Hawaii fülbevaló

A hawaii fülbevaló egy topológiai tér , amely megfelel az euklideszi síkon lévő körök uniójának , középpontokkal és sugarakkal (minden pozitív egész szám esetén ). A tér homeomorf a nyitott intervallumok megszámlálható uniójának egypontos tömörítésére ( ). $H$ $\mathbb {R} ^{2}$ $(1/n,0)$ $1/n$ $n$ $H$ $\mathbb {R} ^{+}\setminus \mathbb {N}$

A hawaii fülbevaló kompakt és teljes mérővel felszerelhető . Útvonalhoz kapcsolódik , de nem félig lokálisan egyszerűen kapcsolódik .

A hawaii fülbevaló első pillantásra úgy néz ki, mint egy megszámlálhatatlan számú körből álló csokor , de ezek nem homeomorf topológiai terek. A hawaii fülbevaló topológiája gyengébb : a körök metszéspontjának bármely környéke véges számú kört tartalmaz, míg egy csokor esetében vannak olyan környékek, amelyek nem tartalmaznak kört. Ráadásul a megszámlálható számú körből álló csokor nem kompakt.

Alapvető csoport

A hawaii fülbevaló nem egyszerűen össze van kötve , hiszen a köreit paraméterező hurok nem homotóp a triviálishoz. Ezért van egy nem triviális alapcsoportja . $G$

Egy megszámlálhatatlanul sok körből álló csokorból folyamatos a leképezés -be , ami a csokor alapcsoportjának ( szabad csoport megszámlálhatatlanul sok generátorral) beágyazódását indukálja a -ba . A csoport más elemeket is tartalmaz - a hurkok homotópiás osztályait, amelyek nem szerepelnek a hawaii fülbevaló köreinek egyetlen véges részhalmazában sem; egy példa egy hurok, amely egy szakaszt „teker” a kör köré . $H$ $G$ $G$ $[2^{-n},2^{-(n-1)}]$ $n$

Ezenkívül beágyazódik a szabad csoportok projektív korlátjába (a leképezéseket összekapcsolja , hogy az utolsó generátort a csoport identitásához vegye). Ez a leképezés azonban nem szürjektív ; képe az inverz határértéknek pontosan azokat az elemeit tartalmazza, amelyekben a generátorok mindegyike véges számú alkalommal fordul elő. Példa egy olyan elemre, amely nem szerepel ennek a leképezésnek a képében, egy végtelen kommutátor . $G$ $F_{n}$ $F_{n}$ $F_{{n-1}}$ $[\gamma _{1},\gamma _{2}][\gamma _{1},\gamma _{3}]\ldots$

A csoport megszámlálhatatlan és nem ingyenes. Bár az abelizációjának nincs egyszerű leírása, létezik egy normál alcsoport a -ban, amely izomorf a Baer-Specker csoporttal . Ezt nevezzük végtelen abelizációnak vagy erős abelizációnak , mivel pontosan olyan elemekből áll, amelyek koordinátái (ha a projektív határ alcsoportjaként gondolunk ) a megfelelő szabad csoport kommutátor alcsoportjában találhatók . Bizonyos értelemben a kommutátor lezárásáról beszélhetünk . $G$ $G$ $N$ $G/N$ $\prod _{i=0}^{\infty }\mathbb {Z}$ $G$ $N$ $G$ $N$ $G$

Kapcsolódó patológiás terek

A hawaii fülbevaló feletti kúp példát ad egy egyszerűen összekapcsolt (különösen féllokálisan egyszerűen összekapcsolt), de nem lokálisan egyszerűen összekapcsolt térre.
- Egy ilyen kúp két példányából egy ponton ragasztott térköz, amely alapján a fülbevaló gyűrűi összeérnek, példát ad a nem egyszerűen összekötött univerzális borítású térre, ami triviális.

Irodalom

Hatcher, A. Algebrai topológia / Per. angolról. V. V. Prasolova, szerk. T. E. Panova. - M. : MTSNMO, 2011. - S. 69-70. — ISBN 978-5-94057-748-5 .
Cannon, JW; Conner, GR A nagy alapcsoport, a nagy hawaii fülbevalók és a nagy ingyenes csoportok // Topológia és alkalmazásai. - 2000. - Vol. 106. - Kiadás. 3 . - P. 273-291. - doi : 10.1016/S0166-8641(99)00104-2 .
Conner, G.; Spencer, K. A hawaii fülbevaló csoport rendellenes viselkedése // Journal of Group Theory. - 2005. - 20. évf. 8. - Kérdés. 2 . - P. 223-227. - doi : 10.1515/jgth.2005.8.2.223 .
Eda, K. egydimenziós vad terek és a hawaii fülbevaló] // Proceedings of the American Mathematical Society. — Vol. 130. - Kiadás. 5 . - P. 1515-1522. - doi : 10.1090/S0002-9939-01-06431-0 .
Eda, K.; Kawamura, K. A hawaii fülbevaló szinguláris homológiája // Journal of the London Mathematical Society. — Vol. 62. - Kiadás. 1 . - P. 305-310. - doi : 10.1112/S0024610700001071 .
Fabel, P. A topológiai hawaii fülbevaló csoport nem ágyazódik be a szabad csoportok inverz határába // Algebraic & Geometric Topology. — Vol. 5. - P. 1585-1587. - doi : 10.2140/agt.2005.5.1585 .
Morgan, JW; Morrison, I. Van Kampen-tétel gyenge csatlakozásokra // Proceedings of the London Mathematical Society. — Vol. 53, 3. sz . - P. 562-576. - doi : 10.1112/plms/s3-53.3.562 .
Biss, Daniel K. Az alapvető csoport általános megközelítése // American Mathematical Monthly. - MAA, 2000. - T. 107 , 8. sz . – S. 711–720 . - doi : 10.2307/2695468 .