K3 felület

A K3-felület egy összefüggő , egyszerűen összekapcsolt , kompakt komplex felület (vagyis összetett kettes dimenziójú összetett sokaság ), amely egy sehol sem degenerált , második fokú holomorf differenciálformát enged meg . Az algebrai geometriában , ahol a változatokat a komplex számoktól eltérő mezőkre tekintjük , a K3-felület egy algebrai felület egy triviális kanonikus köteggel , amely nem engedélyez algebrai 1-formákat. [egy]

Quartic in $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}$

A K3 felületek egyik legegyszerűbb példáját a negyedfokú sima felületek adják egy komplex projektív térben . Annak bizonyításához azonban, hogy ezek a felületek megfelelnek a K3 felület definíciójának, némi ismerete szükséges a vonalkötegek elméletében.

Ugyanis a vonalkötegek szempontjából a homogén fokfüggvények egy projektív térben egy vonalköteg szakaszai, a tautologikus köteg -edik foka . Ha valamilyen vonalköteg, és annak szakasza, ráadásul nulla szintje egy sima részsokaság, akkor a differenciája minden pontban meghatároz egy olyan leképezést , amelynek kernelje pontosan . Így a simaságát figyelembe véve a kötegek izomorfizmusát kapjuk . Ezt a tényezőt normál kötegnek nevezzük ; különösen azt látjuk, hogy a sima kvartikushoz tartozó normál köteg izomorf -val . $n$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{m}$ ${\mathfrak {O}}(n)$ $n$ ${\mathfrak {O}}(1)$ $L\to X$ $s\in \Gamma (L)$ $Y=\{x\in X\colon s(x)=0\}$ $ds$ $y\-ban Y$ $T_{y}X\to L_{y}$ $T_{y}Y$ $Y$ $TX|_{Y}/TY{\xrightarrow {ds}}L|_{Y}$ $TX|_{Y}/TY=\nu _{Y/X}$ ${\displaystyle Y=Y_{4}\subset \mathbb {C} \mathrm {P} ^{3))$ ${\mathfrak {O}}(4)|_{Y}$

Másrészt a normál köteg beleillik a pontos sorrendbe . Dualizálva megkapjuk a pontos sorrendet , és a legnagyobb külső teljesítményt kiszámítva és annak funkcionális tulajdonságait felhasználva megkapjuk a vonalkötegek izomorfizmusát , vagy dualitás szerint (ezt a képletet adjunkciós formulának nevezzük ). Az adjunkciós képletet arra az esetre alkalmazva, amikor (melynek kanonikus kötege a pontos Euler-sorozat szerint izomorf ), akkor . Különösen, ha egy fokos sima hiperfelület , annak kanonikus kötege triviális. Ebből az következik, hogy a síkban lévő sima köbös görbe egy elliptikus görbe , mert ez egy holomorf 2-forma jelenlétét jelenti, amely nem tűnik el sehol egy négyes fokú felületen a projektív térben (általában ebből következik hogy egy c fokú sima hiperfelület egy Calabi-Yau sokaság ). $0\to TY\to TX|_{Y}\to \nu _{Y/X}$ $0\-\nu _{Y/X}^{*}\-T^{*}X|_{Y}\-T^{*}Y\-0$ $K_{X}|_{Y}\cong K_{Y}\otimes \nu _{Y/X}^{*}$ $K_{Y}\cong K_{X}|_{Y}\otimes \nu _{Y/X}$ ${\displaystyle X=\mathbb {C} \mathrm {P} ^{m))$ ${\mathfrak {O}}(-m-1)$ ${\mathfrak {O}}(-m-1)=K_{Y}\otimes \nu _{Y/\mathbb {C} \mathrm {P} ^{m}}^{*}$ $Y$ $m+1$ $m=2$ $m=3$ $m+1$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{m}$

