Algebrai változat

Az algebrai geometria tanulmányozásának központi tárgya egy algebrai változat . Az algebrai változat klasszikus definíciója a valós vagy komplex számok feletti algebrai egyenletrendszer megoldásainak halmaza. A modern definíciók többféleképpen általánosítják, de igyekeznek a geometriai intuíciót összhangban tartani ezzel a meghatározással [1] .

Az algebrai fajta definíciója szerzőnként kissé eltérhet: egyes szerzők [2] az irreducibilitás tulajdonságát is belefoglalják a definícióba (ez azt jelenti, hogy egy fajta nem lehet kisebb fajták egyesülése, lásd alább), míg mások [3 ] redukálhatatlan és "általános" sokféleség. Ebben a cikkben ragaszkodunk az első konvencióhoz, és olyan egyenletrendszerek megoldási halmazait hívjuk meg, amelyek nem redukálhatatlan algebrai halmazok .

Az algebrai változat fogalma némileg hasonlít a sima variáció fogalmához . A különbség az, hogy az algebrai változatoknak, a sima fajtákkal ellentétben, lehetnek egyes pontjai . Egy valós algebrai változat nem szinguláris pontjának szomszédsága izomorf egy sima változathoz.

1800 körül bebizonyosodott, hogy az algebra alaptétele kapcsolatot teremtett az algebra és a geometria között , megmutatva, hogy egy változóban (algebrai objektumban) lévő redukált polinomot egyértelműen komplex gyökei határoznak meg, vagyis a komplex síkon egy véges ponthalmaz ( geometriai objektum). Hilbert nulltétele , általánosítva ezt az eredményt, alapvető megfelelést hozott létre a polinomiális gyűrűideálok és az algebrai változatok között. Hilbert nulltételét és a kapcsolódó eredményeket felhasználva a matematikusok megfeleltetést állapítottak meg az algebrai változatokra vonatkozó kérdések és a gyűrűelméletre vonatkozó kérdések között ; az ilyen megfeleltetések használata az algebrai geometria jellemzője.

Definíciók

Az algebrai fajtáknak különböző típusai vannak: affin fajták, projektív fajták, kvázi-projektív fajták. A legáltalánosabb értelemben vett algebrai változatot több kvázi-projektív változat összeragasztásával kapunk.

Affin fajták

Legyen k algebrailag zárt mező (a klasszikus algebrai geometriában a komplex számok mezője ); egy n - dimenziós affin tér k felett . A klasszikus elemzésből van egy tétel, amely kimondja, hogy a zárt részhalmazok pontosan az összes lehetséges korlátlanul differenciálható függvény nulla halmazai . [4] A Zariski topológia bizonyos értelemben kiterjeszti ezt a tulajdonságot a polinomfüggvények esetére : a Zariski topológia meghatározásakor minden n változós polinomkészlet az affin tér azon pontjaihoz van társítva, ahol ezek a polinomok eltűnnek: ${\mathbb A}^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

Z(S)=\{x\in {\mathbb A}^{n}\mid f(x)=0\;\forall f\in S\}.

A Zariski topológiában a zárt halmazok mind Z ( S ) alakú halmazok , ezeket a zárt halmazokat algebrai halmazoknak is nevezzük . Az affin algebrai változat olyan algebrai halmaz, amely nem ábrázolható két kisebb algebrai halmaz uniójaként. ${\mathbb A}^{n}$

Egy részhalmaz egy olyan ideálhoz társítható, amely nullával egyenlő polinomokból áll ezen a részhalmazon: $V\subseteq \mathbb {A} ^{n}$

I(V)=\{f\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]\mid f(x)=0\;\forall x\in V\}.

Abban az esetben, ha V egy algebrai változat, a polinomok gyűrűjének az ideális I ( V ) faktorgyűrűjét az adott változat koordinátagyűrűjének nevezzük, amelyet általában k [ V ]-vel jelölünk. Vegyük észre, hogy egy V algebrai halmaz akkor és csak akkor variáció, ha I ( V ) prímideál (vagy ennek megfelelően a koordinátagyűrű integrál ).

