Térfogat (geometria)

A térfogat egy halmaz ( mérték ) additív függvénye , amely az általa elfoglalt térrégió kapacitását jellemzi. Kezdetben a háromdimenziós euklideszi tér testeivel kapcsolatban merült fel és alkalmazták szigorú definíció nélkül . Az első pontos definíciókat Peano ( 1887 ) és Jordan ( 1892 ) adta. Ezt követően a koncepciót Lebesgue a halmazok szélesebb osztályára általánosította.

A meghatározás megközelítései

A hangerő meghatározásához több, egymástól jelentősen eltérő megközelítés létezik, amelyek kiegészítik egymást, és következetesek a végeredményben a „jó készleteken”. Általában a térfogat fogalma alatt a Jordan-mértéket értjük , de néha a Lebesgue-mértéket is . A Riemann-féle sokaságok esetében a térfogat fogalmát a felület fogalmához hasonlóan vezetjük be .

A térfogat fogalma természetes általánosításokat enged meg a -dimenziós térfogat -dimenziós térben fogalmára , valamint az önkényes dimenziójú Riemann- és pszeudo-Riemann-terekre is . $n$ $n$

A legegyszerűbb testek kötetei

Ábra	Képlet	Jelölés
Kocka	$c^{3}$	$c$ - kocka éle
Prizma	$SH$	$S$ - alapterület, - a prizma magassága $h$
Henger	$\pi r^{2}h$	$r$ a sugár , a henger magassága $h$
Labda	${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$	$r$ - sugár
Ellipszoid	${\frac {4}{3}}\pi abc$	$ABC$ - főtengelyek
Piramis	${\frac {1}{3}}Ah$	$A$ - az alap területe, - a piramis magassága $h$
Kúp	${\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$	$r$ - alapsugár, - kúpmagasság $h$

Arkhimédésznek sikerült megállapítania, hogy egy hengerbe írt, közös csúcsú gömb és kúp a következőképpen kapcsolódik egymáshoz:

два конуса : сфера : цилиндр как 1:2:3.

Arkhimédész azt kérte, hogy üssön ki egy hengerbe írt labdát a sírján.

Általános integrál képlet

A háromdimenziós térben lévő test térfogatát hármas integrálként számítjuk ki : $D$

V=\iiiint \limits _{D}1\dxdydz

( derékszögű koordinátákkal )

V=\iiint \limits _{D}r\,dr\,d\theta \,dz

( hengeres koordinátákkal )

V=\iiint \limits _{D}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi

( gömbi koordinátákban )

Lásd még

Jegyzetek

Irodalom

Vodnev V. T., Naumovich A. F., Naumovich N. F., Alapvető matematikai képletek. Kézikönyv / Szerk. Bogdanova Yu. S. Szerk. második, átdolgozott és további Minszk, "A legmagasabb iskola", 1988
Merzon G.A., Jascsenko I.V. Hossz, terület, térfogat. - MTSNMO, 2011. - ISBN 9785940577409 .
Tsypkin A.G. Matematika kézikönyve középiskolák számára. - 4. kiadás, Rev. és hozzá.-M.: Nauka. Ch. szerk. Fiz.-Matek. lit., 1988. - 432 p.