Mérhető készlet

A mérhető halmaz a matematikában olyan halmaz, amelynek mérhető karakterisztikus függvénye van (azaz ezen a halmazon 1-gyel egyenlő, a halmaz komplementerén pedig 0-val egyenlő függvény) [1] .

Egy halmazt akkor mondunk mérhetőnek a mértékhez képest, ha a σ-algebrához tartozik , amelyen definiált . Az euklideszi tér részhalmazai esetében , ha a mérték nincs megadva, azt feltételezzük, hogy ez a Lebesgue-mérték . $\mu$ $\mu$ $\mu$

A külső mérték meghatározása

Legyen egy S félgyűrű E identitással és rajta egy σ-additív mérték , ami azt jelenti, hogy bármely halmazra definiálhatunk egy külső mértéket . Ekkor az A halmazt mérhetőnek nevezzük az if mértékéhez képest $\mu$ $S részhalmaz$ $\mu$

\forall \varepsilon >0:\forall B\subset S:\mu ^{*}(A\háromszög B)<\varepsilon \Jobbra B\in R(S):,

ahol R(S) az S - t tartalmazó minimális gyűrű , és a halmazok szimmetrikus különbsége . Ebben az esetben a mérhető halmazok halmaza σ-algebra lesz, a külső mérték erre a halmazra való korlátozása pedig σ-additív mérték lesz. $\háromszög$

Tulajdonságok

A mérhető halmazok véges vagy megszámlálható halmazának uniója egy mérhető halmaz [2] .

Jegyzetek

↑ Shilov, 1961 , p. 158.
↑ Shilov, 1961 , p. 159.

Irodalom

Shilov G.E. Matematikai elemzés. Különleges tanfolyam. — M .: Nauka, 1961. — 436 p.