Descartes zárt kategória

A descartes-i zárt kategória  olyan kategória , amely beengedi a currying -et, azaz a morfizmusok minden osztályához tartalmaz valamilyen objektumot , amely azt reprezentálja. A derékszögű zárt kategóriák bizonyos értelemben egy köztes helyet foglalnak el az absztrakt kategóriák és halmazok között , mivel lehetővé teszik a függvényekkel való helyes működést , de nem teszik lehetővé például az alobjektumokkal való műveletet.

Programozási szempontból a Descartes-i zárt kategóriák függvényargumentumok beágyazását valósítják meg – minden argumentumot egy kategóriaobjektum képvisel, és fekete dobozként használják . Ugyanakkor a Descartes-féle zárt kategóriák kifejezőképessége elégséges ahhoz, hogy a függvényekkel a λ-kalkulusban elfogadott módon működjön . Ez a tipizált λ-kalkulus természetes kategorikus modelljeivé teszi őket .

Definíció

A C kategóriát derékszögű zártnak [1] nevezzük , ha három feltételnek eleget tesz:

• C -nek van egy terminálobjektuma ;
• bármely két X , Y objektum C -ben az X × Y szorzattal rendelkezik ;
• bármely két Y , Z objektum C -ben exponenciális Z Y .

Az olyan kategóriát, amelyben bármelyik objektumánál a felette lévő objektumok kategóriája derékszögű zárt, lokálisan Descartes-i zártnak nevezzük .

Példák derékszögű zárt kategóriákra

• A halmazok kategóriája természetesen egy derékszögű zárt kategória, mivel az egyik halmazból a másikba tartozó függvények halmazok, tehát objektumok. Tartalmaz továbbá termékeket ( derékszögű termékek ) és terminális objektumokat -- szinguletteket .

• Az összes kis kategória Cat kategóriája (és a morfizmusként funkcionálók) derékszögű zárt; az exponenciális C D  a D -től C - ig terjedő funktorok kategóriája, amelyek morfizmusként természetes átalakulásokat tartalmaznak. Van egy termékkategória és egy terminálobjektum is - egy objektum és egy morfizmus 1. kategóriája.

• Az elemi toposz definíció szerint egy karteziánus zárt kategória.

• A Heyting - algebra is a  Descartes-féle zárt kategória szabványos példája. Mivel a Boole-algebra egy speciális esete, ezért mindig derékszögű zárt.

Alkalmazás

Egy Descartes-féle zárt kategóriában egy "két változó függvénye" (morfizmus f : X × Y → Z ) mindig ábrázolható "egy változó függvényeként" ( λ f : X → Z Y morfizmus ). A programozásban ez a művelet currying néven ismert ; ez lehetővé teszi, hogy az egyszerűen begépelt lambda -számítást bármely derékszögű zárt kategóriában értelmezzük . A derékszögű zárt kategóriák kategóriamodellként szolgálnak a tipizált kalkulushoz és a kombinatorikus logikához .

A Curry-Howard megfeleltetés izomorfizmust biztosít az intuicionista logika, az egyszerűen beírt lambda-számítás és a karteziánus zárt kategóriák között. A hagyományos halmazelmélet helyett bizonyos karteziánus zárt kategóriákat ( topoi ) javasoltak a matematika alternatív alapjainak fő tárgyaként .

Jegyzetek

1. ↑ McLane S. 4. fejezet Adjunkt funktorok // Kategóriák a dolgozó matematikus számára / Per. angolról. szerk. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 95-128. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Irodalom

• Curien P.-L. Kategorikus kombinatív logika.-- LNCS, 194, 1985, pp.~139-151.
• Roy L. Crole , Kategóriák típusokhoz, Cambridge University Press, 1994.