Labda

A labda egy geometrikus test ; a tér összes pontjának halmaza, amelyek a középponttól legfeljebb egy adott távolságra helyezkednek el. Ezt a távolságot a labda sugarának nevezzük . Egy labda úgy jön létre, hogy egy félkört a rögzített átmérője körül forgatunk . Ezt az átmérőt a labda tengelyének, a megadott átmérő mindkét végét pedig a labda pólusának nevezzük . A labda felületét gömbnek nevezzük : a zárt golyó magában foglalja ezt a gömböt , a nyitott labda pedig kizárja.

Kapcsolódó definíciók

Ha a vágósík átmegy a labda középpontján, akkor a labda metszetét nagykörnek nevezzük . A labda többi síkbeli szakaszát kis köröknek nevezzük . Ezen szakaszok területét a πR² képlettel számítjuk ki.

Alapvető geometriai képletek

A sugarú (és átmérőjű ) golyó felületét és térfogatát a következő képletek határozzák meg: $S$ $V$ $r$ $d = 2r$

$S=\4\pi r^{2}$

$S=\ \pi d^{2}$

$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

Bizonyíték

Vegyünk egy R sugarú negyedkört, amelynek középpontja a pont . Ennek a körnek a kerületének egyenlete: , honnan . $\left(0;0\right)$ $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ $y^{2}=R^{2}-x^{2}$

A függvény folyamatos, csökkenő, nem negatív. Amikor egy kör negyede forog az Ox tengelye körül, félgömb keletkezik, ezért: $y={\sqrt {R^{2}-x^{2}}},x\in (0;R)$

${1 \over 2}V=\pi \int \limits _{0}^{R}(R^{2}-x^{2})dx=\pi \cdot {\Bigl .}\left(R ^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\jobbra){\Bigr |}_{0}^{R}=\pi \cdot (R^{3}-{\ frac {R^{3}}{3}})={\frac {2}{3}}\pi R^{3}$

Hol található Ch. t. $V={\frac {4}{3}}\pi R^{3}$

$V={\frac {\pi d^{3}}{6}}$

Bizonyíték

$d=2r, V={4 \over 3} \pi r^3 = {4 \over 3} \pi \left ( {d \over 2} \right )^3 = {4 \over 3} \pi \ frac {d^3} {8} = \frac {\pi d^3} {6}$ H. t. d.

A metrikus térben lévő golyó fogalma természetesen általánosítja a labda fogalmát az euklideszi geometriában .

Definíciók

Legyen adott egy metrikus tér . Akkor $(X,\rho)$

Az a labda (vagy nyitott labda ), amelynek középpontja egy pontban és sugara van, halmaz $x_{0}\X-ben$ $r>0$

B_{r}(x_{0})=\{x\in X\mid \rho (x,x_{0})<r\}.

Egy zárt golyó középpontjával és sugarával egy halmaz $x_{0}$ $r$

D_{r}(x_{0})=\{x\in X\mid \rho (x,x_{0})\leqslant r\}.

Jegyzetek

A középpontos sugarú golyót egy pont szomszédságának is nevezik . $r$ $x_{0}$ $r$ $x_{0}$

Tulajdonságok

A golyó egy nyitott halmaz a metrika által generált topológiában . $\rho$
A zárt golyó egy zárt halmaz a metrika által generált topológiában . $\rho$
Egy ilyen topológia definíciója szerint a bármely ponton középponttal rendelkező nyitott golyók képezik az alapját . $x$
Nyilvánvalóan . Általában azonban a nyitott labda bezárása nem esik egybe egy zárt labdával: $B_{r}(x_{0})\subset D_{r}(x_{0})$ $\overline {B_{r}(x_{0})}\neq D_{r}(x_{0}).$
- Például: legyen diszkrét metrikus tér , és kettőnél több pontból áll. Akkor mindenre, amink van: $(X,\rho)$ $x$ $x\X-ben$

