A transzcendencia mértéke az algebrailag független elemek maximális száma a mezőkiterjesztésben . A transzcendencia mértéke lehetővé teszi a tágulás nagyságának mérését.
Legyen egy mező kiterjesztése egy mezőre. Tekintsük egy mező összes lehetséges algebrailag független részhalmazát egy mező felett . Egy adott kiterjesztés transzcendenciájának mértéke az ilyen részhalmazok legnagyobb számossága .
Általában ill
Ha a kiterjesztett mezőben nincsenek algebrailag független elemek , akkor halmazuk üres , és a transzcendencia mértéke nulla. Így a nulladik transzcendencia azt jelenti, hogy az adott kiterjesztés algebrai . Ha a transzcendencia mértéke nem nulla, akkor vannak " transzcendentális " (az eredeti mezőhöz képest nem algebrai) elemek.
Egy részhalmazát a kiterjesztés transzcendencia bázisának nevezzük , ha:
Kimutatható, hogy a mező bármely adott kiterjesztésére léteznek transzcendenciabázisok (a bizonyításban a választás axiómáját használjuk ), és mindegyiknek azonos a számossága, megegyezik a transzcendencia mértékével. A transzcendenciabázisok hasznos eszközt jelentenek a mezőhomomorfizmusokkal kapcsolatos különféle létezési tételek bizonyítására .
Egy mezőbővítést tisztán transzcendentálisnak mondunk , ha létezik olyan algebrailag független részhalmaza az elemek felett,
Ha a mezőnek kétszeres kiterjesztése van: akkor a transzcendencia mértéke megegyezik a transzcendencia fokainak (halmazelméleti) összegével és A transzcendencia bázist a transzcendencia alapjainak kombinálásával kapjuk meg és