Az Abeli-féle variáns egy projektív algebrai változat , amely egy algebrai csoport (ez azt jelenti, hogy az összetétel törvényét egy reguláris függvény adja meg ).
Az Abel-féle változatok jól tanulmányozott objektumok az algebrai geometriában. Ezt a fogalmat az algebrai geometria és a számelmélet különböző ágaiban használják.
Egy Abeli-féle variáció definiálható tetszőleges k mezőbeli együtthatós egyenletekkel . Azt mondják, egy fajta a mező k felett van . Történelmileg először az Abeli-féle fajtákat tanulmányozták a komplex számok területén.
Speciális eset az algebrai számmezők feletti Abel-változatok . Ez az eset számelméleti szempontból fontos.
Bizonyítható [1] , hogy egy Abel-féle fajta csoportként kommutatív, azaz Abel-csoport .
Az X, Y Abel-féle változatoknál a komplex számok mezője felett a fajták izomorfizmusa, amely alatt 1 X -ből 1 Y lesz , csoportizomorfizmus.
Egy adott komplex tórusz feltétele , hogy Abel-féle változat legyen, i.e. beágyazható-e projektív tér. Legyen V egy dimenziós vektortér és L egy rács V -ben . A tórusz X = V / L csak akkor Abel-féle változat, ha létezik egy pozitív-definit Hermiti forma V - n, amelynek képzeletbeli része egész értékeket vesz fel az L × L rácson .
Chevalley tétele algebrai csoportokról : Bármely G algebrai csoport tartalmaz egy normál N alcsoportot , amely egy affin változat , így a G / N hányadoscsoport egy Abel-féle változat. (Az N alcsoport ezzel a tulajdonsággal egyedi.)
Az 1. dimenzió esetében az Abel-féle változat fogalma egyenértékű az elliptikus görbe fogalmával .
Ha n > 1, egy Abel-féle variáns a komplex számok területén , mint topológiai tér , homeomorf egy n-dimenziós komplex tóruszhoz (projektív változatként kezelve).
A tizenkilencedik század elején az elliptikus függvények elmélete adta az alapját az elliptikus integrálok elméletének . Az elliptikus integráloknak négyzetgyökük van a 3. és 4. fokú polinomokból. Mi lesz felsőfokú végzettség esetén? Ábel és Jacobi munkái két összetett változó függvényeit vizsgálták. Ez volt az első példa egy 2-es dimenziójú Abeli-féle változatra (abeli felület).