Algebrai geometria

Az algebrai geometria a matematikának az algebrát és a geometriát ötvöző  ága . A klasszikus algebrai geometria, valamint a tág értelemben vett modern algebrai geometria tanulmányozásának fő tárgya az algebrai egyenletrendszerek megoldásainak halmaza . A modern algebrai geometria nagyrészt az általános algebra (különösen a kommutatív algebra) módszereire épül a geometriában felmerülő problémák megoldására.

Az algebrai geometria tanulmányozásának fő tárgya az algebrai változatok , vagyis az algebrai egyenletrendszerek megoldási halmazaiként meghatározott geometriai objektumok. A leginkább tanulmányozottak az algebrai görbék : egyenesek , kúpszelvények , kockák (például elliptikus görbe ) és magasabb rendű görbék (a lemniszkátusok az ilyen görbék példái ). Az algebrai görbék elméletének alapkérdései a görbén lévő „speciális” pontok, például szinguláris pontok vagy inflexiós pontok vizsgálatára vonatkoznak . A fejlettebb kérdések egy görbe topológiájára és a differenciálegyenletek által adott görbék közötti kapcsolatokra vonatkoznak .

A modern algebrai geometriának számos kapcsolata van a matematika igen változatos területeivel, mint például a komplex elemzéssel , a topológiával vagy a számelmélettel . A többváltozós egyenletrendszerek tanulmányozása egy tetszőleges algebrai egyenletrendszer megoldási halmazainak általános belső tulajdonságainak tanulmányozásának fontosságának megértéséhez vezetett, és ennek eredményeként a matematika számos ágában mélyreható eredményekhez jutott.

A 20. században az algebrai geometria több (egymással összefüggő) tudományágra bomlott:

A 20. századi algebrai geometriával kapcsolatos kutatások fő vonulata az általános algebra fogalmainak aktív használatával folytatódott, hangsúlyt fektetve az algebrai változatok „belső” tulajdonságaira, amelyek nem függenek a fajta beágyazásának konkrét módjától. bizonyos teret. Legfontosabb eredménye Alexander Grothendieck sémaelmélete volt , amely lehetővé tette a kévék elméletének alkalmazását algebrai változatok tanulmányozására a differenciálható és összetett változatok vizsgálatához hasonló módszerekkel. Ez a pont fogalmának kiterjesztéséhez vezetett: a klasszikus algebrai geometriában egy affin változatú pont egy koordinátagyűrű maximális ideáljaként definiálható , míg a megfelelő affin séma minden pontja az adott gyűrű prímideálja . . Egy ilyen séma egy pontja közönséges pontnak és részsokaságnak is tekinthető , amely lehetővé tette a klasszikus algebrai geometria nyelvének és eszközeinek egységesítését. Andrew Wiles bizonyítása Fermat utolsó tételére volt az egyik legtisztább példa e megközelítés erejére.

Alapfogalmak

Affin fajták

Mindenekelőtt a k főmezőt kell rögzítenünk . A klasszikus algebrai geometriában általában a komplex számok mezőjét használják, de az eredményhalmaz érvényes marad bármely algebrailag zárt mezőre (a továbbiakban algebrai zárást feltételezünk). Tekintsünk egy n - dimenziós affin teret (Az oka annak, hogy ne vegyünk figyelembe egy vektorteret k felett , az, hogy hangsúlyozzuk a sokaság tulajdonságainak függetlenségét a vektortér szerkezetétől. Az alaptér elemeit pontként kezeljük, nem pedig vektorok). Rögzítünk valamilyen alapot az affin térben (különösen a koordináták origóját választjuk). Ekkor a k [ x 1 ,…, x n ] gyűrűből származó minden S polinomcsalád hozzárendelhető egy V ( S ) ponthalmazhoz, amelynek koordinátái kielégítik a halmaz összes polinomját:

Valójában egy függvény polinom tulajdonsága nem függ a bázis megválasztásától, így egyszerűen beszélhetünk polinomiális függvényekről és egy ilyen függvénycsalád közös nullák halmazáról. A V ( S ) - ként ábrázolható halmazokat algebrai halmazoknak nevezzük .

Az U affin tér bármely részhalmaza hozzárendelhető egy I(U) polinomhalmazhoz, amely nullával egyenlő ennek a halmaznak minden pontjában. Könnyen ellenőrizhető, hogy ez a halmaz ideális -e a polinomgyűrűben. Két természetes kérdés merül fel:

Nyilvánvaló, hogy az első egyenlőség teljesüléséhez szükséges, hogy U egy algebrai halmaz; azt is könnyű ellenőrizni, hogy ez a feltétel elegendő-e. A második kérdésre a válasz keresése nagy nehézségeket okoz, David Hilbert bebizonyította Hilbert jól ismert nulla tételét , mely szerint I ( V ( S )) egybeesik az ideál gyökével az S elemek által generált polinomok gyűrűjében. ; ez azt jelenti, hogy bijektív megfelelés van az algebrai halmazok és a polinomgyûrû radikális ideáljai között. Hilbert alaptétele kimondja, hogy egy polinomgyûrûben minden ideál végesen generált , azaz bármely algebrai halmaz definiálható véges számú egyenlettel.

