Diciklikus csoport

A csoportelméletben a Dic n diciklusos csoport egy nem kommutatív 4n rendű csoport (ahol n>=2), amely a 2n rendű ciklikus csoport kiterjesztése . Ezt a csoportot általánosított kvaterniócsoportnak is nevezik , és Q 4 n -nek jelöljük .

Van egy pontos sorrend :

ami azt jelenti, hogy a Dic n egy normál H alcsoportot tartalmaz, amely izomorf C 2n -nel . A Dic n /H faktorcsoport izomorf C 2 -vel .

Definíció

A diciklusos csoport az a és b elemek által a kapcsolatok által generált csoportként definiálható

• a 2n =1,
• b 2 \u003d a n ,
• b -1 ab = a -1 .

Ezekből az összefüggésekből következik, hogy a Dic n minden eleme egyedileg felírható a k b j -ként , ahol 0 ≤ k < 2 n , j = 0 vagy 1. Ezért a csoport sorrendje 4n .

Tulajdonságok

A Z(Dic n ) kétgyűrűs csoport középpontja két a n és 1 elemből áll. Kommutánsa az a 2 elem által generált , C n -re izomorf részcsoport .

Diciklikus csoport és diédercsoport

Hasonlóság van a kétgyűrűs csoport és a Dih 2n diédercsoport között . Ezeknek a csoportoknak van egy A = <a>=C 2n ciklikus alcsoportja és egy belső automorfizmusuk , amely C 2n "reflexióként" hat: int b (a) = a -1 .

Ha a b 2 = 1 összefüggést (a diédercsoportra) b 2 = a n -re cseréljük, számos eltéréshez vezet. Minden elem, amely nem tartozik az <a > alcsoportba , a diédercsoportban 2-es, a kétgyűrűs csoportban 4-es rendű. A diédercsoporttól eltérően a Dic n kétgyűrűs csoport nem A és < b > félig közvetlen szorzata , mivel az A ∩ < b > metszéspont nem triviális .

Egy kétgyűrűs csoportnak pontosan egy 2. rendű eleme van, mégpedig x = b 2 = a n . Ez az elem a Dic n csoport közepébe tartozik . Ha összeadjuk a b 2 = 1 összefüggést, akkor a Dih n diédercsoportot kapjuk . Így a Dic n /<b 2 > faktorcsoport izomorf a 2n elemet tartalmazó Dih n diédercsoporttal .

Csoport neve

A matematikai enciklopédiában a kvaterniós csoport egy speciális eset, ahol a csoport sorrendje 2 hatványa. Ebben az esetben a csoport nilpotens .

A 2 csoportos eset

Egy általánosított kvaterniócsoportban bármely Abel - alcsoport ciklikus [1] . Kimutatható, hogy egy véges p-csoport ezzel a tulajdonsággal (bármely Abel - alcsoport ciklikus) vagy ciklikus, vagy általánosított kvaterniócsoport [2] . Ha egy véges p -csoportnak egyetlen p rendű részcsoportja van , akkor az vagy ciklikus, vagy általánosított kvaterniócsoport (kettős hatványrenddel egyenlő) [3] . Konkrétan egy páratlan karakterisztikájú F véges mező esetén az SL 2 ( F ) 2-Sylow alcsoport nem Abeli-féle, és csak egy 2-es rendű alcsoportja van, így ennek a 2-Sylow-alcsoportnak egy általánosított kvaterniócsoportnak kell lennie [4] . Ha p r az F sorrendje , ahol p prím, akkor az SL 2 ( F ) 2-Sylow alcsoport sorrendje 2 n , ahol n = ord 2 ( p 2 - 1) + ord 2 ( r ).

Lásd még

• Kvaterniócsoport#Általánosított kvaterniócsoport

Jegyzetek

1. ↑ Brown, 1982 , p. 101, 1. gyakorlat.
2. ↑ Cartan, Eilenberg, 1999 , p. 262, 11.6. Tétel.
3. ↑ Brown, 1982 , p. 99, 4.3. Tétel.
4. ↑ Gorenstein, 1980 , p. 42.

Irodalom

• Kargapolov M. I., Merzlyakov Yu. I. A csoportelmélet alapjai, Nauka Kiadó, 1972.
• Kenneth S. Brown. A csoportok kohomológiája. - Springer-Verlag, 1982. - ISBN 978-0-387-90688-1 .
• Henri Cartan, Samuel Eilenberg. Homológiai algebra . - Princeton University Press, 1999. - ISBN 978-0-691-04991-5 .
• D. Gorenstein. Véges csoportok. - New York: Chelsea, 1980. - ISBN 978-0-8284-0301-6 .