Homotópia

A homotópia folyamatos leképezések családja, amelyek folyamatosan függenek egy paramétertől, pontosabban egy folyamatos leképezés . $F_{t}\colon X\to Y,\;t\in [0,1]$ $F\kettőspont [0,1]\X\-szor Y$

Kapcsolódó definíciók

A leképezéseket homotópiának ( ) nevezzük, ha létezik olyan homotópia , hogy és . $f,g\kettőspont X\Y-ra$ $g\sim f$ $f_t$ $f_0=f$ $f_1=g$
- Ez egy ekvivalencia relációt határoz meg a folyamatos leképezések között . $X\-től Y-ig$

A topológiai terek homotópiás ekvivalenciája és folyamatos leképezések párja, és olyan, hogy és , itt a leképezések homotópiáját jelöli. Ebben az esetben c-nek is van egy homotópiatípusa . $x$ $Y$ $f\kettőspont X\Y-ra$ $g\kettőspont Y\-től X-ig$ $f\circ g\sim \operátornév {id}_{Y}$ $g\circ f\sim \operátornév {id}_{X}$ $\sim$ $x$ $Y$
- Ha és
homeomorf ( ), akkor homotopikusan egyenértékűek; fordítva általában nem igaz. $x$ $Y$ $X\simeq Y$
A homotópiainvariáns egy olyan tér jellemzője, amely megmarad a topológiai terek homotópia-ekvivalenciája alatt; vagyis ha két tér homotopikusan ekvivalens, akkor ugyanaz a jellemzőjük. Például: összekapcsoltság , alapcsoport , Euler-karakterisztika .

Ha valamelyik részhalmazon az összeshez , akkor azt homotópiának nevezzük a tekintetében , és homotópiának a tekintetében . $A\X részhalmaz,\;F(t,a)=f(a)$ $t$ $a\in A$ $F$ $A$ $f$ $g$ $A$

Azt a leképezést, amely homotóp konstansra, azaz egy pontra való leképezést összehúzhatónak vagy homotopikusnak nevezzük nullára .

Változatok és általánosítások

Az izotópia egy topológiai tér homotópiája egy olyan topológiai térhez viszonyítva, amelyben bármelyik esetén a leképezés homeomorfizmus a -n . $x$ $Y$ $f_{t}\kettőspont X\Y-ra,\;t\in [0,1]$ $t$ $f_t$ $x$ $f_{t}(X)\Y részhalmaz$

Egy leképezést gyenge homotópia ekvivalenciának nevezünk , ha homotópiacsoportok izomorfizmusát indukálja . Egy topológiai tér olyan alterét , amelyben a zárvány gyenge homotópia ekvivalencia, reprezentatív altérnek nevezzük . $f\kettőspont X\Y-ra$ $A$ $x$ $A\X részhalmaz$

Ha és vannak tetszőleges kötegek felett , akkor a homotópiát szálasnak nevezzük, ha a morfizmusok szálas homotópiák, ha létezik olyan szálas homotópia , amelyre az egyenlőségek és a morfizmus szálonkénti homotópiák ekvivalenciája, ha létezik olyan morfizmus , amely és szálonként homotóp. A kötegek és ugyanahhoz a szálas homotópiatípushoz tartoznak, ha van legalább egy réteges ekvivalencia $\varphi :E\to X$ $\varphi ':E'\to X$ $x,$ $f_{t}:E\to E'$ $\varphi 'f_{t}=\varphi .$ $f,g:E\to E'$ $f_{t}:E\to E',$ $f_{0}=f$ $f_{1}=g.$ $f:E\to E'$ $g:E'\to E$ $gf$ $fg$ $\mathrm {Id} .$ $E$ $E'$ $f:E\to E'.$

Lásd még

Irodalom

Vasziljev V. A. Bevezetés a topológiába. - M. : FAZIS, 1997. - 132 p. — ISBN 5-7036-0036-7 .
Rokhlin V. A., Fuchs D. B. A topológia kezdeti menete. Geometrikus fejek. - M .: Nauka, 1977
Spanier E. Algebrai topológia. - M .: Mir, 1971