Egy algebrai halmazt irreducibilisnek mondunk, ha nem ábrázolható két kisebb algebrai halmaz uniójaként. Az affin algebrai változat [1]  egy irreducibilis algebrai halmaz; az algebrai nyelvben a polinomiális gyűrűk prímideáljai az affin változatoknak felelnek meg. Bármely algebrai halmaz ábrázolható véges számú algebrai változat uniójaként (amelyek egyike sem a másik részhalmaza), ráadásul egyedi módon [2] .

Egyes szerzők nem tesznek terminológiai különbséget az "algebrai halmazok" és az "algebrai változatok" között, helyette az "irreducibilis algebrai halmaz" (vagy "irreducibilis változat") kifejezést használják.

Szokásos függvények

Az algebrai halmaz reguláris függvénye olyan függvény, amely valamilyen polinomiális függvény V -re vonatkozó  korlátozása . A V -n lévő reguláris függvények egy k [ V ] gyűrűt alkotnak, amelyet e halmaz koordinátagyűrűjének nevezünk. Ez a gyûrû izomorf az I ( V ) polinomgyûrû faktorgyûrûjével ( valóban, ha f -nek és g -nek ugyanaz a megszorítása V -re, akkor f − g I -hez ( V ) tartozik .

Az algebrai halmazok közötti szabályos leképezéseket természetes módon határozzuk meg. Ugyanis a reguláris leképezés alakja , ahol  reguláris függvények vannak. A reguláris leképezés egy algebrai halmazra  reguláris függvény , ha .

Ha adott egy szabályos leképezés , bármely reguláris függvény leképezhető egy szabályos függvényre a szabállyal . A leképezés gyűrűhomomorfizmus , ahogyan a koordinátagyűrűk minden homomorfizmusa is meghatározza az algebrai halmazok szabályos leképezését (fordítva). Ezekből az összefüggésekből arra következtethetünk, hogy az algebrai halmazok kategóriája (amelyek morfizmusai reguláris függvények) kettős a véges generált k - algebrák kategóriájával nilpotens nélkül . Ennek az ekvivalenciának a felfedezése volt az áramkörelmélet kiindulópontja.

Racionális függvények

Az előző alfejezettől eltérően itt csak az (irreducibilis) algebrai változatokat fogjuk figyelembe venni. Másrészt ezek a meghatározások kiterjeszthetők a projektív fajtákra is .

Ha V  egy affin változat, akkor a koordinátagyűrűje integrál , és ezért van egy hányadosmezője . Ezt a mezőt k ( V ) -vel jelöljük , és a V -n lévő racionális függvények mezőjének nevezzük . Egy racionális függvény tartománya nem feltétlenül egyenlő a teljes V -vel , hanem egyenlő annak a halmaznak a komplementerével, amelyen a nevezője nulla. A reguláris függvényekhez hasonlóan racionális leképezést definiálunk a fajták között, hasonlóképpen a racionális leképezések egy az egyben megfelelnek a racionális függvények mezőinek homomorfizmusainak .

Két affin változatot biracionálisan ekvivalensnek mondunk , ha két racionális leképezés van közöttük, amelyek kölcsönösen inverzek a tartományukon (ekvivalensen ezeknek a változatoknak a racionális függvénymezői izomorfak).

Egy affin fajtát racionális változatnak nevezünk, ha biracionálisan egyenértékű egy affin térrel. Vagyis racionálisan paraméterezhető. Például az egységkör egy racionális görbe , mert vannak függvények

racionális leképezés megadásával egy egyenesről egy körre, ellenőrizhető, hogy az inverz leképezés is racionális-e (lásd még Sztereografikus vetület ).

Sémák

Az 1950-es évek végén Alexander Grothendieck megadta a séma definícióját , általánosítva az algebrai változat fogalmát. Az affin séma valamely gyűrű (a klasszikus algebrai geometriában polinomiális gyűrűk) spektruma a rajta lévő gyűrűköteggel együtt ( minden nyitott halmazhoz a halmaz minden pontjában definiált racionális függvény tartozik). Az affin sémák olyan kategóriát alkotnak, amely kettős a kommutatív gyűrűk kategóriájával , ez kiterjeszti az algebrai halmazok és a nilpotens nélküli algebrák kettősségét. Az általános sémák több affin séma összeragasztásának eredményei (mint topológiai terek Zariski topológiával ).

