Beágyazott gyökök

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. december 11-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Az algebrában a beágyazott gyök egy másik gyökben található gyök. Például

\sqrt{5-2\sqrt{5}\ },

vagy bonyolultabb példa

{\sqrt[ {3}]{2+{\sqrt {3}}+{\sqrt[ {3}]{4}}\ }}.

Az összes beágyazott gyök értékét gyök- kifejezhetőnek nevezzük .

Beágyazott gyökök egyszerűsítése

Néhány beágyazott gyök leegyszerűsíthető. Például:

{\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}\,,

{\sqrt[ {3}]{{\sqrt[ {3}]{2}}-1}}={\frac {1-{\sqrt[ {3}]{2}}+{\sqrt[ { 3}]{4))}{{\sqrt[ {3}]{9))))\,.

Általánosságban elmondható, hogy az egyszerűsítés nehéz probléma, ha egyáltalán lehetséges. A következő képlet lehetővé teszi az egyszerűsítést, ha racionális: $R={\sqrt {a^{2}-b^{2}c))$

{\sqrt {a\pm b{\sqrt {c))))={\sqrt {\frac {a+R}{2))}\pm {\sqrt {\frac {aR}{2 }}}.

Például,

{\sqrt {a\pm {\sqrt {a^{2}-b^{2))))}={\sqrt {\frac {a+b}{2))}\pm {\ sqrt {\frac {ab}{2}}}\quad (|a|\geq |b|).

Különösen a komplex számok esetében ( ): $c=-1$

{\sqrt {a+bi}}=\pm \left({\sqrt {{\frac {\left|z\right|+a}{2))))+i\operátornév{sgn}(b){ \sqrt {{\frac {\left|z\right|-a}{2))))\right),

ahol

\left|z\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.

Végtelenül egymásba ágyazott gyökök

Általános rendelkezések

Egyes esetekben a végtelenül beágyazott gyökök azonosak lehetnek valamilyen racionális számmal, például

x={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots ))))))))))

egyenlő 2-vel. Ennek megtekintéséhez négyzetesítsük a kifejezés mindkét oldalát, és vonjuk ki a 2-t:

x^{2}-2={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots ))))))=x

;

x^{2}-x-2=0

;

x_{1}=2,x_{2}=-1

Nyilvánvalóan ez nem lehet az eredeti radikális értéke. $-egy$

Triviális esetek

Négyzetgyökhöz: ${\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {\cdots ))))))))))))={\frac {b+ {\sqrt {b^{2}+4a}}}{2}}$ ;
A fokozat gyökeréhez $n$ ${\sqrt[ {n}]{a+b{\sqrt[ {n}]{a+b{\sqrt[ {n}]{a+b{\sqrt[ {n}]{a+b{\ sqrt[ {n}]{\cdots }}}}}}}}}}=x,$ hol van az egyenlet megoldása . $x$ $x^{n}-bx-a=0$

Nem triviális esetek

Ramanujan formula : $x+n+a={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\ sqrt {a(x+2n)+(n+a)^{2}+(x+2n){\sqrt {\cdots )))))))))))$

Különleges esetek

Arany arány : $\phi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {\cdots )))))))))$
műanyag szám : $\rho ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{\cdots }}}}}}}}$
Pi szám : ${\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}{\sqrt ({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2} }{\sqrt {\frac {1}{2}}}}{\sqrt ({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac { 1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}\cdots$

Linkek

Weisstein, Eric W. Beágyazott gyökök a Wolfram MathWorldnél .
Weisstein, Eric W. Square Root a Wolfram MathWorldnél .
A négyzetgyököket érintő kifejezések egymásba ágyazási mélységének csökkentése
A négyzetgyökök négyzetgyökeinek egyszerűsítése