Minimális modellprogram

A minimálmodellprogram az algebrai változatok biracionális osztályozásának része . Célja bármely összetett projektív változat lehető legegyszerűbb birációs modelljének felépítése . A tárgy az olasz iskola által tanulmányozott és jelenleg aktívan tanulmányozott felületek klasszikus birációs geometriáján alapul.

Alapelvek

Az elmélet fő gondolata, hogy leegyszerűsítse a fajták biracionális osztályozását azáltal, hogy minden birational ekvivalencia osztályban talál egy fajtát, amely "a lehető legegyszerűbb". Ennek a kifejezésnek a pontos jelentése magának az elméletnek a fejlődésével együtt alakul. Eredetileg a felületeknél ez egy sima változat megtalálását jelentette , amelyre minden sima felületű biracionális morfizmus izomorfizmus . $x$ $f:X\rightarrow X'$ $X'$

A modern megfogalmazásban az elmélet célja a következő. Tegyük fel, hogy kapunk egy projektív sokaságot , amelyről az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy nem szinguláris. Két lehetőség van: $x$

Ha Kodaira dimenzióval rendelkezik , akkor egy birational fajtát akarunk találni , és egy olyan morfizmust egy projektív változatba , amely egy általános szál antikanonikus osztályával bőséges . Az ilyen morfizmust Fano fibrációs térnek nevezik . $x$ $\kappa (X,K_{X})=-\infty$ $X^\prime$ $x$ $f:X'\rightarrow Y$ $Y$ ${\displaystyle \mathrm {dim} Y<\mathrm {dim} X^{\prime ))$ $-K_{F}$ $F$
Ha nem kevesebb, mint 0, akkor meg akarjuk találni a birationalt a kanonikus nef-osztállyal . Ebben az esetben a minimális modell a . $\kappa (X,K_{X})$ $X'$ $x$ $K_{X^{\prime ))$ $X'$ $x$

Fontos a sokaságok nem szingularitásának kérdése és a fentebb megadott. Természetesnek tűnik abban reménykedni, hogy ha a sima -el kezdjük, mindig találunk egy minimális modellt vagy Fano-szálas teret a sima elosztók kategóriáján belül. Ez azonban nem igaz, ezért szükségessé válik az egyes sokaságok figyelembevétele. A kialakuló szingularitásokat terminális szingularitásoknak nevezzük . $X'$ $x$ $x$

Minimális felületmodellek

Bármilyen irreducibilis komplex algebrai görbe birális az egyetlen sima projektív görbéhez, így a görbék elmélete triviális. A felszíni esetet először az olaszok tárták fel a tizenkilencedik század végén és a huszadik század elején. Castelnuovo összehúzódási tétele lényegében leírja bármely sima felület minimális modelljének megalkotásának folyamatát. A tétel kimondja, hogy bármely nem triviális birációs morfizmusnak egy −1-es görbét sima ponttá kell összehúznia, és fordítva, minden ilyen görbe simán összehúzható. Itt a −1-görbe egy sima racionális C görbe C önmetszésponttal . C = −1. Minden ilyen görbének K -nek kell lennie . C = −1, ami azt mutatja, hogy ha a kanonikus osztály nef, akkor a felületnek nincsenek −1-görbéi. $f:X\rightarrow Y$

Castelnuovo tételéből következik, hogy egy sima felület minimális modelljének megalkotásához egyszerűen összehúzzuk az összes −1-görbét a felületen, és a kapott Y sokaság vagy az (egyedi) minimálmodell K nef osztályú, vagy egy szabályos felület ( amely ugyanaz, mint a Fano fibráció 2-dimenziós tere, és vagy egy projektív sík, vagy egy görbe feletti szabályzott felület). A második esetben az X -re vonatkozó szabályozott felületi bináció nem egyedi, bár létezik egyedi felületi izomorf egy projektív egyenes és egy görbe szorzatára.

