Okroshka egy macskából

Az Okroshka egy macskából [1] ( fr. chat d'Arnold ) figyelemre méltó leképezés egy kétdimenziós tóruszból önmagába.

Képzeljünk el egy tóruszt egy négyzet egységként, amelynek ellentétes oldalai össze vannak ragasztva. Ezután a macskából származó okroshka megjelenítése a következőképpen jelenik meg: , ahol a göndör zárójelek a tört részt jelölik. Ez a leképezés megfordítható, és megőrzi az ábrák területét, de nem a szegmensek hosszát. $\Gamma \colon (x,y)\mapsto \left(\{x+y\},\{x+2y\}\right)$

Az „okroshka egy macskából” elnevezés a keveredési tulajdonságaihoz kapcsolódik: függetlenül attól, hogy milyen mérhető készletet választunk a tóruszon („macska”), ennek az automorfizmusnak az újabb és újabb iterációi hatására egyenletesen „elkenődik” . Formálisan a Lebesgue-mérték bármely mérhető részhalmaza esetén (feltételezve, hogy a teljes tórusz mértéke egység) és bármely nyitott részhalmaz esetében a metszés mértéke hajlamos lesz (hol van a Lebesgue-mérték ), ahogy közeledik a végtelenhez. V. I. Arnold és A. Ave Problèmes ergodiques de la mécanique classique című monográfiájában a macskafej sziluettje illusztrálta ezt a megjelenítést [2] , bár a franciában a szójáték elveszett. Emiatt ez a leképezés más nyelveken "Arnold's cat mapping" néven ismert ( francia chat d'Arnold , angolul Arnold's cat map ), amit maga V. I. Arnold is érdekességnek tartott. [3] Az eredeti könyv képét egy ironikus lábjegyzet kíséri, amely így szól: $m$ $U$ $\Gamma ^{k}($ $)\cap U$ $m\mu (U)$ $\mu (U)$ $U$ $k$

Az Állatvédő Társaság engedélyt adott ennek a képnek, valamint másoknak a sokszorosítására.

Eredeti szöveg (fr.)[ showelrejt] La SPA a donné son autorisation pour la reproduction de cette figure, comme bien d'autres.

A tórusz automorfizmusa helyett éppúgy beszélhetünk univerzális borításának (azaz az euklideszi síknak) automorfizmusáról azzal a tulajdonsággal, hogy tetszőleges pontra és egész pontokra és . A macska okroshka megfelelő síktranszformációja egy mátrix (vagy más hasonló, a koordináták megválasztásától függően) által adott lineáris transzformáció. Ennek a mátrixnak a determinánsa 1, tehát az általa meghatározott transzformáció reverzibilis és területmegtartó. Ráadásul ez a mátrix szimmetrikus, így az általa definiált transzformáció átlósítható az és a sajátértékekkel . Mivel ennek a mátrixnak a determinánsa 1, pályái hiperbolák , ahol a sajátvektorok alapjának koordinátái vannak. Ezen hiperbolák mindegyike (valamint aszimptotáik) sűrű görbékké válnak, ha egy tóruszra vetítik. $f(x+n,y+m)=f(x,y)+(n',m')$ $(x,y)$ $(n,m)$ $(n',m')$ ${\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}}$ ${\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}$ ${\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}$ $uv=\mathrm {const}$ $u,v$

