Veronese felület

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2018. szeptember 10-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A veronai felület egy algebrai felület egy ötdimenziós projektív térben , amely a veronai beágyazás képeként valósul meg . A veronai beágyazás általánosítása is létezik a projektív terek tetszőleges méreteire. Giuseppe Veronese olasz matematikusról kapta a nevét .

Definíció

A veronai felület a veronai beágyazás, vagyis a leképezés képe

\nu :\mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{5}

képletekkel adott

\nu :[x:y:z]\mapsto [x^{2}:y^{2}:z^{2}:yz:xz:xy]

ahol a projektív sík egy pontjának homogén koordinátáit jelöli . $[x:\ldots ]$

A meghatározás motivációja

A veronai felület természetesen felmerül a kúpok tanulmányozása során , különösen az "öt pont egyedileg határozza meg a kúpot" állítás bizonyításakor. A kúp az egyenlet által adott síkgörbe

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0,

ami a változókhoz képest másodfokú.A Veronese-i beágyazású kompozíció azonban lehetővé teszi, hogy ezt az egyenletet lineárissá tegyük (pontosabban tetszőleges kúpos kialakításához elegendő a Veronese-i felületet egy hipersíkkal metszeni, és a a kereszteződés). Ezzel szemben az a feltétel, hogy a kúp tartalmaz egy pontot , lineáris az együtthatókhoz képest , és ezért eggyel csökkenti a tér méretét. Pontosabb állítás, hogy az általános pozícióban lévő öt pont öt független lineáris egyenletet határoz meg, ez abból következik, hogy a veronai beágyazásnál az általános pozícióban lévő pontok általános pozícióban lévő pontokba kerülnek. $x,y,z.$ $[x:y:z]$ ${\megjelenítési stílus (A,B,C,D,E,F)}$

Veronese felület és kúpok

A veronai felület más módon is kapcsolatba hozható a kúpok geometriájával, bizonyos értelemben kettős a fent leírtakkal. Láttuk, hogy a on kúp definíciója , azaz nem nulla vektor van hozzá társítva (az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy az alapmező a komplex számok mezője). Az arányos vektorok ugyanazt a kúpot határozzák meg, így valójában a kúpokat annak projektivizálása paraméterezi, . Más szóval, a síkban lévő kúpok egy ötdimenziós projektív tér pontjaként ábrázolhatók; ebben az esetben a kúpok ceruzáját egy egyenesen elhelyezkedő pontok ábrázolják, stb. Mint ismeretes, a lapos kúpok lehetnek elfajultak és nem degeneráltak, sőt, az elfajultak lehetnek akár vonalpárok, akár egy kettős vonal. Milyen geometriai objektumok paramerizálják a degenerált kúpokat? $\mathbb {P} ^{2}$ $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0$ ${\displaystyle (A,B,C,D,E,F)\in \mathbb {C} ^{6))$ $\mathbb {P} ^{5}$ $\mathbb {P} ^{5}$

A kettős egyenes egy kúp az egyenlettel . Az egyszerű, egyetlen vonalakat a kettős projektív sík paraméterezi ; Az egyenes "duplázása" egy leképezést fog meghatározni a kúpokat paraméterező térre . A zárójeleket kibővítve látjuk, hogyan írjuk fel explicit módon: , honnan van , ami egyenértékű a veronai leképezéssel egy lineáris transzformációig. $(Lx+Saját+Nz)^{2}=0$ $\mathbb {P} ^{2}$ $\left(\mathbb {P} ^{2}\right)^{*}$ $\mathbb {P} ^{5}$ $(Lx+My+Nz)^{2}=L^{2}x^{2}+2LMxy+M^{2}y^{2}+2LNxz+2MNyz+N^{2}z^ {2}$ $(A,B,C,D,E,F)=(L^{2},2LM,M^{2},2LN,2MN,N^{2})$

Ha a veronai felület dupla vonalakat paraméterez, akkor mi paraméterezi a többi elfajult kúpdarabot? Könnyű egyenletet felírni egy ilyen sokaságra: valójában a kúp a mátrix által adott másodfokú alakzatnak tekinthető. A determináns eltűnése azt jelenti, hogy a megfelelő kúp nem sima; harmadfokú egyenlet mátrixegyütthatóiban, és egy köbös hiperfelületet határoz meg -ben . $Q={\begin{pmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{pmatrix)).$ $\det Q=0$ $\mathbb {P} ^{5}$