Minimális modellek nagy dimenziós terekben

A 2-nél nagyobb dimenzióknál erősebb elméletről van szó. Konkrétan vannak olyan sima fajták , amelyek nem tartoznak a kanonikus nef osztályú sima fajtákhoz. Az 1970-es és az 1980-as évek eleji nagy koncepcionális előrelépés, a minimális modellek felépítése továbbra is lehetséges a lehetséges modellkülönlegességek gondos leírásával. (Például szeretnénk megérteni, ha a nef-osztály, ezért meg kell határozni a metszéspontok számát . Ezért legalább a sokaságainknak Cartier-osztóval kell rendelkezniük valamilyen pozitív számra .) $x$ $X'$ ${\displaystyle K_{X'))$ $K_{X'}{\cdot }C$ ${\displaystyle nK_{X'))$ $n$

Az első kulcsfontosságú eredmény a Mori - kúptétel amely leírja a görbék kúpjának szerkezetét . Röviden, a tétel megmutatja, hogy -ból kiindulva indukcióval olyan fajták sorozatát lehet létrehozni , amelyek mindegyike "közelebb" van a nef osztályhoz, mint az előző . A folyamat azonban nehézségekbe ütközhet – egy ponton az elosztó „túl egyedivé” válhat. Ennek a problémának a hipotetikus megoldása a restrukturálás , amely a 2. kóddimenziójú műtét egy típusa . Nem világos, hogy létezik-e a szükséges átrendeződés, vagy a folyamat mindig megszakad (vagyis véges számú lépésben érjük el a minimális modellt.) Maury [1] kimutatta, hogy 3 dimenziós esetben léteznek átrendeződések. $x$ $x$ $X_{i}$ $K_{X_{i))$ $X_{i}$ $X_{i}$ $X'$

Az általánosabb rönk-átrendezések létezését Shokurov [2] állapította meg a harmadik és negyedik dimenzióra. Ezt követően ezt Birkar , Caschini, Hakon és McKernan magasabb dimenziókra általánosította, Shokurov, Hakon és McKernan korábbi munkáira építve . Más problémákat is felvetettek, beleértve a rönkkanonikus gyűrűk általánosítását és az általános rönkosztók minimális modelljeinek meglétét.

A magasabb dimenziós terekben a rönk átrendeződések megszakításának problémája továbbra is aktív kutatás tárgya.

Irodalom

Shokurov V.V. Háromdimenziós log peresztrojka // Izv. RAN. - 1992. - T. 56 , sz. 1 . – S. 105–203 .
Caucher Birkar, Paolo Cascini, Christopher Hacon, James McKenan. Minimális modellek létezése a log általános típus fajtáihoz // Journal of the American Mathematical Society . - 2010. - T. 23 , sz. 2 . – S. 405–468 . - doi : 10.1090/S0894-0347-09-00649-3 .
Herbert Clemens, Kollár János, Shigefumi Mori. Magasabb dimenziós komplex geometria // Asterisque. - 1988. - Kiadás. 166 . - S. 144 . — ISSN 0303-1179 .
Osamu Fujino. Új fejlemények a minimális modellek elméletében // Sugaku. - Mathematical Society of Japan, 2009. - V. 61 , no. 2 . – S. 162–186 . — ISSN 0039-470X .
Kollár János. Az algebrai hármas szerkezete: bevezetés Mori programjába // American Mathematical Society. Bulletin. új sorozat. - 1987. - T. 17 , sz. 2 . – S. 211–273 . — ISSN 0002-9904 . - doi : 10.1090/S0273-0979-1987-15548-0 .
Kollár János. Az algebrai hármasok minimális modelljei: Mori programja // Asterisque. - 1989. - Kiadás. 177 . – S. 303–326 . — ISSN 0303-1179 .
Kollár János. Racionális görbék algebrai változatokon. - Berlin: Springer-Verlag, 1996. - V. 32. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3. Series. A Series of Modern Surveys matematikából]). — ISBN 978-3-642-08219-1 . - doi : 10.1007/978-3-662-03276-3 .
Kollár János, Shigefumi Mori. Algebrai változatok biracionális geometriája. - Cambridge University Press , 1998. - V. 134. - (Cambridge Tracts in Mathematics). - ISBN 978-0-521-63277-5 .
Kenji Matsuki. A Mori program bemutatása. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 2002. - (Universitex). - ISBN 978-0-387-98465-0 .
Shigefumi Mori. Flip tétel és a 3-szoros minimális modellek létezése. — Az Amerikai Matematikai Társaság folyóirata . - American Mathematical Society, 1988. - V. 1. - S. 117-253. - doi : 10.2307/1990969 .
Yujiro Kawamata. Mori-elmélet a szélsőséges sugarakról // Matematikai enciklopédia / Michiel Hazewinkel. - Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, 1994. - ISBN 978-1-55608-010-4 .