Orientáció

Az orientáció , a klasszikus esetben - a koordinátarendszerek egy osztályának kiválasztása, amelyek bizonyos értelemben „pozitívan” kapcsolódnak egymáshoz. Minden rendszer meghatároz egy orientációt azáltal, hogy meghatározza azt az osztályt, amelyhez tartozik.

Az elemi matematikában a tájékozódást gyakran az óramutató járásával megegyező és ellentétes irányban írják le.

Az orientáció csak bizonyos speciális terek osztályaira van definiálva ( sokaság , vektorkötegek , Poincare komplexek , stb.). Az orientáció modern nézetét az általánosított kohomológiai elméletek keretei között adjuk meg .

Véges dimenziós vektortér

A valós számok mezeje feletti véges dimenziójú vektortér esetén két koordinátarendszert akkor tekintünk pozitívan összefüggőnek, ha az egyikből a másikba való átmenet mátrixának determinánsa pozitív.

Jegyzetek

Általános területen az orientáció meghatározása nehézségekbe ütközik. Például egy összetett térben egy komplex bázis határoz meg egy valós bázist ugyanabban a térben, amelyet -nek tekintünk , és az összes ilyen bázis pozitív átmenetekkel páronként össze van kötve (más szóval a komplex struktúra orientációt határoz meg -ben ). ${\mathbb C}^{n}$ $e_{1},e_{2},...,e_{n}$ $e_{1},e_{2},...,e_{n},ie_{1},ie_{2},...,ie_{n}$ $\mathbb{R} ^{{2n}}$ $\mathbb{R} ^{{2n}}$

Változatok és általánosítások

Affine space

Egyenes vonalon, síkon és általában egy valós affin térben a koordinátarendszerek egy pontból (origig ) és egy keretből állnak , az átmenetet az origó átviteli vektora és a keret cseréje határozza meg. Ez az átmenet akkor pozitív, ha a helyettesítő mátrix determinánsa pozitív (például ha a keretvektorok permutációja páros). $A$ $O$ $\{e_{i}\}$

Két koordinátarendszer akkor határoz meg azonos tájolást, ha az egyik folyamatosan konvertálható a másikká, azaz létezik a , , paramétertől folyamatosan függő koordinátarendszerek családja , amely az adott rendszereket és , , összeköti . $t\in[0,1]$ $O(t)$ $\{e_{i}(t)\}$ $O$ $\{e_{i}\}$ $O'$ $\{e'_{i}\}$

Ha egy hipersíkon tükröződik , két osztály rendszerei mennek át egymásba.

A tájolás megadható egy -dimenziós szimplex ( kétdimenziós esetben háromszög , háromdimenziós esetben tetraéder ) csúcsainak sorrendjével , a Keretet a feltétel határozza meg: a kezdet a első csúcs, a keret vektorai az elsőből a többire irányulnak. Két sorrend akkor és csak akkor határozza meg ugyanazt az orientációt, ha páros permutációban különböznek egymástól . Egy fix sorrendű csúcspontot egészen egyenletes permutációig orientáltnak mondunk. Egy orientált szimplex minden -oldala indukált orientációt kap: ha az első csúcs nem tartozik egy laphoz, akkor a többiek sorrendjét pozitívnak tekintjük. $n$ $(n-1)$

Fajták

Egy összefüggő sokaságban a koordináta-rendszer egy atlasz , amely lefedő térképek halmaza . Egy atlaszról azt mondjuk, hogy orientáló, ha a koordinátatranszformációk mindegyike pozitív. Ez azt jelenti, hogy fokuk egyenlő , és differenciálható sokaság esetén a transzformáció jakobiánusai minden ponton pozitívak . Ha létezik orientáló atlasz, akkor a sokaságot orientálhatónak mondjuk . Ebben az esetben minden tájékozódási atlasz két osztályba sorolható, így az egyik atlasz térképeiről a másik térképére való átmenet akkor és csak akkor pozitív, ha az atlaszok ugyanabba az osztályba tartoznak. Az ilyen osztály kiválasztását az elosztó irányának nevezzük. Ez a választás egyetlen térkép vagy helyi tájolás megadásával is megtehető egy ponton. Differenciálható sokaság esetén a lokális orientáció egy pontban az érintősíkban keret megadásával adható meg. Ha van éle és orientált, akkor az él is tájolható, például a szabály szerint: az élpontban egy keretet veszünk, amely orientálja a -t , amelynek első vektora -ból irányul , a többi vektor pedig az él érintősíkjában ez utóbbiakat vesszük az él orientáló keretének. $M$ $M$ $+1$ $M$ $M$ $M$ $M$

Zavarba ejtő körvonal

A dezorientáló kontúr egy zárt görbe egy elosztócsőben , amelynek megvan az a tulajdonsága, hogy ha áthalad rajta, a helyi tájolás előjelet vált.

