Poincaré kettősség

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 22-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A matematikában Poincaré kettősségi tétele , amelyet Henri Poincaré francia matematikusról neveztek el , alapvető eredmény a homológiacsoportok és a kohomológiai sokaságok szerkezetére vonatkozóan . Azt állítja, hogy egy n - dimenziós , orientálható zárt M sokaság összes k- adik kohomológiai csoportja izomorf az M ( n − k )-edik homológiacsoportjával :

H^{k}(M)\cong H_{nk}(M).

Történelem

A dualitástétel eredeti változatát Poincare fogalmazta meg bizonyítás nélkül 1893 -ban . A kohomológiákat csak két évtizeddel halála után találták fel, ezért a kettősség gondolatát Betti-számokban fogalmazta meg : egy zárt (határ nélküli tömör) orientálható n - k - adik és ( n - k )-edik Betti-száma. Az elosztó mérete egyenlő:

b_{k}(M)=b_{nk}(M).

Poincaré később bizonyítást adott ennek a tételnek a kettős háromszögelés szempontjából [1] [2] .

Modern megfogalmazás

A Poincare-kettősség modern megfogalmazása magában foglalja a homológia és a kohomológia fogalmát: ha M egy zárt, orientálható n - dimenziós sokaság, k egy egész szám , akkor van a k-edik kohemológiacsoport kanonikus izomorfizmusa az ( n − k ) -edik homológiába. csoport : $H^{k}(M)$ $H_{nk}(M)$

D:H^{k}(M)\to H_{nk}(M)

Ezt az izomorfizmust a sokaság alaposztálya határozza meg : $[M]$

D(\alpha )=[M]\kocka \alpha

ahol egy kociklus , a homológia és a kohomológia osztályok szorzatát jelöli . Itt megadjuk az egész számok gyűrűjében lévő együtthatókkal való homológiát és kohomológiát, de az izomorfizmus egy tetszőleges együtthatógyűrűre is megtörténik. $\alpha \in H^{k}(M)$ $\ homlokát ráncolva$ $\ homlokát ráncolva$

A nem tömör, orientálható elosztók esetében az ebben a képletben szereplő kohemológiát a kompakt alátámasztással rendelkező kohomológiára kell cserélni .

A Poincaré-kettősség szerint a definíció szerint nulla homológia és kohomológia csoportok esetében az n - dimenziós sokaság homológia és kohomológia csoportja nulla. $k<0$ $k>n$

Bilineáris párosítás

Legyen M egy zárt orientálható sokaság, amelyet a csoport torziója és szabad része jelöl; az összes homológiacsoportot egész együtthatókkal vettük. Vannak bilineáris leképezések : $\tau H_{k}(M)$ $H_{k}(M)$ $fH_{k}(M)=H_{k}(M)/\tau H_{k}(M)$

fH_{k}(M)\otimes fH_{nk}(M)\to \mathbb {Z}

és

\tau H_{k}(M)\otimes \tau H_{nk-1}(M)\to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .

(Itt a racionális számok egész számok feletti csoportjának additív tényezőcsoportja .)

\mathbb {Q} /\mathbb {Z}

Az első formát metszésponti indexnek , a másodikat a kapcsolódási együtthatónak nevezzük . A metszésindex határozza meg a csoportok szabad részei közötti nem degenerált kettősséget , a kapcsolási együttható pedig a csoportok és a torziója között . $H_{k}(M)$ $H_{nk}(M)$ $H_{k}(M)$ $H_{nk-1}(M)$

Az az állítás, hogy ezek a bilineáris párosítások meghatározzák a dualitást, azt jelenti, hogy a leképezések

fH_{k}(M)\to \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(fH_{nk}(M),\mathbb {Z} )

és

\tau H_{k}(M)\to \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(\tau H_{nk-1}(M),\mathbb {Q} /\mathbb {Z } )

csoportos izomorfizmusok.

Ez az eredmény a Poincaré kettősség és az univerzális együttható tétel következménye , amelyek a és az egyenlőségeket adják . Így a csoportok izomorfok, bár nincs természetes izomorfizmus, és hasonlóan, . $H_{k}(M)\simeq H^{nk}(M)$ $fH^{nk}(M)\equiv \mathrm {Hom} (H_{nk}(M);\mathbb {Z} )$ $\tau H^{nk}(M)\equiv \mathrm {Ext} (H_{nk-1}(M);\mathbb {Z} )\equiv \mathrm {Hom} (\tau H_{nk -1}(M);\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )$ $fH_{k}(M)\simeq fH_{nk}(M)$ $\tau H_{k}(M)\simeq \tau H_{nk-1}(M)$

Linkek

↑ Henri Poincaré, Complément à l'Analysis Situs , Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 13 (1899) 285-343 oldal
↑ Henri Poincaré, Second complément à l'Analysis Situs , Proceedings of the London Mathematical Society, 32 (1900), 277-308.

Irodalom

Dold A. Előadások az algebrai topológiáról . — M. : Mir, 1976
Fomenko A. T., Fuchs D. B. A homotópia topológia kurzusa. - M .: Nauka, 1989