Pontos Euler-szekvencia

A pontos Euler-szekvencia egy bizonyos pontos tárcsasorozat egy n - dimenziós projektív térben egy gyűrű felett . Megmutatja, hogy egy projektív tér kotangens kötege stabilan izomorf a tautologikus kötegek ( n + 1)-szeres összegével (lásd Serre twist sheaf ). ${\mathcal {O}}(-1)$

Megfogalmazás

Egy kommutatív A gyűrűre létezik egy pontos tárcsasorozat

0\to \Omega _{\mathbb {P} _{A}^{n}/A}^{1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A} ^{n}}(-1)^{\oplus n+1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A}^{n}}\to 0.

Ennek bizonyításához elegendő egy homomorfizmust definiálni , ahol és 1 hatványára, szürjektív hatványokban, és ellenőrizni kell, hogy lokálisan az ( n + 1)-edik standard affin diagramokon a kernel izomorf a relatív differenciálok modulusával . [egy] ${\displaystyle S(-1)^{\oplus n+1}\to S,e_{i}\mapsto x_{i))$ $S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ $e_i = 1$ $\geq 1$

Geometriai értelmezés

Feltételezzük, hogy az A gyűrű egy k mező .

A fenti pontos sorrend megegyezik a sorozattal

0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1)}\to { \mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to 0

ahol az utolsó nem nulla tag az érintőceruza.

Tekintsünk egy V - ( n + 1)-dimenziós vektorteret k felett, és magyarázzuk el a pontos sorrendet

0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (V)}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (V)}(1)\otimes V \to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} (V)}\to 0

Ez a sorozat a legkönnyebben úgy érthető meg, ha a középső tagot egy V vektortéren lévő 1-homogén vektormezők kötegként értelmezzük . Ennek a kötegnek van egy figyelemreméltó szakasza - az Euler-vektormező -, amelyet tautológiailag úgy határoznak meg, hogy a vektortér egy pontját összehasonlítják az ennek a pontnak megfelelő vektorral, amely ezen a ponton átkerült az érintőtérbe.

Ez a vektormező abban az értelemben sugárirányú, hogy eltűnik a 0-homogén függvényeken, vagyis azokon a függvényeken, amelyek invariánsak a nulla középpontú homotitás alatt.

Egy függvény (valamilyen nyitott halmazon definiálva) on 0-homogén függvényt indukál V -n (ismét részben definiált). 1-homogén vektormezőket kapunk, ha az Euler-vektormezőt megszorozzuk ilyen függvényekkel. Ez határozza meg az első megjelenítést. $\mathbb {P} (V)$

A második leképezés a levezetés fogalmához kapcsolódik, amely ekvivalens a vektormező fogalmával. Emlékezzünk vissza, hogy egy projektív tér U nyitott részhalmazán lévő vektormező definiálható ezen a nyílt halmazon meghatározott függvények származékaként. Figyelembe véve a V - beli előképet , ez egyenértékű az U előképből való származtatással, megőrizve a 0-homogén függvényeket. Ily módon tetszőleges on vektormezőt kaphatunk, és a kapott leképezés magja pontosan radiális vektormezőkből áll. $\mathbb {P} (V)$ $\mathbb {P} (V)$

Egy projektív tér kanonikus vonalkötege

A magasabb külső erőkre áttérve azt találjuk, hogy a projektív tér kanonikus köve alakja

\omega _{\mathbb {P} _{A}^{n}/A}\cong {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A}^{n}}(- (n+1))

Különösen a projektív terek a Fano-változatok , mivel a kanonikus vonalköteg ellentétes .

Jegyzetek

↑ Hartshorne, 1981 , II.8.13. tétel.

Irodalom

Hartshorne R. Algebrai geometria / ford. angolról. V. A. Iskovskikh. - M .: Mir, 1981.