Be kell bizonyítani, hogy a kvartikus egyszerűen összefügg. Ehhez tekintsünk egy lineáris rendszerbe való beágyazást , amelyre vonatkozóan a hipersík szakaszok pontosan nulla szinteket vágnak le a négyes fokú homogén polinomokból (tehát a mi kvartikusunk a kép megfelelő hipersík metszete egy ilyen beágyazás alatt). A Lefschetz-féle hipersík szakasztétel alapján az alapcsoportok izomorfizmusát állapítja meg , és egy komplex projektív tér alapcsoportjáról ismert, hogy triviális . Így egy sima kvartikus is egyszerűen össze van kötve, és ezért egy K3 felület. ${\mathfrak {O}}(4)$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{34))$ $Y$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}$ $\pi _{1}(Y)\to \pi _{1}(\mathbb {C} \mathrm {P} ^{3})$ $Y$

Az előzőekben az egyetlen alapvető tulajdonság az, hogy a kötegnek a kanonikus köteghez képest kettős része van, amelynek nulla szintje sima felület. Például bármely háromdimenziós Fano háromszorosnak ugyanaz a tulajdonsága . Ebben az esetben az antikanonikus köteg mindegyik tényezőre korlátozódik, mint a saját antikanonikus kötege, azaz úgy, hogy minden antikanonikus osztó két pontban metszi ezeket a "koordinátatengelyeket". Így egy ilyen K3-felületnek három involúciója lesz : a metszéspontok megváltoztatása az első, második és harmadik tényezővel. Hasonló involúciós pár is található a -beli görbén , amely mindkét tényezőt kétszer metszi. Mint ismeretes, biholomorf a negyedben , és egy ilyen görbe egy elliptikus görbe, amely a négyzeten fekszik. Ez a két involúció ebben az esetben egy csoport , egy szabad szorzat működését generálja, amely izomorf a diéder végtelen csoportjával . Így vagy ennek a műveletnek az elliptikus görbén lévő pályái sűrűek, vagy pedig ez a művelet egy véges tényezőn (vagyis valamilyen véges rendű diédercsoporton) megy keresztül, és minden pályája véges. Ez az állítás az elemi geometriában való megtestesülése, amelyet Poncelet-porizmusként ismernek . K3-as felület esetén három involúció egy sokkal bonyolultabb tripla szabad szorzatot eredményez , ami a holomorf dinamika szempontjából érdekes . $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\times \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\times \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1))$ ${\mathfrak {O}}_{\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}}(2)$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\times \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1))$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\times \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1))$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}$ $\mathbb {Z} /2*\mathbb {Z} /2$ $\mathbb {Z} /2*\mathbb {Z} /2*\mathbb {Z} /2$

Ricci-lapos metrikus és Kummer K3 felületek

Minden K3-as felület Kähleri -féle (ezt Sioux igazolta ). Mivel a legmagasabb fokú holomorf formájuk van, amely nem tűnik el sehol, a Calabi-Yau-tétel vonatkozik rájuk , azaz a Kähler-metrika szimlektikus alakjaként ábrázolt minden osztályra van egy nulla Ricci-görbületű metrika ebben az osztályban. . Ugyanakkor ez a mérőszám nem írható fel kifejezetten: a Calabi-Yau tétel csak egy létezési tétel , de semmiképpen sem explicit konstrukció. $[\omega _{g}]$ $g$

Az egyetlen eset, ahol van legalább némi közelítés, az úgynevezett Kummer felületek esetében. Legyen egy komplex tórusz, azaz egy tényező , ahol egy négyes rangú rács. Tekintsük a hányados változatot . A szabványos holomorf 2-forma on (-től leszálló ) invariáns a -vel való szorzás alatt , tehát a faktorban egy nem szinguláris lokuszra ereszkedik le. A szingularitások alakja ; a felfújás ilyen szingularitásban lokálisan a kotangens köteg -hoz , és a standard holomorf 2-forma kiterjeszthető egy ilyen felfújásra. A szingularitások pontosan 2 torziós pontok egy négydimenziós tóruszon, van belőlük néhány. Tehát ezeket a másodfokú szingularitásokat felrobbantva egy triviális kanonikus osztályú felületet kaphatunk. Könnyen belátható, hogy egyszerűen össze van kötve. Az ilyen K3 felületet Kummer K3 felületnek nevezzük , amely egy komplex tóruszhoz kapcsolódik . Az előző példákkal ellentétben egy ilyen felület többé nem ágyazható be projektív térbe, ha az eredeti tórusz nem volt projektív . $A$ $\mathbb {C} ^{2}/\Lambda$ $\lambda$ $A/\{x\sim -x\}$ $dz\wedge dw$ $A$ $\mathbb {C} ^{2}$ $-egy$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}/\{\pm 1\))$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$ ${\displaystyle A/\{\pm 1\))$ $2^{4}=16$ $16$ $A$ $A$

