Legendre tétele

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2016. május 27-én áttekintett verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Legendre tétele a másodfokú diofantinuszi egyenletek egy bizonyos alosztályára vonatkozó megoldások létezésének feltételeiről szól , amelyeket Legendre állított fel 1785 -ben .

Megfogalmazás

Az egyenlet

aX^{2}+bY^{2}+cZ^{2}=0,

amelynek együtthatói nem azonos előjelűek és páronkénti másodlagos számok , akkor és csak akkor van nem triviális megoldása egész számokban , ha: $ABC$ $(X,Y,Z)$

$-ab$ a kvadratikus maradék modulo , $c$
$-időszámításunk előtt$ a kvadratikus maradék modulo , $a$
$- kb$ a négyzetes maradék modulo . $b$

A bizonyításról

Ezeknek a feltételeknek a szükségessége nyilvánvaló, az elegendőség a Minkowski-Hasse-tételből következik a másodfokú alakokra : a másodfokú alak akkor és csak akkor képvisel nullát az -adikus számok minden mezőjében és minden mezőjében . A -ben megoldhatósághoz különböző előjelek, a -ben oldhatósághoz a fenti szimmetrikus összefüggések szükségesek. $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $p$ ${\mathbb {Q}}_{p}$ $\mathbb {R}$ ${\mathbb {Q}}_{p}$ $p\mid abc$

Összefüggés a négynégyzet-tétellel

Ezzel a tétellel igazolható Lagrange négynégyzet-tétele, amely kimondja, hogy minden természetes szám felírható négy négyzet összegeként. Gauss rámutatott, hogy a Négynégyzet-tétel könnyen következik abból, hogy bármely 1-gyel vagy 2-vel egyenlő pozitív egész 3 négyzet összege, mivel minden 4-gyel nem osztható pozitív egész kivonással ebbe az alakba redukálható. Ebből 0 vagy 1. A Három négyzet tétel bizonyítása azonban lényegesen nehezebb, mint a Négy négyzet tétel közvetlen bizonyítása, amely nem használja a Három négyzet tételt. Valóban, a négynégyzet-tételt korábban, 1770-ben bizonyították.

Irodalom

Borevich Z.I., Shafarevich I.R. Számelmélet. - M . : Nauka, 1985. - S. 77-80. — 504 p.