A transzcendencia foka

A transzcendencia mértéke az algebrailag független elemek maximális száma a mezőkiterjesztésben . A transzcendencia mértéke lehetővé teszi a tágulás nagyságának mérését.

Definíció

Legyen egy mező kiterjesztése egy mezőre. Tekintsük egy mező összes lehetséges algebrailag független részhalmazát egy mező felett . Egy adott kiterjesztés transzcendenciájának mértéke az ilyen részhalmazok legnagyobb számossága . $L/K$ $K$ $L.$ $L$ $K.$

Általában ill $\mathrm {trdeg} _{K}L$ $\mathrm {trdeg} (L/K).$

Jegyzetek

Ha a kiterjesztett mezőben nincsenek algebrailag független elemek , akkor halmazuk üres , és a transzcendencia mértéke nulla. Így a nulladik transzcendencia azt jelenti, hogy az adott kiterjesztés algebrai . Ha a transzcendencia mértéke nem nulla, akkor vannak " transzcendentális " (az eredeti mezőhöz képest nem algebrai) elemek. $L$ $L$

Kapcsolódó fogalmak

Egy részhalmazát a kiterjesztés transzcendencia bázisának nevezzük , ha: $S$ $L$ $L/K,$

Az elemek algebrailag függetlenek $S$ $K;$
a bázis teljes, vagyis a mező algebrai kiterjesztése , amelyet úgy kapunk, hogy elemeket adunk a mezőhöz $L$ $K(S),$ $S$ $K.$

Kimutatható, hogy a mező bármely adott kiterjesztésére léteznek transzcendenciabázisok (a bizonyításban a választás axiómáját használjuk ), és mindegyiknek azonos a számossága, megegyezik a transzcendencia mértékével. A transzcendenciabázisok hasznos eszközt jelentenek a mezőhomomorfizmusokkal kapcsolatos különféle létezési tételek bizonyítására .

Egy mezőbővítést tisztán transzcendentálisnak mondunk , ha létezik olyan algebrailag független részhalmaza az elemek felett, $L/K$ $L$ $S$ $K$ $K(S)=L.$

Példák

A racionális számok mezőjének a valós számok mezőjére való kiterjesztéséhez a transzcendencia mértéke egy kontinuum . Ez abból következik, hogy az algebrai számok halmaza megszámlálható . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$
A változók racionális függvényeinek mezője a mező felett tisztán transzcendentális kiterjesztést jelent. $n$ $K(x_{1}\dots x_{n})$ $K$ $K.$ $n,$ $\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}.$
A mező az 1-es transzcendenciafokú mező kiterjesztése , mivel ez egy algebrai szám és transzcendentális . $\mathbb {Q} ({\sqrt {2)),\pi )$ $\mathbb {Q}$ ${\sqrt 2}$ $\pi$
A mező egyben a mező kiterjesztése is , transzcendenciája nincs meghatározva (sem 1, sem 2), mivel nem ismert, hogy a és konstansok algebrai függetlenek-e. $\mathbb {Q} (\pi ,e)$ $\mathbb {Q} ,$ $\pi$ $e$

Tulajdonságok

Ha a mezőnek kétszeres kiterjesztése van: akkor a transzcendencia mértéke megegyezik a transzcendencia fokainak (halmazelméleti) összegével és A transzcendencia bázist a transzcendencia alapjainak kombinálásával kapjuk meg és $M\supset L\supset K,$ $M/K$ $L/K$ $M/L.$ $M/K$ $L/K$ $M/L.$

Irodalom

Bourbaki N. Algebra. Polinomok és mezők. Rendezett csoportok. Moszkva: Nauka, 1965.
Van der Waerden . Algebra. Definíciók, tételek, képletek . - Szentpétervár. : Lan, 2004. - 624 p. — ISBN 5-8114-0552-9 . Archiválva: 2016. március 4. aWayback Machine
Zarissky O. , Samuel P. Kommutatív algebra, 1. kötet. M: Külföldi irodalom, 1963.
Leng S. Algebra. M: Mir, 1967.

Linkek

Kuzmin L. V. Transzcendentális kiterjedés