B_{1}(x)=\{x\},\;\overline {B_{1}(x)}=\{x\},\;D_{1}(x)=X.

kötet

Egy n -dimenziós R sugarú golyó térfogata n- dimenziós euklideszi térben: [1]

V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)))R^{n},

ahol Γ az Euler - gammafüggvény (ami a faktoriális kiterjesztése a valós és komplex számok mezőjére ). A gamma-függvény speciális ábrázolásait egész és fél egész számokhoz használva olyan képleteket kaphatunk egy n-dimenziós golyó térfogatára vonatkozóan, amelyekhez nincs szükség gamma-függvényre:

V_{2k}(R)={\frac {\pi ^{k}}{k!)}}R^{2k}

V_{2k+1}(R)={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={ \frac {2(k!)(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}

Ismerős !! itt a kettős faktoriálist jelöljük .

Ezeket a képleteket egy általánosra is redukálhatjuk:

V_{n}(R)={\frac {2^{\left[{\frac {n+1}{2}}\right]}\pi ^{\left[{\frac {n} {2}}\jobbra]}}{n!!}}R^{n}

Inverz függvény a sugár térfogattól való függésének kifejezésére:

{\displaystyle R_{n}(V)={\frac {\Gamma (n/2+1)^{1/n)){\sqrt {\pi ))}V^{1/n))

Ez a képlet ketté is osztható, páros és páratlan számú dimenziójú terekre, a gammafüggvény helyett a faktoriális és a dupla faktoriális használatával:

{\displaystyle R_{2k}(V)={\frac {(k!V)^{1/2k)){\sqrt {\pi ))))

R_{2k+1}(V)=\left({\frac {(2k+1)!!V}{2^{k+1}\pi ^{k))}\jobb)^{ 1/(2k+1)}

. Rekurzió

A térfogatképlet rekurzív függvényként is kifejezhető . Ezek a képletek közvetlenül igazolhatók, vagy a fenti alapképletből származtathatók. Az n -dimenziós golyó térfogatát a legegyszerűbben egy dimenziós golyó térfogatával lehet kifejezni (feltételezve, hogy azonos sugarúak): $n-2$

V_{n}(R)={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{n-2}(R)

Létezik egy képlet egy n -dimenziós golyó térfogatára, amely egy azonos sugarú ( n -1)-dimenziós golyó térfogatától függ :

V_{n}(R)=R{\sqrt {\pi )){\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2)))}{\Gamma ({\frac {n }{2}}+1)}}V_{n-1}(R)

Ugyanez gamma függvény nélkül:

{\begin{aligned}V_{2k}(R)&=R\pi {\frac {(2k-1)!!}{2^{k}k!}}V_{2k-1}( R)=R\pi {\frac {(2k-1)(2k-3)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}{(2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2)) V_{2k-1}(R),\\V_{2k+1}(R)&=2R{\frac {2^{k}k!}{(2k+1)!!}}V_{2k} (R)=2R{\frac {(2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2}{(2k+1)(2k-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}V_ {2k}(R).\end{igazított}}

Kisebb méretű terek

Térfogatképletek egyes kisebb méretű terekhez:

Mérések száma	R sugarú gömb térfogata	A hangerőgömb sugara V
egy	$2R$	$V/2$
2	$\pi R^{2}$	${\frac {V^{1/2}}{\sqrt {\pi }}}$
3	${\frac {4\pi }{3}}R^{3}$	$\left({\frac {3V}{4\pi }}\right)^{1/3}$
négy	${\frac {\pi ^{2}}{2}}R^{4}$	${\frac {(2V)^{1/4}}{\sqrt {\pi }}}$
5	${\frac {8\pi ^{2}}{15}}R^{5}$	$\left({\frac {15V}{8\pi ^{2}}}\right)^{1/5}$
6	${\frac {\pi ^{3}}{6}}R^{6}$	${\frac {(6V)^{1/6}}{\sqrt {\pi }}}$
7	${\frac {16\pi ^{3}}{105}}R^{7}$	$\left({\frac {105V}{16\pi ^{3}}}\jobb)^{1/7}$
nyolc	${\frac {\pi ^{4}}{24}}R^{8}$	${\frac {(24V)^{1/8}}{\sqrt {\pi }}}$
9	${\frac {32\pi ^{4}}{945}}R^{9}$	$\left({\frac {945V}{32\pi ^{4}}}\jobb)^{1/9}$
tíz	${\frac {\pi ^{5}}{120}}R^{10}$	${\frac {(120V)^{1/10}}{\sqrt {\pi }}}$