Projektív és kvázi-projektív fajták

Legyen k egy algebrailag zárt mező és egy n - dimenziós projektív tér k felett , azaz egy projektivizáció . Ezen a téren egyetlen polinom sem definiál függvényt (mivel egy pontnak sok különböző homogén koordinátája van), azonban egy n + 1 változós homogén polinomnál pontosan meg lehet határozni azokat a pontokat, ahol a polinom egyenlő nullával (mivel arányos homogén koordináták vannak megfelelnek a homogén polinom arányos értékeinek). Így az S homogén polinomok halmaza társítható azon Z ( S ) pontok halmazához, ahol ezek a polinomok egyenlők nullával, ez határozza meg a Zariski topológiát a projektív téren. A projektív algebrai változat egy projektív tér irreducibilis zárt (a Zariski topológiában) részhalmaza . A V halmaz egy homogén ideálhoz köthető, amelyet a V -n eltűnt homogén polinomok generálnak . Az általa alkotott hányadosgyűrűt homogén koordinátagyűrűnek nevezzük . ${\mathbb P}^{n}$ ${\mathbb A}^{{n+1}}$ ${\mathbb {P}}^{n}$

A kvázi-projektív fajta egy projektív fajta nyitott részhalmaza. Különösen minden affin fajta izomorf egy kvázi-projektívvel [5] .

Absztrakt algebrai változatok

A klasszikus algebrai geometriában csak a kvázi-projektív változatokat vették figyelembe. Ennek a definíciónak az a hátránya, hogy egy fajta bizonyos beágyazódását egy projektív térben kell rögzíteni: például egy fajtát nem lehet fajtának nevezni mindaddig, amíg a projektív térbe való beágyazódása nem adott (egy ilyen beágyazás megadásához a Segre beágyazás használatához ). Ezen túlmenően, ha egy algebrai változat beágyazható egy projektív térbe, akkor végtelen számú másikba is beágyazható Veronese beágyazású kompozíció használatával . Korántsem nyilvánvaló, hogy az elosztók tulajdonságai (például az elosztók közötti leképezés szabályos tulajdonsága) nem függnek az ilyen beágyazás megválasztásától. ${\mathbb P}^{1}\times {\mathbb P}^{1}$

Az első kísérletet egy algebrai változat absztrakt meghatározására (azaz a projektív térbe való beágyazás megadása nélkül) Weil tette , aki az Algebrai Geometria alapjai című művében definiálta a változatokat az értékelések alapján . Claude Chevallet olyan sémadefiníciót javasolt, amely több helyzetben működött. Alexander Grothendieck sémadefiníciója azonban még általánosabb volt, és számos matematikus elfogadta. A sémaelmélet nyelvén az algebrai változatot általában véges típusú, egész szétválasztható sémaként definiálják egy algebrailag zárt mező felett [6] , egyes szerzők az algebrai zártság vagy irreducibilitás követelményét is elutasítják.

Példák

Az alábbiakban néhány példa az algebrai változatokra (sőt, ezek mind algebrai görbék ). Sok más példa is található az algebrai görbék kategóriájában .

Az algebrai fajták speciális esetei

Elosztócső mérete → Polinom fokozat↓	0	egy	2	…	k
egy	Pont	Egyenes	Repülőgép	…	hipersík
2		Konika	Másodrendű felület	…	Quadric
3		kocka	A harmadik rend felülete	…	3. rendű elosztó
négy		kvartikus	A negyedik rend felülete	…	Elosztó 4 rendelés
…		…	…	…	…
k		Algebrai görbe	Algebrai felület	…	Algebrai változat

Affin vonal

Tekintsünk egy polinomot a gyűrűből ${\mathbb C}[x,y]:$

f(x,y)=ax+by+c.

