Az Abel-csoportok kategóriája (jelölése Ab ) olyan kategória , amelynek tárgyai Abel-csoportok , morfizmusai pedig csoporthomomorfizmusok . Ez az Abeli-kategória prototípusa . [1] , valójában bármilyen kis Abeli-kategória beágyazható Ab -ba [2] .
Az Ab a Grp teljes alkategóriája ( az összes csoport kategóriái ). A fő különbség az Ab és a Grp között , hogy az Abel-csoportok két homomorfizmusának összege ismét homomorfizmus:
( f + g ) ( x + y ) = f ( x + y ) + g ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + g ( x ) + g ( y ) = f ( x ) + g ( x ) + f ( y ) + g ( y ) = ( f + g ) ( x ) + ( f + g ) ( y )A harmadik egyenlőséghez az összeadás kommutativitása szükséges. A morfizmusok összeadása Ab -t preadditív kategóriává teszi , és mivel az Abel-csoportok véges direkt összege kétszorzat , ebből az következik, hogy Ab egy additív kategória .
Ab - ban a kernel kategorikus értelemben megegyezik az algebrai értelemben vett kernel fogalmával , ugyanez igaz a kokernelre is . (A legfontosabb különbség az Ab és a Grp között az, hogy f ( A ) nem biztos, hogy normális alcsoport a Grp -ben, így a B / f ( A ) hányadoscsoport nem mindig definiálható.) Adott kernel- és cokernelleírások alapján ez könnyű annak ellenőrzésére, hogy az Ab valóban Abeli kategória -e .
Egy Ab objektum akkor és csak akkor injektív , ha a csoport osztható ; akkor és csak akkor projektív , ha a csoport szabad.
Adott két Abel-csoport A és B , definiálható a tenzorszorzatuk A ⊗ B ; ez ismét egy Abeli-csoport, ami az Ab -t monoidális kategóriává teszi .
Az Ab nem derékszögű zárt , mert az exponenciálisok nincsenek mindig benne definiálva .