Valódi algebrai geometria

A valódi algebrai geometria  a valós algebrai halmazok tanulmányozása, vagyis az algebrai egyenletek valós megoldásai valós együtthatókkal és a köztük lévő leképezésekkel .

A félalgebrai geometria  a félalgebrai halmazok tanulmányozása, vagyis az algebrai egyenletek valós megoldásainak halmazai és valós együtthatós egyenlőtlenségek , valamint a köztük lévő leképezések.

Számítási algebrai geometria

Gröbner alapja

A Gröbner-bázis egy adott ideált generáló elemrendszer egy polinomgyűrűben egy mező felett (nem feltétlenül algebrailag zárt); a Gröbner-bázis számítása lehetővé teszi, hogy az ideál által definiált V algebrai halmaz néhány tulajdonságát algebrailag zárt kiterjesztéssel határozzuk meg (például egy valós együtthatós egyenletrendszer természetesen meghatározza az összes egyenletet kielégítő komplex számhalmazt).

A Gröbner-bázisra vonatkozó információk nem elegendőek egy adott halmaz irreducibilis komponensekre való felbomlásának kiszámításához, azonban ennek a feladatnak a megoldására léteznek algoritmusok, amelyek ezt is használják.

Egyes esetekben a Gröbner-bázis kiszámítása meglehetősen nehézkes: a legrosszabb esetben olyan polinomokat tartalmazhat, amelyek mértéke kettős kitevőként (a forma kifejezéseként ) függ a polinomgyűrűben lévő változók számától; az alapelemek száma azonos ütemben nőhet. Ez azonban a komplexitás felső korlátja, és sok esetben ezekkel az algoritmusokkal több tucat változóban használható polinomiális gyűrűkkel dolgozhatunk.

Történelem

Háttér: a 19. század előtt

Az algebrai geometria eredetére utaló jelek a Kr.e. V. századi görögök munkáiban találhatók . e. Például a kocka megkettőzésének problémája egy olyan kocka felépítésében merül ki, amelynek térfogata megegyezik az a és b adatok „dobozának” térfogatával . Menechm ezt a problémát geometriailag úgy értelmezte, hogy megszerkeszti két kúp metszéspontját : ay = x 2 és xy = ab . [3] Archimedes és Apollonius későbbi munkáiban a kúpmetszeteket szisztematikusabban tanulmányozzák, beleértve a koordináták használatát is. Az arab matematikusok tudták, hogyan kell megoldani bizonyos köbegyenleteket, és az eredményeket geometriailag is értelmezni tudták. Omar Khayyam perzsa matematikus (XI. század) felfedezte az általános köbös egyenlet megoldásának módját egy kör és egy parabola metszéspontjával. [négy]

François Viet francia matematikusok , majd René Descartes és Pierre Fermat gyökeresen megváltoztatták a geometriai konstrukciók létrehozásának módját, analitikus geometriát hozva létre . Fő céljaik az algebrai görbék tanulmányozása voltak , mint például a diofantini egyenletek által adott görbék (Fermat esetében), a kúpok és a köbök (Descartes esetében). Ugyanebben az időszakban Pascal és Desargues más oldalról közelítette meg a problémát, kifejlesztették a projektív geometriát . Pascal és Desargues is feltárta a görbék tulajdonságait, de csak geometriai szempontból, iránytű és egyenes konstrukciók segítségével. Végső soron az analitikus geometria győzött e megközelítéssel szemben, mivel a 18. századi matematikusok számára speciális számítási eszközöket biztosított a fizikai problémák új elemzéssel történő megoldásához . Ennek eredményeként a 18. század végére az algebrai módszerek alkalmazása a geometriában az infinitezimális számításra korlátozódott (különösen Euler és Lagrange használta aktívan ).

19. század

A 19. században a nem-euklideszi geometria és az Abeli-integrálok elméletének fejlődése hozzájárult ahhoz, hogy az algebrai elképzelések visszatérjenek a geometriába. Cayley volt az első, aki homogén polinomokat vizsgált projektív téren , különös tekintettel a másodfokú formákra . Később Felix Klein a projektív geometriát (valamint a geometria más ágait) abból a szempontból tanulmányozta, hogy a tér geometriáját a transzformációk egy csoportja adja meg. A 19. század végére a geométerek nemcsak projektív lineáris transzformációkat , hanem magasabb fokú biracionális transzformációkat is vizsgáltak.

Az Abeli-integrálok elméletének fejlődése arra késztette Bernhard Riemannt , hogy megalkotta a Riemann-féle sokaságok elméletét. Az első típusú integrálok segítségével K. Schwartz bebizonyította, hogy a biracionális transzformációk folytonos csoportját magába engedő görbe biracionálisan ekvivalens egy egyenes vagy elliptikus görbével. A 19. század második felének algebrai geometriáját főként az olasz iskola Cremonától Enriquesig képviseli .

