Ideális radikális

A kommutatív algebrában az I ideál gyökje az az ideál , amelyet minden x elem alkot úgy, hogy x valamilyen hatványa I - hez tartozik . A radikális ideál olyan ideál, amely egybeesik a saját radikálisával.

Definíció

Az R kommutatív gyűrűben lévő ideális I gyök , amelyet jelöl , a következőképpen definiálható ${\sqrt {I}}$

{\sqrt {I}}=\{r\in R\mid \exists n\in \mathbb {N} \,\,\,r^{n}\in I\}

Intuitív módon egy ideál radikálisának megszerzéséhez minden lehetséges fokozat gyökerét ki kell venni az elemeiből. Az ideális I gyökének egyenértékű definíciója a null gyök inverz képe a faktorizációs térkép alatt. Ez is ideálisnak bizonyul . $R/I$ ${\sqrt {I}}$

Példák

Az egész számok gyűrűjében a főideál gyökje az összes prímosztó szorzata által generált ideál . $(a)$ $a$
Az elsődleges ideál radikálisa egyszerű . Ha egy ideál gyökje maximális , akkor ez az ideál elsődleges (ha a gyök egyszerű, akkor az ideális nem feltétlenül elsődleges).
Bármely kommutatív gyűrűben egy prímideálhoz [1] . Különösen minden elsőrendű ideál radikális. ${\sqrt {P^{n}}}=P$ $P$

Tulajdonságok

${\sqrt {{\sqrt {I}}}}={\sqrt {I}}$ . Sőt, az I -et tartalmazó legkisebb gyökideál . ${\sqrt {I}}$
${\sqrt {I}}$ az összes I -t tartalmazó elsődleges ideál metszéspontja . Konkrétan, a nulla gyök az összes elsődleges ideál metszéspontja.
Egy ideál akkor és csak akkor radikális, ha az általa alkotott hányadosgyűrű nem tartalmaz nem triviális nilpotenseket .

Alkalmazások

A gyökök tanulmányozásának fő motivációja az, hogy megjelentek Hilbert kommutatív algebrából származó híres nulltételében . Ennek a tételnek a legegyszerűbb megfogalmazása a következő: bármely algebrailag zárt mezőre és a polinomgyűrűben a mező feletti változókban végesen generált ideálra a következő egyenlőség igaz: $k$ $n$ $k$

\operátornév {I}(\operátornév {V}(J))={\sqrt J},

ahol

\operátornév {V}(J)=\{x\in k^{n}\ |\ f(x)=0~\forall f\in J\}

és

\operátornév {I}(S)=\{f\in k[x_{1},x_{2},\ldots x_{n}]\ |\ f(x)=0~\all x\in S\ }.

Jegyzetek

↑ Atiyah és McDonald, 2003 , 4.2. tétel.

Irodalom

Atiyah M. , McDonald I. . Bevezetés a kommutatív algebrába. - M . : Factorial Press, 2003. - ISBN 5-88688-067-4 .
Eisenbud, David. . Kommutatív algebra, kilátással az algebrai geometriára. - Springer-Verlag, 1995. - (Graduate Texts in Mathematics, vol. 150). — ISBN 0-387-94268-8 .