A k holomorf kotangensköteg teljes terére vonatkozó Ricci-lapos metrika meglehetősen jól ismert: ez a Calabi-Eguchi-Hanson metrika. A nehéz analitikai kérdés az, hogyan ragasszuk fel lapos metrikával a tórusztényező sima részére, amikor új racionális görbéket fújunk be. Ehhez mindkét mérőszámot globálisan meg kell változtatni. Ezt a kérdést Donaldson tanulmányozta . [2] Optikájában a speciális holonómiájú sokaságok (például G2-sokaságok ) konstrukcióira vonatkozó kérdések foglalkoztatják, amelyek a K3-as felületekkel ellentétben nem rendelkeznek algebrai-geometriai leírással. $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$

K3 felületek topológiája

A Kummer K3 felületek topológiája különösen egyértelmű. Tehát a második Betty-szám egyenlő : az eredeti négydimenziós tóruszból származik, és - tizenhat fújt görbéből. Ezért az Euler-karakterisztikája egyenlő . $b_{2}$ $6+16=22$ $6$ $16$ $1+22+1=24$

Kiderült, hogy ugyanez igaz minden más K3 felületre is: minden K3 felület diffeomorf. Sőt, ezek az úgynevezett deformációs ekvivalensek : egy K3 felület tetszőleges két összetett szerkezete összeköthető egy folytonos úton az összes komplex struktúra terében. A rács natív metszéspontjával izomorf -val , ahol egy E8 rács és egy szabványos hiperbolikus rács. Különösen a második kohomológiai rács aláírása . $H_{2}(K3,\mathbb {Z} )$ ${\displaystyle E_{8}(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3))$ $E_8$ $U$ $(3,19)$

Mivel az összes K3 felület Kähleri-féle, érdemes a Hodge -számukról beszélni : minden K3 felületre egyenlők , . Innen a Hodge-index tétel segítségével könnyen levezethető az aláírásra vonatkozó állítás. $h^{2,0}=h^{0,2}=1$ $h^{1,1}=20$

Elliptikus K3 felületek

A K3 felületek geometriája, amelyeken elliptikus görbe található, meglehetősen figyelemre méltó . Legyen ugyanis K3-felület és legyen elliptikus görbe. Az adjunkciós képletből (lásd fent) tudjuk, hogy . De a kanonikus köteg mind a K3 felületre, mind az elliptikus görbére triviális. Ezért az elliptikus görbe normál kötege is triviális. Ez azt jelenti, hogy egy K3 felületen lévő elliptikus görbe olyan deformációk családját engedi meg, amelyek nem metszik ezt a görbét (és egymást). Ezeket a deformációkat (beleértve a degeneráltakat is) egy racionális görbe paraméterezi , azaz a K3 felületen egy elliptikus görbe egy leképezést határoz meg, amelynek rostjai és deformációi. Ezt a családot Lefschetz - kötegnek vagy elliptikus kötegnek nevezik . Magát az ilyen K3 felületet elliptikus K3 felületnek nevezzük . $x$ $E\X részhalmaz$ $K_{E}\cong K_{X}|_{E}\otimes \nu _{E/X}$ $E\X részhalmaz$ ${\displaystyle X\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1))$ $E$

