Injekció (matematika)

Az injektálás ( injektív leképezés ) a matematikában egy halmaz leképezése halmazba ( ), amelyben a halmaz különböző elemei a halmaz különböző elemeire fordítódnak le , vagyis ha a leképezés során két kép egybeesik, akkor az előképek egybeesnek . : . $f$ $x$ $Y$ $f\kettőspont X\Y-ra$ $x$ $Y$ $f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$

Az injekciót beágyazásnak vagy egy-egy leképezésnek is nevezik (szemben a bijekcióval , amely egy az egyhez ). Ellentétben a surjekcióval , amelyről azt mondják, hogy az egyik halmazt leképezi a másikra, az injekcióval kapcsolatos hasonló kifejezés a -hoz való leképezésként van megfogalmazva . $f\kettőspont X\Y-ra$ $x$ $Y$

Az injekciót úgy is definiálhatjuk, mint egy leképezést, amelyre létezik bal oldali inverz , azaz injektív módon, ha létezik olyan, hogy az összetétel . $f\kettőspont X\Y-ra$ $g\kettőspont Y\-től X-ig$ $g\circ f=\operátornév{id}_X$

Az injekció fogalma (a szurjekcióval és a bijekcióval együtt) Bourbaki munkáiban jelent meg, és a matematika szinte minden ágában elterjedt.

Példák

$f\colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=\ln x$ ( természetes logaritmus ) - injektív és szürjektív (itt - a pozitív számok halmaza ). $\mathbb {R} _{>0}$
${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{2))$ — injektíven (itt — a nemnegatív számok halmaza ). $\R_+$
${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;f(x)=x^{2))$ — nem injektív, hiszen . $f(-2)=f(2)=4$

Alkalmazás

Az injekció fogalmának alkalmazásának egyik alkalmazott példája az entitások közötti egy-egy kapcsolat megszervezése relációs adatmodellben .
Az ideális hash függvény injektív.

Általánosítások

Az injekció fogalmának általánosítása a kategóriaelméletben a monomorfizmus fogalma . Sok kategóriában, bár nem mindenben, ezek a fogalmak egyenértékűek.

Irodalom

N. K. Verescsagin, A. Shen. A halmazelmélet kezdetei // Előadások a matematikai logikáról és az algoritmusok elméletéről . (nem elérhető link)
Ershov Yu. L., Palyutin E. A. Matematikai logika: Tankönyv. - 3., sztereotípia. szerk. - Szentpétervár. : Lan, 2004. - 336 p.