CW komplexum

A CW-komplex egy kiegészítő szerkezetű topológiai tér (sejtosztódás), amelyet Whitehead vezetett be a homotópiaelmélet igényeinek kielégítésére . Az orosz nyelvű irodalomban a celluláris tér , a sejtosztódás és a sejtkomplex nevek is használatosak . A sejtkomplexek osztálya szélesebb, mint az egyszerű komplexek osztálya , ugyanakkor megőrzi a kombinatorikus jelleget, ami lehetővé teszi a hatékony számításokat.

Definíciók

A nyitott n -dimenziós cella egy topologikus tér , amely homeomorf egy nyitott n -dimenziós golyóval (különösen, a nulla dimenziós cella egy egyszemélyes tér ). A CW-komplex egy Hausdorff-topológiai X tér , amelyet nyitott cellák uniójaként ábrázolunk oly módon, hogy minden nyitott n -dimenziós cellára van egy folytonos f leképezés egy zárt n - dimenziós golyótól X -ig, amelynek korlátozása az a labda ennek a sejtnek a homeomorfizmusa ( karakterleképezés ). Ebben az esetben feltételezzük, hogy két tulajdonság teljesül:

(C) Az egyes cellák határát véges számú, kisebb méretű cella egyesülése tartalmazza;
(W) X egy részhalmaza akkor és csak akkor zárt, ha a metszéspontja az egyes cellák bezárásával zárva van.

A C és W elnevezés az angol closure-finiteness és gyenge topológia szavakból származik . [1] [2]

Egy sejtkomplexum dimenziója a cellái méretének felső határa. Egy sejtkomplexum n- edik gerince az összes olyan sejt egyesülése, amelyek mérete nem haladja meg az n -et, az X sejtkomplexum n - edik gerincének szabványos jelölése X n vagy sk n X. A sejtkomplexum egy részhalmazát részkomplexnek nevezzük, ha zárt és teljes cellákból áll; Különösen egy komplex bármely csontváza annak alkomplexe.

Bármilyen CW komplexet meg lehet építeni induktív módon a következő eljárással: [3]

egy diszkrét halmazzal kezdjük , amelynek pontjai nulldimenziós celláknak számítanak; $X^{0}$
indukcióval az ( n − 1)-edikből az n - edik feszítőfát képezzük úgy , hogy tetszőleges folytonos leképezésekkel n -dimenziós cellákat ragasztunk rá . $\varphi _{\alpha }:S^{{n-1}}\to X^{{n-1}}.$ $X^n$ $X^{{n-1}}$ $D_{\alpha }$ $x\sim \varphi _{\alpha}(x),$ $x\in \partial D_{\alpha }.$
Lehetőség van az induktív folyamat befejezésére a végső szakaszban beállítással, vagy korlátlanul folytatni a [4] beállítással . A közvetlen határ topológiája egybeesik a gyenge topológiával: egy részhalmaz akkor és csak akkor zárt, ha metszéspontja $X=X^{n},$ $X=\varinjlim X_{i}$ $\varinjlim X_{i}$ $X_{i}.$

Példák

A tér homotópikusan ekvivalens egy CW-komplexszel (mivel összehúzható ), de lehetetlen CW-komplex szerkezetét bevinni rá (mivel minden CW-komplex lokálisan összehúzható ). $\{re^{{2\pi i\theta }}:0\leq r\leq 1,\theta \in {\mathbb Q}\}\subset {\mathbb C}$
A Hawaii fülbevaló egy olyan topológiai tér példája, amely homotopikusan nem egyenértékű egyetlen CW-komplexummal sem.
Bármely poliéder természetesen fel van ruházva egy CW-komplexum szerkezetével, a gráf pedig egy egydimenziós CW-komplexummal.
Egy n -dimenziós gömb sejtszerkezetet enged be egy nulla dimenziós cellával és egy n - dimenziós cellával (mivel egy n -dimenziós gömb homeomorf egy n -dimenziós gömb hányadosterével a határa mentén). Egy másik cellapartíció azt a tényt használja ki, hogy az "egyenlítő" beágyazás a gömböt két n - dimenziós cellára osztja (felső és alsó féltekére). Indukcióval ez lehetővé teszi egy n - dimenziós gömb cellapartíciójának elérését, amelyben minden dimenzióban két cella található 0 és n között, és a közvetlen határkonstrukció alkalmazása lehetővé teszi egy gömb cellapartíciójának megszerzését . $S^{{n-1}}\S^{n}$ $S^{\infty }$
A valós projektív tér olyan sejtszerkezetet enged be, amelyben minden dimenzióban egy cella, és minden páros dimenzióban egy cella található. ${\mathbb {RP}}^{n}$ ${\mathbb {CP}}^{n}$
A Grassmann -féle felosztást tesz lehetővé Schubert-sejtekre .
Bármely kompakt sima elosztóhoz létrehozhatunk vele homotopikusan egyenértékű CW-komplexet (például a Morse függvény segítségével ).