A K3 felületen lévő elliptikus kötegben mindig vannak szinguláris szálak (mert a K3 felület Euler karakterisztikája , míg az elliptikus görbéké nulla). Ha minden réteg a lehető legegyszerűbb – vagyis csak Euler-karakterisztikájú derékszögű lapok , akkor legyenek speciális rétegek (általában kevesebb lesz belőlük). Az alapon a pontokon kívül, amelyek fölött a levelek egyes számok vannak, lapos kapcsolat van , amelyet Liouville-Arnold kapcsolatnak neveznek . Egy ilyen kapcsolat monodrómiája a csoportban rejlik . Tekintsük a kapott csoportot előképnek az univerzális burkolatban . Ez egy központi bővítmény a következővel: . Ennek a ciklikus alcsoportnak a generátorát jelölje . Kiderült, hogy létezik olyan homomorfizmus , hogy . A Gauss-Bonnet tétel analógja , amelyet Kontsevich és Soibelman bizonyított , kimondja, hogy ha egy szúrásos felületen lapos kapcsolat van a monodrómiával , akkor fennáll az egyenlőség , ahol a szúrás körüli monodrómia . Különösen, ha mindegyik egyenlő eggyel, akkor ugyanazt a huszonnégy szúrást kapjuk. [3] $24$ $egy$ $24$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$ ${\widetilde {\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}}$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$ $\pi _{1}(\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )\cong \mathbb {Z}$ $u$ $i\colon {\widetilde {\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )))\to \mathbb {Z}$ $i(u)=12$ $S$ $n$ $x_{1},\pontok,x_{n}$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$ $\sum _{k=1}^{n}i(\gamma _{k})=12\chi (S)$ $\gamma _{k}$ $x_k$ $i(\gamma _{k})$

Torelli tétele

Ha a K3 felületek holomorf családja van az egységkorong felett, akkor a második kohemológiájuk kötegét a Gauss-Manin kapcsolat trivializálja . A Hodge-struktúrák egy változataként azonban már nem lesz triviális (ha maga a család nem volt triviális).

A második K3 kohomológián lévő Hodge-struktúrát egyértelműen a holomorf 2-forma osztálya által generált vonal határozza meg . Mivel van egy Ricci-lapos metrika térfogatalakja, az a- t önmagával megszorozzuk nullával, ez az egyenes izotróp a metszésformához képest. Így csak valamilyen sima négyzeten feküdhet a -ban . A feltétel néhány nyitott részhalmazt különít el ezen a négyzeten. A következőképpen írható le homogén térként . $H^{2,0}\subset H^{2}(K3,\mathbb {C} )$ $\Omega$ $\Omega \wedge {\bar {\Omega ))$ $\Omega \wedge \Omega =0$ $\mathrm {P} (H^{2}(K3,\mathbb {C} ))$ $\Omega \wedge {\bar {\Omega }}>0$

Tekintsünk egy kétdimenziós teret . Komplex konjugáció esetén invariáns, ezért valamilyen kétdimenziós valós altér komplexitása . Egy valós operátort definiálunk rajta a mentén és a mentén szorzásként . A valós síkon ez az operátor forgatásként működik, és így meghatároz egy tájolást. Az összefüggésből következik, hogy a metszés alakja ezen a síkon pozitív határozott. Ezzel szemben, ha van ilyen sík, akkor pontosan két izotróp vonal van a komplexálásban, és ezek közül csak az egyiket választva megadjuk a kívánt tájolást. Így a négyszögben a szükséges nyitott részhalmaz megegyezik az orientált kétdimenziós síkok halmazával, amelyeknek pozitív-definit skaláris szorzata van az aláírási térben . Egy ilyen tér izometria csoportja tranzitívan hat ilyen síkra egy stabilizátorral . Tehát ezt a tényezőt periódustérnek nevezzük . Ez, amint a leírásból a négyzetben nyitott részhalmazként látható, egy összetett sokaság (ugyanez látható a valós leírásból is, amely az orientált kétdimenziós síkot az Argand-síkkal azonosítja , vagyis egyszerűen komplexen keresztül számok – ezeknek a leírásoknak az egyenértékűsége egyszerű feladat). A lemezen lévő K3 felületek minden családjához kapcsolódik egy holomorf térkép a lemezről erre a periódustérre, amelyet periódustérképnek neveznek . Torelli lokális tétele kimondja, hogy egy kis korongon lévő K3 felületek családja egyedileg kinyerhető a periódustérképéből. $\mathrm {span} \{[\Omega ],[{\bar {\Omega }}]\}\subset H^{2}(K3,\mathbb {C} )$ $U_{\Omega }\subset H^{2}(K3,\mathbb {R} )$ ${\sqrt {-1}}$ $[\Omega ]$ $-{\sqrt {-1))$ $[{\bar {\Omega ))]$ ${\displaystyle U_{\Omega ))$ $90^{\circ }$ $\Omega \wedge {\bar {\Omega }}>0$ $(3,19)$ $\mathrm {SO} (3,19)$ $\mathrm {SO} (2)\times \mathrm {SO} (1,19)$ ${\frac {\mathrm {SO} (3.19)}{\mathrm {SO} (2)\times \mathrm {SO} (1.19)))$