Ennek a polinomnak a nullák halmaza egy affin egyenes -ben . Annak bizonyításához, hogy egy affin egyenes algebrai változat, elegendő észrevenni, hogy a polinom irreducibilis , a k [ x , y ] gyűrű pedig faktoriális (faktoriális gyűrűben az irreducibilis polinom által generált főideál egyszerű ). ${\mathbb C}^{2}$ $ax+by+c$

Quadrics

Minden ellipszis, parabola és hiperbola (vagyis minden nem degenerált négyzet ) a komplex sík algebrai részsokaságai. A degenerált négyzet nem mindig algebrai változat: például egy négyes ábrázolható két egyenes uniójaként, ebben az esetben az ilyen ábrázolás egyedi. Ez nem véletlen: bármely algebrai halmaz ábrázolható véges számú algebrai variáns uniójaként (amelyek közül egyik sem egy másik alváltozata), ráadásul egyedi módon [7] . $xy$

Twisted Cube

A tér pontjainak alakja egy affin algebrai változat, ráadásul egy olyan algebrai görbe, amely egyetlen síkban sem szerepel. [8] Ez a halmaz a fenti ábrán látható „csavart kocka” (pontosabban a háromdimenziós valós térre való vetülete látható). Két egyenlet közös nulláinak halmazaként definiálható: ${\mathbb C}^{3}$ $(z,z^{2},z^{3})$

{\begin{aligned}yx^{2}&=0\\zx^{3}&=0.\,\end{aligned}}

Ennek a halmaznak a redukálhatatlanságát a legegyszerűbben az ( x , y , z ) → ( x , y ) projekcióval bizonyíthatjuk, amely injektív a megoldások halmazán, és amelynek képe egy irreducibilis görbe (parabola).

A csavart köböst általában projektív változatnak tekintik -ben , ami a veronai leképezés képe . Sok tankönyvben a legegyszerűbb példaként szerepel egy olyan görbére egy projektív térben, amely nem lineáris. A fenti fajta képét az egyik affin diagramon figyelembe vettük . ${\mathbb P}^{3}$

Kapcsolódó definíciók

Rendszeres megjelenítés

Az affin fajták közötti szabályos leképezés polinomok által adott leképezés. Pontosabban, ha affin sokaságok, a reguláris leképezés a forma leképezése , ahol , és , vagyis az X -ből származó bármely pont képe kielégíti az Y -t definiáló egyenleteket . $X\in {\mathbb A}^{n}, Y\in {\mathbb A}^{m}$ $f=(f_{1},\pontok,f_{m})$ $f_{i}\in k[x_{1},\pontok ,x_{n}]/I(X)$ $f(X)\subseteq Y$

Általánosabban fogalmazva, a kvázi-projektív változatok ƒ : X → Y leképezése szabályos egy x pontban , ha létezik x-nek egy U szomszédsága és f ( x ) -nek V szomszédsága úgy, hogy az ƒ : U → V megszorítás reguláris. (affin) fajták feltérképezése. Ekkor egy leképezés reguláris , ha reguláris a definíciós tartomány minden pontján.

A szabályos leképezést reguláris függvénynek nevezzük . A reguláris függvények gyűrűjét egy V affin változaton k koordinátagyűrűnek nevezzük [ V ]. Ez a definíció egybeesik a koordinátagyűrű fent megadott definíciójával , mivel két reguláris függvény akkor és csak akkor nem esik egybe, ha különbségük a -hoz tartozik . Ezenkívül ez a gyűrű egybeesik a racionális függvények gyűrűjével, amelyek értéke véges V minden pontjában (ennek bizonyítása a változat irreducibilitását használja [9] ), vagy még elvontabban a globális szakaszok gyűrűjével. a szerkezeti köteg V -n (lásd a Gyűrű spektruma , Scheme című cikkeket ). A k ( V ) függvények mezejét is figyelembe vehetjük egy V algebrai változaton , amely a V összes racionális függvényét tartalmazza . ${\mathbb A}^{1}$ ${\mathbb A}^{n}$ $V\in {\mathbb A}^{n}$ $I(V)$

A reguláris leképezések definíció szerint az algebrai változatok kategóriájába tartozó morfizmusok . Különösen abból a tényből, hogy az affin sémák kategóriája kettős a kommutatív gyűrűk kategóriájával , az következik, hogy az affin változatok közötti rendszeres leképezések egy az egyben megfelelnek koordinátagyűrűik homomorfizmusának .