A macskából származó okroshka tulajdonságai

A leképezés ergodikus , anosov és szerkezetileg stabil . $\Gamma$
A tórusz öt téglalapra vágható, amelyek oldalai párhuzamosak a macska okroshka saját irányával. Ha felírjuk, hogy a macska okroshka mekkora valószínűséggel mozgatja a pontot a -edik téglalapból a -edikbe, akkor egy Markov-folyamatot kapunk . Ezzel bizonyíthatjuk ennek a leképezésnek a keverési tulajdonságait. Általánosságban elmondható, hogy ez a kódolás megőrzi az okroshka összes tulajdonságát a macskából, mint dinamikus rendszerből: például a tórusz minden pontja megfelel a sorsának - egy végtelen számsorozat 1-től 5-ig mindkét irányban, jelezve, hogy melyik téglalap a pontok. beleesni . A jövőbeli pont több értékének rögzítése ugyanaz, mint egy bizonyos függőleges öv rögzítése, amelybe esik; a múlt több jelentésének rögzítése olyan, mint egy vízszintes öv rögzítése. Ebből különösen az látható, hogy a macskából származó okroshka számára a jövő nem a múlttól függ . [négy] $én$ $j$ $x$ $\dots ,\Gamma ^{-1}x,x,\Gamma x,\Gamma ^{2}x,\pontok$
A macskából származó okroshka periodikus pontjai sűrűek : egy pontnak akkor és csak akkor van periodikus pályája (esetleg valamilyen előperiódussal), ha a koordinátái racionálisak. Egy osztó nevezővel rendelkező pont periódusa nem lehet nagyobb, mint . Egyébként a periódusnak a nevezőtől való függése rendkívül szabálytalan. A macska okroshka térképét racionális pontokon, különösen korlátozott nevezővel, gyakran "diszkrét macska okroshkának" nevezik. $N$ $3N$
A pontok száma ponttal pontosan . Ebben a sorrendben az első számok a következők: 1, 5, 16, 45, 121, 320, 841, 2205, 5776, 15125, 39601, 103680, 271441, 710645, 1860496, 4870845, 12752041, 333385280, 87403801, 2288266662626626661, 271441, 33385280, 87403801, 228825 599476, 156125, 59944, 156125, 5994, 156125, 5994, 596125, 5997, 4106118241, 10749957120, 10749957120, 10749957120, 2816435528124355 ] $n$ $\left|\left({\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+\left({\frac {3-{\sqrt {5} }}{2}}\jobbra)^{n}-2\jobbra|$

A macska okroshka használata

A "Folytatólagos törtek" című füzetben V. I. Arnold megpróbált geometriai bizonyítást adni Lagrange-tételnek, amely kimondja, hogy a valós szám akkor és csak akkor növekszik periodikusan folyamatos törtté (esetleg valamilyen előperiódussal), ha ez a szám másodfokú irracionalitás . . Megközelítésében egy macskából származó okroshkát használt. Az általa bevezetett "nagyobb dimenziós folytonos törtek" tanulmányozásához a magasabb dimenziójú tori hasonló leképezéseit vette figyelembe, például egy háromdimenziós tórusz mátrix által adott automorfizmusát . Segítségével diákjainak, Tsushiashinak és Korkinának sikerült megtalálniuk a Lagrange-tétel analógját a köbös irracionalitásokra. [3] A valódi többdimenziós macska-okroshka és az Inue-felületek összetett geometriája közötti kapcsolat, amely szintén a köbös irracionalitásokhoz kapcsolódik, továbbra is homályos. ${\begin{pmatrix}3&2&1\\2&2&1\\1&1&1\end{pmatrix}}$
A macskából származó okroshkához hasonló leképezést is lehet definiálni az összetett torihoz . Egy kétdimenziós komplex tóruszból Kummer K3 felületet lehet építeni ; ebben az esetben a macskából származó okroshka határozza meg a K3 felület leképezését. A Kant és Dupont tétel kimondja, hogy minden olyan automorfizmussal rendelkező K3 felület, amelynek maximális entrópia mértéke abszolút folytonos a Lebesgue-mértékhez képest, Kummer-felület (vagyis egy tóruszból származik; ezen a tóruszban az automorfizmus hatni fog hasonló módon, mint az okroshka macskából). [6]

Jegyzetek

↑ Videótár: N. Goncharuk, Yu. Kudryashov, Okroska egy macskából. 1. előadás . Letöltve: 2020. június 20. Az eredetiből archiválva : 2020. június 22. (határozatlan)
↑ VI Arnold, A. Avez. Problémák ergodiques de la mécanique classique: [ fr. ] . - Gauthier-Villars, 1967. - (Monographies internationales de mathématiques modernes).
↑ 1 2 V. I. Arnold. Lánclövések. - MTSNMO Kiadó, 2009. - (Matematikai oktatás könyvtára).
↑ Videótár: N. Goncharuk, Yu. Kudryashov, Okroska egy macskából. 3. előadás . Letöltve: 2020. június 20. Az eredetiből archiválva : 2020. június 21. (határozatlan)
↑ A004146 - OEIS . Letöltve: 2020. június 20. Az eredetiből archiválva : 2020. július 6. (határozatlan)
↑ V. Tosatti . Ricci-lapos metrikák és dinamika K3 felületeken Archiválva 2020. június 22-én a Wayback Machine -nél 2020. március 23-án