Külső intézkedés

A külső mérték a hossz, terület és térfogat fogalmának egyik általánosítása; a tér összes részhalmazán definiált valós értékű függvény, amely számos további specifikációt is kielégít.

Történelem

A külső mérték általános elméletét Constantine Carathéodory dolgozta ki , hogy alapot adjon a mérhető halmazok és a megszámlálhatóan additív mértékek elméletéhez. Carathéodory külső mértékkel kapcsolatos munkája számos alkalmazást talált a mérhető halmazok elméletében (például a külső mértéket használják Carathéodory alapvető kiterjesztési tételének bizonyítására), és Hausdorff arra használta, hogy meghatározzon egy metrikus invariánst, amely általánosítja a dimenziót. Hausdorff dimenziónak nevezett .

A számsor esete

A valós egyenes egy tetszőleges részhalmazára tetszőlegesen sok különböző véges vagy megszámlálható számú intervallumból álló rendszert találhatunk, amelyek uniója tartalmazza a halmazt . Az ilyen rendszereket bevonatoknak nevezzük. Mivel a tetszőleges borítást alkotó intervallumok hosszának összege nem negatív, alul korlátos, így az összes borító hosszhalmazának van egy pontos alsó határa. Ezt az arcot, csak a készlettől függően , külső mértéknek nevezzük : $E$ $E$ $E$

{\displaystyle m^{*}E=\inf \left\{\sum _{i}\Delta _{i}\right\))

Lehetőségek külső intézkedés kijelölésére:

m^{*}E=\varphi (E)=|E|^{*}

Formális definíció

Legyen fix halmaz . A külső mérték olyan függvény , hogy $x$ $\mu ^{*}\colon 2^{X}\longrightarrow [0,\,+\infty ]$

$\mu ^{*}(\varnothing )=0$ ;
$\forall A\subseteq X,\,\forall A_{n}\subset X,n\geqslant 1,\,A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\ kettőspont \mu ^{*}(A)\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }\mu ^{*}(A_{n})$ .

Legyen a gyűrűn meghatározott mérték . Egy mérték által generált külső mérték olyan függvény , hogy $\mu$ $K$ $\mu$ $\mu ^{*}\colon 2^{X}\longrightarrow [0,\,+\infty ]$

${\displaystyle \mu ^{*}(A)=\inf {\bigl \{}\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}){\bigr \)),\ ;A_{n}\subset K,n\geqslant 1,\,A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n))$ ha a halmaznak legalább egy ilyen borítása létezik; $A$
$\mu ^{*}(A)=+\infty$ másképp.

Tétel . A mérték által generált külső mérték a külső mérték. $\mu ^{*}$ $\mu$

$\vartriangleright$ Ellenőrizzük az első pontot a külső mérték definíciójából. . -n van meghatározva . $\mu \geqslant 0\Rightarrow \mu ^{*}\geqslant 0$ $\mu ^{*}$ $2^{{X}}$

\varnothing \in K\colon \mu ^{*}(\varnothing )\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }\mu (\varnothing )=0\Rightarrow \mu ^{* }(\varnothing )=0

Vizsgáljuk meg a definíció második pontját. Hadd . Ha van olyan halmaz a borítóból, hogy , akkor az egyenlőtlenség fennáll. Legyen továbbá minden halmaz a lefedettségből olyan, hogy . Vegyünk egy tetszőleges , a pontos alsó korlát definíciója szerint ${\displaystyle A\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n))$ $A_{{n}}$ $\mu ^{*}(A_{n})=+\infty$ $\mu ^{*}(A_{n})<+\infty ,\,\forall n\geqslant 1$ $\varepsilon >0$

{\displaystyle \forall n\geqslant 1\,\exists B_{n_{k}}\in K,k\geqslant 1,\,A_{n}\subseteq \bigcup _{k=1}^{\infty } B_{n_{k}}\colon \mu ^{*}(A_{n})>\sum _{k=1}^{\infty }\mu (B_{n_{k)))-{\frac {\varepsilon }{2^{n))))

Akkor

\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=1}^{\infty }B_{n_{k))\supseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\supseteq A

Mivel a gyűrű elemeinek megszámlálható uniója , akkor $\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=1}^{\infty }B_{n_{k))$ $K$

\mu ^{*}(A)\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }\mu (B_{n_{k)) )<\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\mu ^{*}(A_{n})+{\frac {\varepszilon }{2^{n))}{\ bigr )}=\sum _{n=1}^{\infty }\mu ^{*}(A_{n})+\varepsilon ,\varepsilon \longrightarrow 0+

\vartriangeleft

Külső mérték tulajdonságai

A külső mérés tulajdonságai : $\mu ^{*}$

$\forall n\geqslant 1,\,A\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\colon \mu ^{*}(A)\leqslant \sum _{k= 1}^{n}\mu ^{*}(A_{k})$ .

$\vartriangleright$ Igazán,

A\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\cup \varnothing \cup \varnothing \cup \cdots \Rightarrow \mu ^{*}(A)\leqslant \sum _ {k=1}^{n}\mu ^{*}(A_{k})+\mu ^{*}(\varnothing )+\mu ^{*}(\varnothing )+\cdots =\sum _ {k=1}^{n}\mu ^{*}(A_{k})

\vartriangeleft

$A\subseteq B\Rightarrow \mu ^{*}(A)\leqslant \mu ^{*}(B)$ ( monotonitás ).

$\vartriangleright$ Következik a korábbi ingatlanból: . $n=1$ $\vartriangeleft$

𝜇*-mérhető készletek

Legyen a halmaz részhalmazain meghatározott külső mérték . Ezután úgy állítja be , hogy az egyenlőség mindenkire érvényes $\mu ^{*}$ $x$ $E\X részhalmaz$ $A\X részhalmaz$

\mu ^{*}(A)=\mu ^{*}(A\cap E)+\mu ^{*}(A\cap {\overline {E)))

mérhetőnek nevezzük . -mérhető halmazok egy σ-gyűrűt alkotnak, és ennek a σ-gyűrűnek az elemein definiált függvény egy által generált mérték . Ha a külső mértéket valamilyen , a gyűrűn definiált mérték generálja , akkor az a mérték kiterjesztése lesz (ahol a fent definiált mérték, az által generált mérték ). $\mu ^{*}$ $\mu ^{*}$ $\mu ^{*}$ $\mu ^{*}$ $\mu ^{*}$ $\mu$ $K$ ${\overline {\mu ))$ $\mu$ ${\overline {\mu ))$ $\mu ^{*}$

Ha a mérték által generált külső mérték határozza meg , akkor és csak akkor, ha magát a külső mértéket valamilyen mérték generálja . ${\overline {\mu }}^{*}$ ${\overline {\mu ))$ $\mu ^{*}={\overline {\mu }}^{*}$ $\mu ^{*}$ $\mu$

Lásd még

Irodalom

Dorogovtsev A.Ya. A mérték és integrál általános elméletének elemei. Kijev, 1989
Khalmosh P.R. mértékelmélet. M.: Izd-vo inostr. lit., 1953