Tenzoralgebra

A lineáris tér tenzoralgebrája (jelölése ) bármely rangú tenzorok algebrája a tenzorszorzás műveletével. $V$ $T(V)$ $V$

Tenzoralgebrának is nevezik a lineáris algebra megfelelő szakaszát (azaz az egyetlen lineáris térben meghatározott tenzorokkal foglalkozó szakaszt, ellentétben a tenzoranalízissel , amely egy sokaság érintőkötegében definiált tenzormezőkkel és ezek differenciálrelációival foglalkozik. mezők).

Definíció

Legyen V vektortér egy K mező felett . Bármely k természetes szám esetén V k - edik tenzorhatványát V tenzorszorzataként és önmagának k -szoros szorzataként definiáljuk :

T^{k}V=V^{\otimes k}=V\otimes V\otimes \cdots \otimes V

Így T k V az összes V feletti k rangú tenzorból áll . Feltételezzük, hogy T 0 V a K talajmező (egydimenziós vektortér önmaga felett).

Definiáljuk T ( V ) T k V közvetlen összegeként minden k = 0,1,2,…

T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}V=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V )\oplus \cdots

A T ( V ) - ben való szorzást a tenzorszorzat által megadott kanonikus izomorfizmus határozza meg :

T^{k}V\times T^{\ell }V\to T^{k+\ell }V

amely ezután linearitásban folytatódik a T egészére ( V ). Egy ilyen szorzás a T ( V ) tenzoralgebrát fokozatos algebrává alakítja .

Univerzális tulajdonság és funkcionalitás

A T ( V ) tenzoralgebra a V vektortér szabad algebrája . Mint minden más szabad konstrukciónál , T a felejtő függvény bal oldali adjunkt függvénye (amely ebben az esetben a K-algebrát a vektorterébe küldi). Egy tenzoralgebra teljesíti a következő univerzális tulajdonságot , amely formalizálja azt az állítást, hogy ez a legáltalánosabb V teret tartalmazó algebra :

Bármilyen lineáris leképezés egy V térből egy K mezőn át egy A feletti algebrába egyedileg kiterjeszthető egy algebra homomorfizmusra . Ezt az állítást a kommutatív diagram fejezi ki :

f:V\to A

{\bar {f}}:T(V)\to A

ahol i V kanonikus beágyazása T-be ( V ) . A tenzoralgebra definiálható úgy, mint az egyetlen (maximum izomorfizmusig ) algebra, amely rendelkezik ezzel a tulajdonsággal, bár még mindig szükséges egyértelműen kimutatni, hogy létezik ilyen algebra.

A fenti univerzális tulajdonság azt mutatja, hogy a tenzoralgebra funkcionális , azaz T a K feletti vektorterek K -Vect kategóriájából a K -Alg K -algebrák kategóriájába tartozó függvény . Az a tény, hogy T funkcionális, azt jelenti, hogy bármely V-ből W-be történő lineáris leképezés egyértelműen kiterjeszthető a T(V) algebra homomorfizmusára T(W)-re.

Nem kommutatív polinomok

Ha V dimenziója véges és egyenlő n -nel, akkor a tenzoralgebra egy polinomiális algebraként tekinthető K felett n nem kommutatív változóval. A V bázisvektorok nem kommutatív változóknak felelnek meg, szorzásuk asszociatív, disztributív és K -lineáris lesz.

Vegyük észre, hogy a polinomiális algebra V felett nem , hanem : a V -n lévő homogén lineáris függvény a duális tér eleme . $T(V)$ $T(V^{*})$ $V^*$

Tényezőalgebrák

A tenzoralgebra általánosságából adódóan az V tér számos más fontos algebrája is előállítható úgy, hogy a tenzoralgebra generátoraira bizonyos korlátozásokat írunk elő, azaz T -ből ( V ) faktoralgebrát készítünk. Például a külső algebra , a szimmetrikus algebra és a Clifford algebra megszerkeszthető így .

Változatok és általánosítások

A tenzoralgebra lineáris téren való felépítése természetesen általánosít egy tenzoralgebrát egy kommutatív gyűrű feletti M modulon . Ha R egy nem kommutatív gyűrű , akkor tetszőleges R - bimodulokhoz készíthetünk tenzorszorzatot M felett . A közönséges R - modulok esetében lehetetlen több tenzoros szorzatot létrehozni.

Linkek

Vinberg E. B. Algebra tanfolyam - M . : Factorial Press Kiadó - 2002, ISBN 5-88688-060-7