Vegyes hangerő

A vegyes térfogat konvex testek halmazának numerikus jellemzője a -dimenziós euklideszi térben. $n$ $n$

Általában egy halmaz vegyes térfogatát jelölik ${\displaystyle K_{1},K_{2},\dots ,K_{n))$

V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})

Definíció

Legyen a konvex testek halmaza pozitív valós számok. Jelölje a test térfogatával ${\displaystyle K_{1},K_{2},\dots ,K_{n))$ $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n))$ $v(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})$

\lambda _{1}\cdot K_{1}+\lambda _{2}\cdot K_{2}+\dots +\lambda _{n}\cdot K_{n},

ahol " " jelöli a Minkowski összeget és $+$

\lambda _{i}\cdot K_{i}=\{\,\lambda \cdot x\mid x\in K_{i}\,\}.

A függvény egy homogén fokszámú polinom . Ennek a polinomnak az együtthatója definíció szerint egyenlő . $v(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})$ $n$ ${\displaystyle \lambda _{1}\cdot \lambda _{2}\cdot \dots \cdot \lambda _{n))$ $n!\cdot V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})$

vegye észre, az

v(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})=\sum _{i_{1},\dots ,i_{n}=1}^ {n}V(K_{i_{1}},K_{i_{2}},\dots ,K_{i_{n}})\cdot \lambda _{i_{1}}\cdot \lambda _{i_ {2}}\cdot \dots \cdot \lambda _{i_{n}}.

Tulajdonságok

Tetszőleges nemnegatív számok esetén ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n))$ $V(\lambda _{1}\cdot K_{1},\lambda _{2}\cdot K_{2},\dots ,\lambda _{n}\cdot K_{n})=\lambda _{1}\cdot \lambda _{2}\cdot \dots \cdot \lambda _{n}\cdot V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})$
A vegyes kötet invariáns testek párhuzamos fordítása esetén egy halmazban.
A vegyes hangerő monoton a testek befogadása tekintetében.
A kevert térfogat a Hausdorff-metrikához képest folyamatos .
A vegyes mennyiség nem negatív.
- Sőt, akkor és csak akkor, ha mindegyikben lehetséges egy szakaszt úgy rajzolni, hogy ezek a szegmensek lineárisan függetlenek legyenek. $V(K_{1},K_{2},\dots ,K_{n})>0$ $K_{i}$
Egy nem-negatív egész szám esetén a konvex test másolatainak vegyes térfogata az egységgömbben és az egységgömb másolataiban a -edik átlagos keresztirányú mértékkel van kifejezve . Különösen $k\leq n$ $nk$ $K$ $\mathbb {R} ^{n}$ $k$ $k$ $K$
- Egy másolatkészlet vegyes kötete megegyezik a normál kötettel . $n$ $K$ $K$
- Egy lándzsahalmaz és egyetlen golyó vegyes térfogata egyenlő a felülettel . $n-1$ $K$ ${\frac {1}{n}}$ $K$
A polinomiális egyenletrendszer megoldásainak tipikus száma megegyezik a Newton-poliéder vegyes térfogatával . $f_{1}=f_{2}=\dots =f_{n}=0$ $f_{i}$
Minkowski egyenlőtlensége $V^{n}(K,L,\dots ,L)\geq V(K)\cdot V^{n-1}(L)$
Aleksandrov - Fenchel egyenlőtlenség $V(K_{1},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})\geq {\sqrt {V(K_{1},K_{1},K_{3} ,\ldots ,K_{n})\cdot V(K_{2},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})}}.$

Lásd még

Hadwiger tétele

Irodalom

Burago, Jurij Dmitrijevics , Viktor Abramovics Zalgaller . Geometriai egyenlőtlenségek. Tudomány, 1980.