A reverzibilis reguláris leképezést, amelynek inverze is reguláris, bireguláris leképezésnek nevezzük . Az algebrai változatok akkor és csak akkor izomorfok, ha bireguláris leképezés van közöttük.

A leképezés szabályossága meglehetősen erős feltétel: például Liouville tételéből az következik, hogy a projektív változaton az egyetlen reguláris függvény a konstans. Emiatt gyakran gyengébb feltételeket alkalmaznak - a leképezés racionalitását és a fajták biracionális egyenértékűségét .

Egy elosztó mérete

Legyen k [ V ] V koordinátagyűrűje . Ekkor V dimenziója a k [ V ] gyűrű törtmezejének transzcendenciájának mértéke a k mező kiterjesztéseként [ 10] .

A dimenziónak sok egyenértékű definíciója létezik. Legyen például x egy tetszőleges nem szinguláris pontja a V változatnak , akkor a V -n lévő szerkezeti köteg lehetővé teszi, hogy definiáljuk a „racionális függvények x pontban” lokális R x gyűrűjét maximális ideális m értékkel , majd a méret a fajtából az m / m 2 faktorgyűrű dimenziója az R x / m mező feletti vektortérként . Egy másik definíció: egy A affin fajta dimenziója az n felső része úgy, hogy létezik affin alváltozatok lánca . $X_{0}\subsetneq X_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq X_{n}=A$

Az 1-es dimenziójú algebrai változatokat algebrai görbéknek nevezzük . Leggyakrabban összetett algebrai görbéket veszünk figyelembe, amelyek egy nem szinguláris pont közelében homeomorfak egy kétdimenziós valós változathoz . Az összetett algebrai görbe nemzetsége a megfelelő topológiai felület nemzetsége.

A 2-es dimenziójú algebrai változatokat algebrai felületeknek nevezzük .

Lásd még

Séma (matematika)

Jegyzetek

↑ Hartshorne, 1981 , p. 86-88.
↑ Hartshorne, 1981 , p. tizennyolc.
↑ Harris, 2005 , p. 17.
↑ Jet Nestruev . Sima elosztók és megfigyelhetők. 2. fejezet, 2.4. javaslat.
↑ Hartshorne, 1981 , 2.9. gyakorlat, p. harminc.
↑ Hartshorne, 1981 , p. 141.
↑ Hartshorne, 1981 , p. 21.
↑ Harris, p. 24; ennek a halmaznak a redukálhatatlansága egy gyakorlat Hartshorne-ban, p. 24.
↑ Hartshorne, 1981 , p. 35.
↑ Harris, 2005 , p. 171.

Irodalom

Mumford D. Vörös könyv a sokaságokról és sémákról. - M. : MTsNMO, 2007. - 296 p. — ISBN 978-5-94057-195-7 .
Hartshorne R. Algebrai geometria. — M .: Mir, 1981. — 597 p.
Shafarevich I. R. Az algebrai geometria alapjai. - M. : MTSNMO, 2007. - 589 p. - ISBN 978-5-94057-085-1 .
Harris J. Algebrai geometria. Kezdő tanfolyam. - M. : MTSNMO, 2005. - 400 p. - ISBN 5-94057-084-4 .

Linkek

Ravi Vakil , MATH 216: Az algebrai geometria alapjai Archiválva : 2013. október 5. a Wayback Machine -nél (2013. 11. 06. verzió) – Jegyzetek a Stanford Egyetemen oktatott algebrai geometria tanfolyamról.
SURFER Archiválva : 2017. július 2., a Wayback Machine egy ingyenes program algebrai felületek megjelenítésére.