Ennek a hiperfelületnek van egy geometriai kiviteli alakja is. Mint tudjuk, a vonalak lapos kúpköveit jelölik. Könnyen kimutatható, hogy a veronai felületet érintő vonalak a következő alakú kúpceruzát határozzák meg: rögzítünk egy egyenest és egy pontot , és e pont körül elforgatjuk a második vonalat. Ezért a degenerált négyzetek sokfélesége a Veronese-i felület összes érintősíkjának egyesülése. $\mathbb {P} ^{5}$ $\ell$ $p\in \ell$

Két érdekes geometriai tény kapcsolódik ehhez. Mint ismeretes, az ötdimenziós térben két véletlenszerűen vett síknak nincs közös pontja (ahogy a háromdimenziós térben két véletlenszerűen vett egyenes metszi egymást). Két olyan síknak azonban van metszéspontja, amelyek a veronai felületet érintik: ha ugyanis a veronai felület kettős egyeneseknek megfelelő pontjait vesszük a és egyenletekkel , akkor a bennük lévő érintősíkoknak van egy közös pontjuk - ami egy négyzet az egyenlettel . Ez annál is figyelemreméltóbb, mert a Veronese-i felület egyetlen hipersíkban sem fekszik (a négydimenziós projektív térben pedig bármely két sík metszi egymást). Összehasonlításképpen, ha egy in görbe olyan tulajdonsággal rendelkezik, hogy bármelyik két érintője metszi egymást, akkor ez a görbe valamilyen síkban van. $L_{1}(x,y,z)^{2}=0$ $L_{2}(x,y,z)^{2}=0$ $L_{1}L_{2}=0$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}\subset \mathbb {P} ^{5))$ $\mathbb {P} ^{3}$

Egy másik tény bizonyos mértékig az első újrafogalmazása. Elvileg nem az összes érintővonalának, hanem az összes szekánsának egyesülését tekinthetjük. Különféle érintőket tartalmazna, mivel az érintő a szekáns határhelyzete, de lehet nagyobb is. Valójában, ha a Veronese-i felület két pontja kettős egyenes az és egyenletekkel , akkor a ceruzából az általuk generált kúpok alakú egyenletek lesznek , és ezért szingularitásuk van a és a vonalak metszéspontjában . Így egy veronai felület szekánsainak sokfélesége kimerül az érintők sokféleségében. Ez ritka előfordulás. Egy naiv méretszámítás azt mutatná, hogy a szekáns sokaság ötdimenziós: négy paraméterre van szükség a felület két pontjának meghatározásához, és még egy paraméterre ahhoz, hogy meghatározzuk egy pont helyzetét az azokat alátámasztó húron. Általános felület esetén ez a naiv méretszámítás működik, ezért a szekáns változata minden . Például egy csavart kocka (amelyet Veronese-görbének is neveznek) hasonlóan viselkedik : a tér bármely pontján keresztül rajzolhat egy egyenest, amely kétszer metszi (vagy érinti egy pontban, de kettős többszörösével). . A veronai felület esetében a méretszámítás meghiúsul, mert minden egyes ponton, amelyen a szekáns áthalad, valójában nem egy, hanem egy egész egyparaméteres szekánscsalád halad át. Ezt a jelenséget szekáns elégtelenségnek nevezik . $L_{1}(x,y,z)^{2}=0$ $L_{2}(x,y,z)^{2}=0$ $aL_{1}^{2}+bL_{2}^{2}=0$ $L_{1}=0$ $L_{2}=0$ $\mathbb {P} ^{5}$ $\mathbb {P} ^{5}$ $\mathbb {P} ^{3}$