Ha csak algebrai K3 felületeket akarunk figyelembe venni, akkor célszerű rögzíteni a hipersík metszet osztályt , amely egyben a Kähler alak osztálya is (a fix hipersík metszetosztályú K3 felületeket polarizáltnak nevezzük ). óta van egy további megszorításunk: . Mivel , ez azt jelenti, hogy ebben az esetben csak a periódusok terének egy részhalmazában vehet fel értéket úgy, hogy . Ez egy csoport tényezője egy maximális kompakt részcsoport által, és Cartan tétele szerint egy komplex tér valamely korlátos tartományával biholomorf (ebben az esetben ). Ez a tartomány hasonló a Siegel-doménhez , és a kettes nemzetség esetében szorosan kapcsolódik hozzá: egy Abeli-féle felületet Kummer K3-felületére leképezve a második nemzetség Siegel-doménjének a periódustartományra való leképezését eredményezi. A moduláris formák ezen a területen érdekes kapcsolatot biztosítanak a klasszikus számelmélet és az algebrai geometria között. $[\omega ]\in H^{1,1}$ $\Omega \wedge \omega =0$ ${\displaystyle [\Omega ]\in [\omega ]^{\perp ))$ $\omega \wedge \omega >0$ $[\Omega ]$ ${\frac {\mathrm {SO} (2,19)}{\mathrm {SO} (2)\times \mathrm {SO} (19)))$ $\mathbb {C} ^{1}9$

Ugyanakkor a rácsmegtartó ortogonális csoport periódusterére gyakorolt hatása nagyon távol áll attól, hogy az e hatás által kifejtett faktor legalább valamilyen geometriai jelentéssel bírjon. Tehát a Siegel-tartomány képe a fenti összehasonlításban egy nagy kóddimenziójú analitikus részsokaság, de ebben az esetben bármely algebrai K3-felület tetszőlegesen kis alakváltozással – vagyis az eltolódásokkal – Kummer K3-felületté alakítható. ennek a képnek a rács hatására mindenütt sűrű halmazt alkotnak. Ezért egy globális állítás megfogalmazásához ésszerűbb nem a tényezők izomorfizmusáról beszélni, hanem egy holomorf leképezésről, amely egy egész ortogonális csoport hatásával ingázik. $H^{2}(K3,\mathbb {Z} )$

Nevezetesen, vegyük figyelembe az összes Kähler típusú összetett szerkezet halmazát egy K3 felületen. Tényezője a diffeomorfizmus csoport összefüggő komponensének hatására egy sima komplex sokaság, bár nem Hausdorff (görbéknél az analóg tényező Hausdorff, és közismert nevén Teichmüller tér ). Ekkor jól definiálható az egymástól nem metsző szomszédságokkal elválasztott pontokat azonosító térkép, az általa alkotott hányados pedig egy sima komplex sokaság, amelyet egy periódustérkép a periódusok terére leképez, ráadásul biholomorf. Ez az állítás a globális Torelli-tétel.

K3 felületek degenerációi

Tekintsük egy holomorf család esetét egy korong felett, amelynek a központi szál kivételével minden rost K3 felületű, a középső pedig valamilyen speciális osztó normál metszéspontokkal, melynek összetevői sima, egyes többszörösségű felületek, és az egész tér sima. Az ilyen családot jó degenerációnak nevezik . Az elliptikus görbékre vonatkozó hasonló kérdést (lásd fent) Kodaira tanulmányozta : kimutatta, hogy az elliptikus görbék minimális (azaz nem lefújható ) degenerációinak triviális kanonikus kötegük van, és megadta az ilyen degenerációk osztályozását (többé-kevésbé kifejezésekben). Dynkin-diagramokból ). Felületi degenerációk esetén a központi réteg felfújása mellett vannak úgynevezett módosítások - a teljes tér nem triviális birációs átalakulásai, amelyek rétegeket konzerválnak, és minden sima rétegen biregulárisak. Vic. Kulikov bebizonyította, hogy némi módosítás után a K3 felületek minimális jó degenerációjának összterében is van egy triviális kanonikus köteg, és hogy a degeneráció a három eset valamelyikére történő átrendezéssel csökkenthető:

