Vieta képlete a π szám közelítésére

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. szeptember 29-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A π szám közelítésére szolgáló Vieta képlet a beágyazott gyökök végtelen szorzata :

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{ 2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots

A szám első ismert explicit reprezentációja végtelen számú $\pi$ művelettel [1] ; François Viet francia matematikus fedezte fel 1593- ban .

Az egyenlőséget a következőképpen bizonyíthatja: az azonosság rekurzív alkalmazásával és a határértékre való átlépéssel: $\sin 2\varphi =2\sin \varphi \cos \varphi$

\sin \varphi =2\sin {\frac {\varphi }{2}}\cos {\frac {\varphi }{2}}=

4\sin {\frac {\varphi }{4}}\cos {\frac {\varphi }{2}}\cos {\frac {\varphi }{4}}=\langle \cdots \rangle

{\displaystyle =2^{n}\sin {\frac {\varphi }{2^{n))}\cos {\frac {\varphi }{2))\cdot \ldots \cdot \cos {\frac {\varphi }{2^{n))))

\to \varphi \cos {\frac {\varphi }{2}}\cos {\frac {\varphi }{4}}\cdot \ldots

Kiderül:

\varphi \cos {\dfrac {\varphi }{2}}\cos {\frac {\varphi }{4}}\cdots =\sin \varphi .

Marad a félszög képlet helyettesítése és használata : $\varphi ={\frac {\pi }{2))$

\cos {\frac {\alpha }{2}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+2\cos \alpha }}

A Vieta képlet határkifejezésként is ábrázolható :

\lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}}{2}}={\frac {2}{\pi }}

{\displaystyle a_{n}={\sqrt {2+a_{n-1))))

a_{1}={\sqrt {2}}

Jegyzetek

↑ Matematika története, I. kötet, 1970 .

Irodalom

A matematika története. Az ókortól az újkor kezdetéig // A matematika története / Szerkesztette: A. P. Juskevics , három kötetben. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - S. 314-315. — 352 p.