Ebben az időszakban a geometria algebraizálása a kommutatív algebrával kezdődött: különösen David Hilbert bizonyítja tételeit a Nullstellensatz alapján.

20. század

A XX. század 30-as és 40-es éveiben intenzíven kidolgozott, kommutatív algebra alapú algebrai geometria megalkotásának gondolatai O. Zarisky -hoz és A. Weyl -hez nyúlnak vissza . Egyik céljuk az olasz iskola eredményeinek bizonyítása volt: az akkori olasz geométerek a „közös pont” fogalmát használták bizonyításaikban, ennek szigorú meghatározása nélkül.

Az 1950-es és 60 -as években Jean-Pierre Serre és Alexander Grothendieck teljesen átdolgozta az algebrai geometria alapjait a kéveelmélet, a sémaelmélet és a homológ algebra technikáival . Az 1970-es években a fejlődés némileg stabilizálódott, alkalmazásokat találtak a számelméletre és az algebrai geometria klasszikusabb kérdéseire: a szingularitások és modulok tanulmányozására .

Az algebrai változatok egyik fontos osztálya, amelyet nehéz leírni pusztán definiáló egyenletekkel, az Abel-féle változatok . Fő példájuk az elliptikus görbék , amelyeknek nagyon kiterjedt elméletük van. Eszközökké váltak Fermat utolsó tételének bizonyítására, és az elliptikus kriptográfiában használatosak .

Alkalmazások

Az algebrai geometria alkalmazásokat talál a statisztikában [5] , a vezérléselméletben [6] , a robotikában [7] , a hibajavító kódok elméletében [8] és a modellezésben [9] . Alkalmazásai ismertek még a húrelméletben [10] , a szolitonelméletben [11] , a játékelméletben [12] és a párosításelméletben [13] .

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ Hartshorne, 1981 , p. tizennyolc.
  2. ↑ Hartshorne, 1981 , p. 22.
  3. ↑ Dieudonné, Jean. Az algebrai geometria történeti fejlődése  (angol)  // The American Mathematical Monthly  : Journal. - 1972. - 1. évf. 79 , sz. 8 . - P. 827-866 . - doi : 10.2307/2317664 . — .
  4. ↑ Kline, M. (1972) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (1. kötet). Oxford University Press. pp. 193-195.
  5. ↑ Mathias Drton, Bernd Sturmfels, Seth Sullivant (2009), Lectures on Algebraic Statistics Archivált 2014. február 20-án a Wayback Machine Springernél, ISBN 978-3-7643-8904-8
  6. ↑ Peter L. Falb (1990), [1] Archiválva : 2014. június 27., a Wayback Machine , Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-3454-3
  7. ↑ JM Selig (205), A robotika geometriai alapjai Archiválva : 2014. február 20., a Wayback Machine , Springer, ISBN 978-0-387-20874-9
  8. ↑ Michael A. Tsfasman, Serge G. Vlăduț, Dmitry Nogin (2007), Algebrai geometriai kódok: alapvető fogalmak Archiválva : 2014. február 20., a Wayback Machine , AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-4306-2
  9. ↑ Bert Jüttler, Ragni Piene (2007) Geometriai modellezés és algebrai geometria Archiválva : 2014. február 20., a Wayback Machine , Springer, ISBN 978-3-540-72184-0
  10. ↑ David A. Cox, Sheldon Katz (1999) Tükörszimmetria és algebrai geometria Archiválva : 2014. február 20., a Wayback Machine , AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-2127-5
  11. ↑ I. M. Krichever és P. G. Grinevich, Algebraic geometry Methods in Soliton theory, Chapter 14 of Soliton theory Archiválva : 2014. február 20., the Wayback Machine , Allan P. Fordy, Manchester University Press ND, 1990, ISBN 978-0-1-7919
  12. ↑ Blume, L.E.; Zame, WR A tökéletes és szekvenciális egyensúly algebrai geometriája  (angol)  // Econometrica  : Journal. - 1994. - 1. évf. 62 , sz. 4 . - P. 783-794 . — .  (nem elérhető link)
  13. ↑ Richard Kenyon; Andrei Okounkov és Scott Sheffield (2003), Dimers and Amoebae, arΧiv : math-ph/0311005 [math-ph]. 

Irodalom

Linkek

  Ugrás a Wikidata elemre  Szótárak és enciklopédiák
 A matematika ágai
"Tudomány" portál
A matematika alapjai halmazelmélet matematikai logika logikai algebra
Számelmélet ( aritmetika )
  • "Matematika" portál
  • "Matematika" kategória