a központi réteg sima K3 felület,
a központi réteg sima felületek egyesülése , ráadásul a felület csak felületekkel metszi egymást , minden metszéspont elliptikus görbe, felület és racionális, a felület pedig szabályos elliptikus felület, ${\displaystyle V_{1}\cup V_{2}\cup \dots \cup V_{n-1}\cup V_{n))$ $V_i$ $V_{i\pm 1}$ $V_{1}$ $V_{n}$ $V_{2},\dots V_{n-1}$
a központi rost racionális görbék mentén metsző racionális felületek egyesülése; egy komplex, amelynek csúcsai a központi réteg irreducibilis összetevői, az élek a görbék, amelyek mentén metszik egymást, és a lapok azok a pontok, ahol ezek a görbék összefutnak, egy kétdimenziós gömb háromszögelése.

A II-es típusú degenerációra Kulikov szerint példa a sima kvartikus degenerációja két négyszög uniójává (metszéspontjuk egy elliptikus görbe), a III. típusú degeneráció pedig a sima kvartikus degenerációja négy sík uniójává ( vagyis egy tetraéder felülete - ha ennek a tetraédernek a csúcsai valósak, akkor az említett háromszögelés duális lesz, mint ez a tetraéder).

Ricci-lapos metrikák degenerációi K3 felületeken

A K3 felületek degenerációi többféleképpen kezelhetők. A fent ismertetett algebrai-geometriai perspektíván túlmenően a differenciálgeometria szemszögéből is szemlélhetők. Nevezetesen rögzítünk egy összetett szerkezetet a K3-felületen , és tekintjük a Kähler-kúpot , vagyis az olyan osztályok kúpját, hogy valamely Kähler-metrika esetén . Ez egy nyitott kúp, amely az osztályok kúpjában fekszik bármely görbével és görbével . A Calabi-Yau tételnek köszönhetően ennek a kúpnak minden pontja egyetlen Ricci-lapos metrikának felel meg. És mi lesz ezzel a mérőszámmal, ha a kúp pontját a határára irányítjuk? $én$ $x$ ${\mathfrak {C}}_{X}\subset H^{1,1}(X)$ $[\omega ]$ $\omega (x,y)=\omega _{g}(x,y)=g(Ix,y)$ $g$ $\alpha \wedge \alpha >0$ $\int _{C}\alpha >0$ $C\subset X$

A válasz természetesen attól függ, hogy a határ mely pontjára irányítjuk. Például, ha egy Kummer K3-felület, és egy -forma, amely az Abel-felület formájából emelkedik ki, amelyhez társítva van, akkor az osztály numerikusan hatékony (vagyis a Kähler-kúp záródásában rejlik), és (az ilyen osztályokat kötetosztályoknak nevezzük ). Ugyanakkor nem Kähleri, hiszen van , ahol van a tizenhat kivételes görbe közül bármelyik. Ebben az esetben a metrikák határa jól definiált ( a Gromov-Hausdorff határérték értelmében, nem függ a Kähler-kúpban lévő útvonaltól, és a tizenhaton kívül definiált hiányos Ricci-lapos Kähler-metrika metrikus befejezéséhez konvergál. Kivételes görbék Egy ilyen általános eredményt (tetszőleges Calabi-Yau elosztókra) Tosatti , Zhang és munkatársai igazoltak, a Kummer K3 felületekre azonban Lebrun [ 4]. $x$ $\alpha$ $(1.1)$ $[\alpha]$ $\int _{X}\alpha \wedge \alpha >0$ $\alpha |_{C}=0$ $C$

Ugyanakkor, ha az osztály nem terjedelmes, akkor a degeneráció másként történik, és az ún. összeomlás - a korlátozó tér bizonyos értelemben alacsonyabb dimenzióval rendelkezik. Például, ha egy elliptikus K3-felület, és a Fubini-Study osztály inverz képe az elliptikus ceruza alapjából, akkor . A Ricci-lapos metrikák korlátozó viselkedését ilyen helyzetben vizsgálta Gross és Wilson. $\alpha$ $x$ $\alpha$ $\alpha \wedge \alpha =0$

