Aritmetikai függvény

Az aritmetikai függvény a természetes számok halmazán meghatározott függvény , amely a komplex számok halmazából vesz értékeket . $\mathbb {N}$ $\mathbb {C}$

Definíció

A definícióból következik, hogy aritmetikai függvény bármely függvény

f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {C}

Az aritmetikai függvény elnevezése annak köszönhető, hogy a számelméletben egy természetes argumentumnak számos olyan függvénye van, amely bizonyos aritmetikai tulajdonságokat fejez ki . Ezért informálisan egy aritmetikai függvény alatt olyan függvényt értünk, amely egy természetes szám "valamilyen aritmetikai tulajdonságát fejezi ki" (lásd az aritmetikai függvényekre vonatkozó példákat alább ). $f(n)$ $n$ $f(n)$ $n$

A számelméletben figyelembe vett számos aritmetikai függvény valójában egész értékű.

Műveletek és kapcsolódó fogalmak

Az aritmetikai függvény összege a következőképpen definiált függvény $f$ $F:[0,+\infty )\to \mathbb {C}$

F(x)=\sum _{n\leq x}f(n).

Ez a művelet a határozatlan integrál "diszkrét analógja"; ebben az esetben, bár az eredeti függvény csak a -n volt definiálva , kényelmesnek bizonyul, ha összegét a teljes pozitív féltengelyen meghatározottnak tekintjük (és természetesen darabonként állandó). $\mathbb {N}$

Két f és g aritmetikai függvény Dirichlet-konvolúciója a szabály által meghatározott h aritmetikai függvény

h(n)=\sum _{d|n}f(d)g(n/d).

Egy f aritmetikai függvény hozzárendelhető a "generáló függvényéhez" - a Dirichlet sorozathoz

\Phi _{f}(s)=\sum _{n}f(n)n^{-s}.

Ebben az esetben két aritmetikai függvény Dirichlet-konvolúciója megfelel a generáló függvényeik szorzatának.

Pontszerű szorzás logaritmussal,

f\mapsto f',\quad f'(n)=f(n)\cdot \ln n,

az aritmetikai függvények algebrájának levezetése : a konvolúció tekintetében teljesíti a Leibniz-szabályt,

(f*g)'=f'*g+f*g'.

A generáló függvényre való átlépés ezt a műveletet közönséges differenciálássá változtatja.

Figyelemre méltó aritmetikai függvények

Osztók száma

Az aritmetikai függvény egy természetes szám pozitív osztóinak száma : $\tau \colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ $n$

\tau (n)=\sum _{d|n}1

Ha és a koprím , akkor egy szorzat minden osztója egyedileg ábrázolható osztóinak és osztóinak szorzataként , és fordítva, minden ilyen szorzat osztója a szorzatnak . Ebből következik, hogy a függvény multiplikatív : $m$ $n$ $mn$ $m$ $n$ $mn$ $\tau$

\tau (mn)=\tau (m)\tau (n)

Ha a természetes kanonikus dekompozíciója , akkor a multiplicativitás miatt $n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{s_{i))$ $n$

\tau (n)=\tau (p_{1}^{s_{1)))\tau (p_{2}^{s_{2)))\ldots \tau (p_{r}^{ s_{r)))

Mivel egy szám pozitív osztói számok , akkor $p_{i}^{s_{i))$ $s_{i}+1$ $1,p_{i},\ldots ,p_{i}^{s_{i))$

\tau (n)=(s_{1}+1)(s_{2}+1)\ldots (s_{r}+1)

Egy nagy n egész szám osztóinak száma átlagosan [1] értékkel nő . Pontosabban lásd a Dirichlet-képletet . $\ln n$

Az osztók összege

A függvény egy természetes szám osztóinak összege : $\sigma \colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ $n$

\sigma (n)=\sum _{d|n}d

A függvényeket általánosítva egy tetszőleges, általánosságban elmondható komplex esetén meghatározható - egy természetes szám pozitív osztóinak -edik hatványának összege : $\tau (n)$ $\sigma(n)$ $k$ $\sigma _{k}(n)$ $k$ $n$

{\displaystyle \sigma _{k}(n)=\sum _{d|n}d^{k))

Iverson jelöléssel írhatunk

\sigma _{k}(n)=\sum _{d}d^{k}[\,d|n\,]

A függvény multiplikatív: ${\displaystyle \sigma _{k))$

m\perp n\Rightarrow ~\sigma _{k}(mn)=\sigma _{k}(m)\sigma _{k}(n)

Ha a természetes kanonikus dekompozíciója , akkor $n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{s_{i))$ $n$

\sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(s_{i}+1)k}-1}{p_ {i}^{k}-1}}

Az n osztóinak összege átlagosan nő cn lineáris függvényeként, ahol az Euler által talált c állandó [1] . $c=\zeta (2)=\pi ^{2}/6$

Euler függvény

Az Euler-függvény vagy a totient azon pozitív egész számok száma, amelyek nem haladják meg a -t . $\varphi (n)$ $n$ $n$

Iverson jelöléssel a következőt írhatjuk:

\varphi (n)=\sum _{1\leq k\leq n}[k\perp n]

Az Euler-függvény multiplikatív:

m\perp n\Rightarrow ~\varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)

Explicit formában az Euler-függvény értékét a következő képlet fejezi ki:

\varphi (n)=n\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\ jobb)\dots \left(1-{\frac {1}{p_{r))}\right)

hol vannak különböző prímosztók . ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r))$ $n$

Möbius függvény

A Möbius-függvény olyan aritmetikai függvényként definiálható, amely kielégíti a következő összefüggést: $\mu(n)$

\sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1,&n=1\\0,&n>1\end{cases))

Vagyis a Möbius-függvény értékeinek összege egy pozitív egész szám minden osztójára egyenlő nullával, ha , és egyenlő ha . $n$ $n>1$ $egy$ $n=1$

Megmutatható, hogy csak egy függvény teljesíti ezt az egyenletet, és ez explicit módon megadható a következő képlettel:

\mu (n)={\begin{cases}(-1)^{r},&n=p_{1}p_{2}\ldots p_{r}\\0,&p^{2}| n\\1,&n=1\end{cases}}

Itt különböző prímszámok vannak, és ez egy prímszám. Más szóval, a Möbius-függvény egyenlő , ha nem négyzetmentes (vagyis osztható egy prímszám négyzetével), egyébként egyenlő (a pluszt vagy a mínuszt a prímosztók számának paritásától függően választjuk ). $p_{i}$ $p$ $\mu(n)$ $0$ $n$ $\pm 1$ $n$

A Möbius függvény egy multiplikatív függvény . A Möbius-függvény számelméleti jelentősége a Möbius-inverziós képletnek köszönhető .

Jegyzetek

↑ 1 2 V. és Arnold. Galois-mezők dinamikája, statisztikája és projektív geometriája. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 70. - 72 p.

Lásd még

Multiplikatív függvény

Irodalom

Vinogradov I.M. A számelmélet alapjai . - M. - L. : GITTL, 1952. - 180 p.
Neszterenko Yu. V. Számelmélet: tankönyv diákoknak. magasabb tankönyv létesítmények. - M . : "Akadémia" Kiadói Központ, 2008. - 272 p. - ISBN 978-5-7695-4646-4 .
Chandrasekharan K. Bevezetés az analitikus számelméletbe = Introduction to Analytic Number Theory. - M . : "Mir", 1974. - 188 p.