Dezorientáló kontúr csak egy nem orientálható sokaságban létezik , és az alapcsoport homomorfizmusa egy nem dezorientáló hurokosztályokból álló kernellel egyedileg definiálható . $M$ $\pi _{1}(M)$ $\mathbb Z_2$

Bármely út mentén választhat egy kártyaláncot úgy, hogy két szomszédos kártya pozitívan kapcsolódik egymáshoz. Így a pontban lévő tájolás határozza meg a pont orientációját, és ez az összefüggés csak a rögzített végeken lévő folyamatos deformációig függ az úttól . Ha hurok, azaz , akkor dezorientáló kontúrnak nevezzük , ha ezek az irányok ellentétesek. Van egy homomorfizmusa az alapcsoportnak a rend csoportjába : a dezorientáló hurkok a -ba mennek , a többi pedig -ba . Ezzel a homomorfizmussal olyan burkolatot készítünk, amely nem tájolható sokaság esetén kétrétegű. Tájékozódásnak hívják (mert a takaró tér tájolható lesz). Ugyanez a homomorfizmus definiál egy egydimenziós köteget is, amely akkor és csak akkor triviális, ha orientálható. Egy differenciálható esetében megkülönböztethető sorrendi formák kötegeként definiálható . Egy nem nulla szakasz csak tájolható esetben létezik benne, és beállítja a kötet alakját és egyben a tájolást . $q:[0,1]\–M$ $q(0)$ $q(1)$ $q$ $q$ $q(0)=q(1)=x_{0}$ $q$ $\pi _{1}(M,x_{0})$ $2$ $-egy$ $+1$ $M$ $M$ $M$ $\Omega ^{n}(M)$ $n=\operátornév {dim}M$ $M$

A homológia nyelvén

Az orientáció a homológiai nyelven definiálható : egy összekapcsolt, határ nélküli orientálható sokaság esetén a homológiacsoport (zárt támaszokkal) izomorf , és a két generátor közül az egyik választása állítja be az orientációt - pozitív leképezési fokú térképek kerülnek kiválasztásra. Határral összekapcsolt elosztó esetén ugyanez igaz a -ra . Az első esetben az orientálhatóság az M homotópia invariánsa, a második esetben pedig a párok . Tehát a Möbius szalag és a gyűrű azonos abszolút homotópiás típussal rendelkezik, de eltérő - a perem tekintetében. $H^{n}(M,\mathbb{Z } )$ $\mathbb {Z}$ $H^{n}(M,\részleges M,\mathbb{Z } )$ $(M,\részleges M)$

Egy sokaság lokális orientációja megadható úgy is, hogy egy izomorf csoportba tartozó generátort választunk.Az orientáció homológ értelmezése lehetővé teszi, hogy ezt a fogalmat általánosított homológ sokaságokra is átvigyük. $H^{n}(M,M\backslash x_{0},\mathbb{Z } )$ $\mathbb {Z}$

Pseudomanifolds

Egy háromszögelt sokaság (vagy pszeudomanifold ) akkor tájolható, ha lehetséges az összes -dimenziós egyszerűséget úgy orientálni, hogy két, közös -dimenziós felülettel rendelkező egyszerűség ellentétes orientációt indukáljon rajta. A -dimenziós egyszerűségek zárt láncolatát , amelyben minden két szomszédnak közös -arca van, dezorientációnak nevezzük, ha ezek az egyszerűségek úgy orientálhatók, hogy az első és az utolsó egyszerűség egybeeső orientációt indukál a közös oldalon, a többi szomszéd pedig ellentétes irányultságokat idéz elő. $M$ $n$ $(n-1)$ $n$ $(n-1)$

Csomagok

Legyen egy köteg szabványos szálas a tér fölött . Ha az összes szál orientációja megválasztható úgy, hogy a megfelelő homotópiához vezető egyedi útvonallal meghatározott (megfelelő) leképezés megőrzi az orientációt, akkor a köteget orientáltnak, a rétegek orientációjának jelzett megválasztását pedig a köteg tájolása. Például a Möbius-csíknak , amelyet egy kör feletti vektorkötegnek tekintünk, nincs orientációja, míg a henger oldalfelületének igen. $B$ $p:E\-B$ $F$ $B$

Végtelen dimenziós terek

Az orientáció fogalma természetes általánosítást tesz lehetővé egy végtelen dimenziós sokaság esetében, amelyet egy végtelen dimenziós Banach vagy topológiai vektortér felhasználásával modelleztek . Ugyanakkor megszorításokra van szükség azokra a lineáris operátorokra , amelyek a térképről a térképre átmenet függvényei differenciálok: nem csak a modellezési tér összes izomorfizmusának általános lineáris csoportjába kell tartozniuk, ami homotópia triviális (az egységes topológiában). ) . _ Ezután ennek az alcsoportnak a csatlakoztatott komponense beállítja az orientáció "jelét". Ilyen alcsoportként általában a Fredholm -csoportot választják , amely a modellezési tér azon izomorfizmusaiból áll, amelyeknél az azonos izomorfizmustól való eltérés teljesen folytonos operátor .