Ez a csodálatos felület a mai napig kísérti a geométereket, ráadásul a legváratlanabb köntösben. Tehát tekinthetünk egy kettős fedelet , amely a hatodik nemzetség görbéjében elágazik - ez egy K3-as felület lesz , amelyet a betű jelöl . Az egyenes inverz képe egy görbe lesz ezen a felületen, mégpedig egy hat ponton elágazó kettős fedő, vagyis a 2. nemzetség görbéje . Ennek megfelelően egy általános helyzetben lévő kúp kétrétegű, helyenként elágazó burkolattá emelkedik . Az Euler-karakterisztika számításából azt kapjuk, hogy . A genus görbéjének lineáris rendszere egy K3 felületen mindig -dimenziós, azaz akárhogyan is deformáljuk az emelt görbét a -n , akkor is marad valamilyen kúp felemelkedése (hiszen a síkon a kúpokat is megadják öt paraméter). Ezzel a lineáris rendszerrel a tárcsák moduli sokfélesége az ilyen görbületekben lévő támaszokhoz társítható ; ez egy holomorf szimplektikus sokaság lesz Lagrange-fibrációval (a vetület leképezése a tartójának egy köteghez való hozzárendelése, vagy pontosabban annak a négyzetnek, amelyből a támasz felemelkedik). Érdekessége, hogy Mukai vektora nem primitív, ezért nem sima. Különleges rétegei speciális görbületeknek felelnek meg. Néha speciális görbék emelkednek ki a sima négyszögekből – a legegyszerűbb esetben azokból, amelyeknek egyetlen érintése van az elágazó szextikussal. De természetesen minden speciális négyszög speciális görbékre emelkedik. Ebben az esetben a vonalpároknak megfelelő pontok feletti szinguláris szálak is redukálhatók lesznek – az egyik komponens az egyik vonal előképén, a másik pedig a másik előképén fogja paraméterezni a tárcsákat. Így az ilyen Lagrange-szálak megkülönböztető helyén a Veronese-féle felület szekánsainak sokaságaként elhelyezkedő alkatrész lesz; a felette lévő rétegek redukálhatók és két részre oszthatók. Ezen túlmenően a Veronese felszín körüli monodrómia egy pár vonalat permutál, és így a szál két irreducibilis komponensét; ha egy ilyen kötegnek legalább homológ metszete van, akkor szükségszerűen metszi mindkét irredukálhatatlan komponenst, és ezért egy sima réteget metszene 2-es, nem pedig 1-es multiplicitással. Így egy ilyen Lagrange-köteg nem enged topológiai metszetet, amely ellenpéldát ad Bogomolov egyik hipotézisére . Másrészt a speciális rétegek módosításával el lehet érni, hogy a monodrómia megszűnjön és egy szakasz jelenjen meg; de ez megváltoztatja a sokaság topológiai típusát - a Hilbert-sémából kivételes 10-dimenziós O'Grady -sokaság lesz . $\mathbb {P} ^{2}$ $S$ $\mathbb {P} ^{1}$ $2\cdot 6=12$ $2-2g=2(2-12)+12$ $g=5$ $g$ $g$ $S$ $S$

Veronese térképezése

Egy n - dimenziós projektív tér d fokának veronesei leképezése leképezés

{\displaystyle \nu _{d}\colon \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{m))

ahol m -t a binomiális együttható adja :

m={n+d \choose d}-1.

A térkép elküldi a pontot az összes lehetséges monomhoz d teljes hatványából . Az ilyen monomiumok halmazát Veronese sokaságnak nevezzük . $[x_{0}:\ldots :x_{n}]$ ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n))$

Alacsony d esetén a leképezés triviális: d = 0 esetén egyetlen pontra való leképezést kapunk , d = 1 esetén az azonosságleképezést; ezért d legalább kettő esetét szokták figyelembe venni. $\mathbb {P} _{0}$

A Veronese-i leképezést koordinátafüggetlen módon lehet definiálni, nevezetesen

\nu _{d}:\mathbb {P} V\to \mathbb {P} ({\rm {{Sym}^{d}V)))

ahol V egy véges dimenziós vektortér és szimmetrikus foka . ${\rm {{Sym}^{d}V))$

Racionális normálgörbék

A Veronese-i beágyazás képe racionális normálgörbeként ismert . Adjunk példákat kis méretű racionális normálgörbékre: $n=1$

Amikor a veronai beágyazás a projektív vonal identitásleképezése önmagára. $n=1,d=1$
Amikor egy Veronese-féle sokaság egy parabola affin koordinátákkal $n=1,d=2$ $[x^{2}:xy:y^{2}],$ $(x,x^{2}).$
Ha egy veronai fajta csavart köbös , affin koordinátákkal $n=1,d=3$ $[x^{3}:x^{2}y:xy^{2}:y^{3}],$ $(x,x^{2},x^{3}).$

A veronai beágyazás kettős szabályszerűsége

A veronai beágyazás alatti sokaság képe ismét sokaság, és izomorf az elsővel (ez azt jelenti, hogy van egy inverz leképezés, ami szintén szabályos ). Így a veronai beágyazás bireguláris .

A biregularitásból különösen az következik, hogy az általános helyzetű pontok átmennek az általános helyzetű pontokra. Valójában, ha a pontok képei kielégítenének egy nem triviális egyenletet, ez az egyenlet egy részsokaságot határozna meg, amelynek inverz képe az eredeti pontokat tartalmazó részsokaság lenne. Használható annak kimutatására is, hogy bármely projektív variáns egy veronai varietás és egy lineáris tér metszéspontja, azaz négyszögek metszéspontja .

Irodalom

Harris J. Algebrai geometria. Kezdő tanfolyam. — M.: MTsNMO, 2005. ISBN 5-94057-084-4