Magasabb méretű terek

Mivel a dimenziók száma a végtelenbe hajlik, az egységnyi sugarú gömb térfogata nullára hajlik. Erre a térfogatképlet rekurzív ábrázolásából lehet következtetni.

Példák

Legyen egy euklideszi tér a szokásos euklideszi távolsággal. Akkor $\mathbb{R}^d$

if (a szóköz egyenes ), akkor $d=1$

B_{r}(x_{0})=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-x_{0}|<r\}=\left(x_{0}-{r} ,x_{0}+{r}\jobbra),

D_{r}(x_{0})=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-x_{0}|\leq r\}=\left[x_{0}-{r },x_{0}+{r}\jobbra].

nyitott és zárt szegmensek .

if (tér - sík ), akkor $d=2$ $B_{r}((x_{0},y_{0}))=\left\{(x,y)\in {\mathbb {R}}^{2}\mid {\sqrt {(x-x_) {0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}<r\jobbra\},$ $D_{r}((x_{0},y_{0}))=\left\{(x,y)\in {\mathbb {R}}^{2}\mid {\sqrt {(x-x_) {0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\leq r\right\}$

nyitott és zárt lemezek .

ha , akkor $d=3$ $B_{r}((x_{0},y_{0},z_{0}))=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb {R}}^{3}\mid { \sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}}<r\jobbra\},$ $D_{r}((x_{0},y_{0},z_{0}))=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb {R}}^{3}\mid { \sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}}\leq r\right\}$

egy nyitott és egy zárt sztereometrikus gömb .

Más metrikákban a golyó eltérő geometriai alakkal rendelkezhet. Például definiáljunk egy metrikát az euklideszi térben a következőképpen: $\mathbb{R}^d$ $\rho (x,y)=\sum \limits _{{i=1}}^{d}\|x_{i}-y_{i}\|,\quad x=(x_{1},\ldots ,x_{d})^{{\top }},y=(y_{1},\ldots ,y_{d})^{{\top }}\in {\mathbb {R}}^{d} .$

Akkor

ha , akkor egy nyitott négyzet , amelynek középpontja egy pontban van , és a hosszúság oldalai átlósan helyezkednek el a koordinátatengelyekre. $d=2$ $U_{r}(x_{0})$ $x_{0}$ ${\sqrt {2}}$
ha , akkor egy nyitott háromdimenziós oktaéder . $d=3$ $U_{r}(x_{0})$

Lásd még

Jegyzetek

↑ 5.19.4 egyenlet, NIST Digital Library of Mathematical Functions. http://dlmf.nist.gov/ , 2013-05-06, 1.0.6.

Irodalom

Golyó, geometrikus test // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.

Linkek online számológépekhez

Egy gömb térfogatának és területének kiszámítása (hozzáférhetetlen link) . Letöltve: 2012. március 12. Az eredetiből archiválva : 2011. augusztus 8.. (határozatlan)
Online számológépek (nem elérhető link) . Letöltve: 2019. július 2. Az eredetiből archiválva : 2019. január 9.. (határozatlan)
Matematikai etűdök (elérhetetlen link) . Letöltve: 2011. október 20. Az eredetiből archiválva : 2011. október 18.. (határozatlan) Gömb kötet rajzfilm