K3 felületek dinamikus tulajdonságai

A K3 felületek gyakran engednek be olyan automorfizmusokat, amelyek dinamikája kaotikus (például abban az értelemben, hogy topológiai entrópiájuk pozitív, és van egy sajátosztály, amelynek sajátértéke nagyobb, mint ). Például egy tóruszhoz társított Kummer-felületen kapott automorfizmus rendelkezik ezzel a tulajdonsággal , mivel kiemeli a mátrix által meghatározott „ okroshka a macskából ” Arnold automorfizmust . A maximális entrópia mértéke ebben az esetben abszolút folytonos a Lebesgue-mértékhez képest; Kanta és DuPont bebizonyította, hogy algebrai esetben minden olyan K3 felület, amelynek automorfizmusa ennek a tulajdonságnak a tulajdonsága, Kummer (később Tosatti és Philip kiterjesztette ezt az állítást nem algebrai K3 felületekre; ezt az eredményt használták fel a Kähler határán lévő osztályok felépítéséhez kúp, a Ricci-lapos metrikák konvergenciája, amikor arra törekszünk, amelyre kóros tulajdonságokkal rendelkezik). $H^{1,1}$ $egy$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}/\{\mathbb {Z} \oplus {\sqrt {-1))\mathbb {Z} \}^{2))$ ${\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}$

A fent leírt három involúciós felület holomorf dinamikáját Barry Mazur tanulmányozta .

Torelli tételét felhasználva McMullen olyan K3 felületek automorfizmusait konstruálta meg, amelyek beengedik a Siegel-korongokat – vagyis az automorfizmus által megőrzött és biholomorf nyitott tartományokat két olyan korong szorzatához, amelyeken az automorfizmus hat, forgással konjugálva , ahol olyan számok vannak, amelyek nem gyökerei egység . $(z,w)\mapsto (az,bw)$ $|a|=|b|=1$

Történelem

A K3 felületek első példáit Euler vizsgálta néhány diofantusi egyenlet megoldása során (ötleteit később Ramanujan fejlesztette ki ). A K3 felületek geometriai megközelítését jóval később határozták meg, Cayley , Kummer és Henriquez munkáiban .

A "K3-surface" nevet 1958-ban André Weil javasolta (Kummer, Köhler és Kodaira nyomán ). Megpróbálta bebizonyítani Torelli tételét algebrai K3 felületekre is. Valamivel később Kodaira bebizonyította, hogy minden K3 felület, beleértve a nem algebraiakat is, deformációval egyenértékű (különösen diffeomorf). Az elliptikus K3 felületek szinguláris szálait is osztályozta.

Az algebrai K3 felületekre vonatkozó lokális Torelli-tételt 1965-ben Tyurina , a globálist Pjatecki-Sapiro és Shafarevich 1971-ben bizonyította. Torelli globális tételét Burns és Rapoport 1975-ben kiterjesztette a nem algebrai K3-felületekre. 1977-ben Viktor Kulikov [5] osztályozta a K3-felületek degenerációit, és a K3-felületeket Nikulin [6] véges automorfizmus-csoportokkal írta le .

Jegyzetek

↑ Minden algebrai komplex K3-felület K3-felület a differenciálgeometriai definíció értelmében; fordítva általában nem igaz.
↑ S.K. Donaldson. Calabi-Yau metrikák Kummer felületeken mint modellragasztási probléma , 2010. július 27.
↑ Maxim Kontsevich, Yan Soibelman. Affin struktúrák és nem archimédeszi analitikai terek , Benyújtva 2004. június 28-án
↑ Valentino Tosati. Összeomló Calabi-Yau elosztók , 2020
↑ Vic. S. Kulikov, Degenerations of K3 felületek és Enriques felületek , Izv. A Szovjetunió Tudományos Akadémia. Ser. Mat., 41:5 (1977), 1008–1042
↑ V. V. Nikulin, K3 típusú Kähler-felületek véges automorfizmuscsoportjai , Tr. MMO, 38, Moszkvai Kiadó. un-ta, M., 1979, 75–137