenti projektív térben lévő vonalkötegek esetére való redukálással bizonyítjuk. A mező feletti megfelelő séma általános esetét a Zhou lemma segítségével projektív esetre való redukálással bizonyítjuk .

A kohomológia véges dimenzióssága a kompakt komplex tér koherens analitikai tárcsáira is vonatkozik. Cartan és Serre ebben az analitikus helyzetben a véges dimenziósságot a Fréchet- térben található kompakt operátorokra vonatkozó Schwarz -tétel segítségével bizonyította .

A kohomológia véges dimenzióssága lehetővé teszi számunkra, hogy a projektív változatok sok érdekes invariánsát kapjuk. Például, ha X  egy nem szinguláris projektív görbe egy algebrailag összehajtott k mező felett , akkor az X nemzetsége a H 1 vektortér dimenziója ( X , O X ). Ha k  a komplex számok mezeje, az egybeesik a klasszikus (euklideszi) topológia X ( C ) komplex pontjainak terének nemzetségével . (Ebben az esetben X ( C ) = X an  egy zárt orientált felület .)

Serra kettősség

A Serre-kettősség a Poincaré-kettősség analógja a koherens kévék koherenciájára. Egy k mező feletti n dimenziójú X sima sajátséma esetén létezik egy H n ( X , K X ) → k természetes nyomvonaltérkép . Az X -en lévő E vektorköteg Serre kettőssége azt mondja ki, hogy a párosítás

tökéletes párosítás bármely i egész számhoz . [10] Konkrétan a H i ( X , E ) és a H n − i ( X , K X ⊗ E *) vektorterek mérete azonos. (Serre a holomorf vektorkötegekre is bebizonyította a Serre-kettősséget egy kompakt komplex sokaságon.) Grothendieck dualitáselmélete magában foglalja az általánosításokat egy tetszőleges koherens kötegre és a sémák tetszőleges sajátmorfizmusára, de az állítások kevésbé elemiek.

Például egy nem szinguláris X projektív görbére egy algebrailag zárt k mező felett a Serre-dualitás azt állítja, hogy az 1-formák terének dimenziója X H 0 ( X ,Ω 1 ) = H 0 ( X , K X ) ponton egybeesik az X nemzetség ( H 1 ( X , O ) dimenziójú ).

GAGA tételek

A GAGA-tételek összetett algebrai variációkat kapcsolnak össze a megfelelő analitikai terekkel. Egy C feletti véges típusú X séma esetén létezik egy függvény az X-en lévő koherens algebrai tárcsáktól a megfelelő X an analitikus tér koherens analitikus tárcsáiig . A GAGA alaptétele kimondja, hogy ha X megfelelő C felett , akkor ez a függvény kategóriaekvivalencia. Ezen túlmenően bármely koherens E algebrai kéve esetén egy megfelelő X sémán C felett a természetes leképezés

az összes i izomorfizmusa . [11] (Az első csoportot a Zariski topológia, a második csoportot a klasszikus (euklideszi) topológia segítségével definiáljuk.) Konkrétan az analitikus és algebrai koherens tekercsek ekvivalenciája egy projektív térben azt a Chou-tételt jelenti, hogy bármely A CP n zárt analitikus altere algebrai.

Eltűnő tételek

A Serre Vanishing Theorem kimondja, hogy minden bőséges L vonalköteghez egy megfelelő X sémán egy Noether -gyűrűn és bármely F koherens köteghez X -en létezik olyan m 0 egész szám , hogy minden m ≥ m 0 esetén a köteg F ⊗ L ⊗ m globális szakaszok által generált, és nincs magasabb kohomológiája. [12]

Bár Serre eltűnési tétele hasznos, az m 0 szám nem ismerete gondot jelenthet. A Kodaira eltűnési tétel egy fontos explicit eredmény. Nevezetesen, ha X  egy sima projektív változat egy karakterisztikus 0 mező felett, L  egy bőséges vonalköteg X -en , és K X  a kanonikus köteg , akkor

Minden j > 0 esetén. Vegyük észre, hogy a Serre-tétel ugyanazt az eltűnést garantálja L nagy hatványaira . A Kodaira eltűnési tétel és általánosításai alapvető szerepet játszanak az algebrai változatok osztályozásában és a minimális modellek programjában . A Kodaira eltűnési tétele nem érvényesül a pozitív karakterisztikájú mezőkre. [13]

Jegyzetek

  1. ↑ Stacks Project, Tag 01LA Archivált : 2017. szeptember 3. a Wayback Machine -nél .
  2. ↑ Grothendieck, EGA I, Corollaire 1.5.2.
  3. ↑ Hartshorne (1981), Példa III.12.7.2.
  4. ↑ Grothendieck, EGA I, Ch. 0, 5.2.7.
  5. ↑ Eisenbud (1995), 20.13. gyakorlat.
  6. ↑ 1 2 Stacks Project, Tag 01X8 , < http://stacks.math.columbia.edu/tag/01X8 > Archivált : 2017. szeptember 3. a Wayback Machine -nél . 
  7. ↑ Hartshorne (1981), III.5.1. Tétel.
  8. ↑ Hartshorne (1977), III.2.7. Tétel.
  9. ↑ Stacks Project, Tag 02O3 , < http://stacks.math.columbia.edu/tag/02O3 > Archivált : 2017. december 23. a Wayback Machine -nél . 
  10. ↑ Hartshorne (1981), III.7.6. Tétel.
  11. ↑ Grothendieck & Raynaud, SGA 1, Exposé XII.
  12. ↑ Hartshorne (1981), II.5.17. tétel és III.5.3. tétel.
  13. ↑ Michel Raynaud . Contre-example au isinging theorem en caractéristique p > 0 . CP Ramanujamban - tiszteletadás , Tata Inst . alap. Res. Tanulmányok matematikából. 8, Berlin, New York: Springer-Verlag, (1978), pp. 273-278.

Irodalom