Sejthomológia

A CW-komplex szinguláris homológiái a sejthomológiák , azaz a sejtlánc komplex homológiái segítségével számíthatók ki

\cdots \–{H_{{n+1}}}(X^{{n+1}},X^{{n}})\–{H_{{n}}}(X^{{n} },X^{{n-1}})\to {H_{{n-1}}}(X^{{n-1}},X^{{n-2}})\\cdots ,

ahol az üres halmaz. $X^{{-1}}$

A csoport egy szabad Abel-csoport, melynek generátorai a CW-komplexum orientált n -dimenziós sejtjeivel azonosíthatók. A határleképezések az alábbiak szerint készülnek. Legyen tetszőleges n - dimenziós cella , karakterisztikus leképezésének határvonalra való korlátozása, és tetszőleges ( n − 1)-dimenziós cella. Vegye figyelembe az összetételt ${H_{{n}}}(X^{{n}},X^{{n-1}})$ $e_{{n}}^{{\alpha }}$ $x,$ $\chi _{{n}}^{{\alpha }}:\partial e_{{n}}^({\alpha }}\cong S^{{n-1}}\to X^{{n- egy}}$ $e_{{n-1}}^{{\beta }}$

\chi _{{n}}^{{\alpha \beta }}:S^{{n-1}}\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\partial e_{{n} }^{{\alpha }}\,{\stackrel {\chi _{{n}}^({\alpha }}}{\longrightarrow }}\,X^{{n-1}}\,{\ stackrel {q}{\longrightarrow }}\,X^{{n-1}}/\left(X^{{n-1}}\setminus e_{{n-1}}^{{\beta }} \right)\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,S^{{n-1)),

ahol az első leképezés a leképezés -faktorizációval, az utolsó leképezés pedig a cella karakterisztikus leképezésének használatával azonosul . Aztán a határtérkép $S^{{n-1}}$ $\partial e_{n}^{\alpha },$ $q$ $X^{{n-1}}/\left(X^{{n-1}}\setminus e_{{n-1}}^{{\beta }}\jobbra)$ $S^{{n-1}}$ $e_{{n-1}}^{{\beta }}$

d_{{n}}:{H_{{n}}}(X_{{n}},X_{{n-1}})\-ig {H_{{n-1}}}(X_{{n- 1}}, X_{{n-2}})

képlet adja meg

{d_{{n}}}(e_{{n}}^({\alpha }})=\sum _{{\beta }}\deg \left(\chi _{{n}}^{{\ alfa \beta }}\right)e_{{n-1}}^{{\beta }},

ahol a leképezés mértéke és az összeg az összes ( n − 1)-dimenziós cellára vonatkozik . $\deg \left(\chi _{{n}}^{{\alpha \beta }}\jobbra)$ $\chi _{{n}}^{{\alpha \beta }}$ $x$

Különösen, ha a sejtkomplexumban nincs két olyan sejt, amelyek mérete eggyel különbözik, akkor minden határleképezés eltűnik, és a homológiacsoportok szabadok. Például páros és nulla páratlan esetén. ${H_{{n))}({\mathbb {CP}}^{n},{\mathbb Z})={\mathbb Z}$ $n$

Tulajdonságok

Egyes szakértők szerint a CW-komplexumok homotópia kategóriája a legjobb lehetőség a homotópia elmélet felépítésére. [5] A CW-komplexek egyik „jó” tulajdonsága a Whitehead-tétel ( a CW-komplexek közötti gyenge homotópia ekvivalencia homotópia ekvivalencia). Bármely topológiai térhez létezik egy gyengén homotopikusan ekvivalens CW-komplex. [6] Egy másik hasznos eredmény, hogy a CW-komplexumok homotópia kategóriájába tartozó reprezentálható funktorok egyszerű kategorikus jellemzéssel rendelkeznek ( Brown reprezentálhatósági tétele ). Egy henger, egy kúp és egy CW-komplex feletti felépítmény természetes sejtszerkezettel rendelkezik.

Másrészt, a CW-komplexek terméke természetes sejtekbe burkolózva nem mindig CW-komplex – a termék topológiája nem feltétlenül esik egybe a gyenge topológiával, ha mindkét komplex nem lokálisan kompakt. A kompaktan generált terek kategóriájába tartozó szorzat topológiája azonban egybeesik a gyenge topológiával, és mindig CW-komplexumot határoz meg [7] . A Hom ( X , Y ) függvények tere a kompakt-nyitott topológiával általánosságban véve nem CW-komplexus, azonban John Milnor [8] tétele szerint homotópia egy CW-komplexszel ekvivalens feltétel mellett. hogy X kompakt .

Egy X CW-komplex borítása felruházható egy CW-komplex szerkezetével oly módon, hogy sejtjei homeomorf módon leképeződnek X sejtjeire .

A véges CW-komplexek (véges számú cellával rendelkező komplexek) kompaktak. A CW komplex bármely kompakt részhalmaza egy véges részkomplexumban található.

Jegyzetek

↑ Whitehead, 1949 , p. 214.
↑ Fomenko, Fuchs, 1989 , p. 35.
↑ Hatcher, 2011 , p. tizennégy.
↑ Lásd a cikk közvetlen korlátját .
↑ Lásd például D. O. Baladze . Cellpartíció - cikk a Mathematical Encyclopedia-ból.
↑ Hatcher, 2011 , p. 445-446.
↑ Martin Arkowitz. Bevezetés a homotópiaelméletbe . - Springer, 2011. - 302. o . — ISBN 9781441973290 .
↑ Milnor, John. CW-komplex homotópia típusú tereken // Trans. amer. Math. Szoc.. - 1959. - T. 90 . – S. 272–280 .

Irodalom

JHC Whitehead. kombinatorikus homotópia. I. // Bull. amer. Math. Szoc.. - 1949. - 1. évf. 55.—P. 213–245.
JHC Whitehead. kombinatorikus homotópia. II. // Bika. amer. Math. Szoc.. - 1949. - 1. évf. 55.—P. 453–496.
Hatcher, A. Algebrai topológia / Per. angolról. V. V. Prasolova, szerk. T. E. Panova. - M. : MTSNMO, 2011. - 688 p. — ISBN 978-5-94057-748-5 .
A. T. Fomenko, D. B. Fuks. Homotópia topológia tanfolyam. - M .: Nauka, 1989. - 528 p.