Diofantin közelítések elmélete

A diofantin közelítések elmélete a számelmélet egyik ága , amely a valós számok racionális számokkal való közelítését vizsgálja ; alexandriai Diophantusról nevezték el .

Az első probléma az volt, hogy egy valós szám mennyire közelíthető racionális számokkal. Ennél a feladatnál az a / b racionális szám "jó" közelítése egy α valós számnak, ha az a / b és α közötti különbség abszolút értéke nem csökkenthető úgy, hogy a / b -t egy másik racionális törtre cseréljük egy kisebbre. névadó. A problémát a 18. században a tört folytatásával oldották meg .

Ha egy adott szám "legjobb" közelítései ismertek, akkor a terület fő feladata az előbb említett különbség pontos felső és alsó határának megtalálása, a nevező függvényében kifejezve.

Úgy tűnik, hogy a korlátok a valós számok természetétől függnek – a racionális számok másik racionális számmal való közelítésének alsó korlátja nagyobb, mint az algebrai számok alsó korlátja , amely maga is nagyobb, mint a valós számok alsó korlátja. Így az algebrai számok határánál jobban közelíthető valós számok határozottan transzcendentális számok . Ez tette lehetővé, hogy Liouville 1844-ben megszerezze az első kifejezetten megadott transzcendentális számot. Később, hasonló módszerrel bebizonyosodott, hogy és transzcendentálisak. $\pi$ $e$

Így a diofantin közelítések és a transzcendentális számok elmélete nagyon közeli területek, és számos általános tételt és módszert tartalmaznak. A diofantin-közelítéseknek a diofantin-egyenletek tanulmányozásában is vannak fontos alkalmazásai .

Történelmi megjegyzések

Miután Borel és Khinchin megállapította, hogy szinte minden szám csak a racionális számok „legrosszabb közelítését” engedi meg, kialakult a diofantin közelítések metrikus elméletének iránya (a független mennyiségek közelítésének elmélete), amely a diofantin közelítések klasszikus ágához tartozik. .

Egy új trend váratlan irányból érkezett. Mahler a transzcendentális számokat osztályozva megfogalmazta a transzcendentális számok elméletének fő metrikai problémáját - a szinte minden szám "transzcendencia mértékére" vonatkozó hipotézist. Amikor a sejtés beigazolódott, mély kapcsolat kezdett megnyílni a diofantin közelítések klasszikus elmélete és a transzcendentális számok metrikus elmélete között. Az eredmény egy új irány kifejlesztése volt - a függő mennyiségek közelítésének elmélete.

A modern elméletben három fő megközelítés létezik.

Globális, a közelítés általános törvényeinek tanulmányozása. A globális állításokra példa a Dirichlet- és Kronecker-tétel, a Minkowski-sejtés a lineáris formák szorzatairól.
Az egyéni megközelítés a speciális számok tulajdonságaira vonatkozik (algebrai számok, ), vagy megköveteli bizonyos tulajdonságú számok szerkesztését (Liouville-számok, Mahler-számok). $e,\pi ,\ln 2$
A metrikus megközelítés, amely egy köztes pozíciót foglal el. A megközelítés megköveteli a számok közelítési tulajdonságainak leírását mértékelmélet alapján [1] .

A valós számok legjobb diofantin közelítései

Adott egy α valós szám , kétféleképpen lehet megtalálni α legjobb diofantin közelítését . Az első definícióban [2] egy p / q racionális szám az α szám legjobb diofantin közelítése , ha

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\left|\alpha -{\frac {p'}{q'}}\right|,

a p / q -tól eltérő p ' / q' racionális számra úgy, hogy 0 < q ′ ≤ q .

A második definícióban [3] [4] a fenti egyenlőtlenség helyébe a

\left|q\alpha -p\right|<\left|q^{\prime }\alpha -p^{\prime }\right|.

A legjobb közelítés a második definícióhoz a legjobb az első definícióhoz, de ennek az ellenkezője nem igaz [5] .

A folytonos törtek elmélete lehetővé teszi egy valós szám legjobb közelítésének kiszámítását - a második definícióhoz a törtek közönséges folytatólagos törtekként konvergálnak [4] [5] [6] . Az első meghatározáshoz a köztes törteket [2] is figyelembe kell venni .

Megjegyzés : Megállapodunk, hogyegy adott folyamatos tört megfelelő törtével jelöljük. A törtek páros k esetén növekvő , páratlan k esetén csökkenő sorozatotalkotnakEnnek a sorozatnak a szélső tagjai azonos paritású konvergensek. A köztük lévő köztes kifejezéseket köztes törteknek nevezzük [7] .

{\frac {p_{k}}{q_{k}}}

{\tfrac {p_{k-2}}{q_{k-2}}},{\tfrac {p_{k-2}+p_{k-1}}{q_{k-2}+ q_{k-1))},{\tfrac {p_{k-2}+2p_{k-1}}{q_{k-2}+2q_{k-1}}},...,{\ tfrac {p_{k-2}+a_{k}p_{k-1}}{q_{k-2}+a_{k}q_{k-1}}}={\tfrac {p_{k}} {q_{k}}}

Például az e = 2,718281828459045235… állandót folyamatos törtként ábrázoljuk

[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,\ldots \;].

Legjobb teljesítményei a második definíció szerint

3,{\tfrac {8}{3)),{\tfrac {11}{4)),{\tfrac {19}{7)),{\tfrac {87}{32)),\ ldots\,,

Míg az első definíció szerint a legjobb reprezentációk lennének

3,{\tfrac {5}{2)),{\tfrac {8}{3)),{\tfrac {11}{4)),{\tfrac {19}{7)),{ \tfrac {49}{18)),{\tfrac {68}{25)),{\tfrac {87}{32)),{\tfrac {106}{39)),\ldots \,.

A közelítések pontosságának mértéke

Egy α valós szám p / q racionális számmal való diofantin közelítésének egy nyilvánvaló mértéke . Ez az érték azonban mindig a kívánt kicsire tehető p és q abszolút értékének növelésével . Emiatt a közelítés pontosságát általában a q nevező valamely φ függvényével , általában a nevező negatív hatványával hasonlítják össze. $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|$

A pontosság alsó határának felső korlátja használható egy ilyen becsléshez. Az alsó korlátot általában egy olyan tétellel írják le, mint például "A valós számok valamely részhalmazának bármely α elemére és bármely p / q racionális számra " . Egyes esetekben "bármilyen racionális szám" helyettesíthető "minden racionális számmal, kivéve a véges számot", és ezt a számot úgy vesszük figyelembe, hogy φ -t megszorozunk valamilyen α -tól függő konstanssal . $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>\phi (q)$

A felső határoknál figyelembe lehet venni azt a tényt, hogy nem minden „legjobb” diofantin közelítés, amelyet a folytonos tört összeállításakor kapunk, nem adja meg a kívánt pontosságot. Ezért a tételek a következőt öltik: "A valós számok valamely részhalmazának bármely α eleméhez végtelenül sok p / q racionális szám létezik , hogy ". $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\phi (q)$

Gyengén közelített számok

Egy rosszul közelített szám egy olyan x szám , amelyre létezik egy pozitív c állandó , így minden racionális p / q - re van

\left|{x-{\frac {p}{q}}}\right|>{\frac {c}{q^{2}}}\ .

A rosszul közelített számok pontosan korlátos részhányadosú számok [8] .

Diofantin közelítések alsó határai

Racionális számok közelítése más racionális számokkal

Egy racionális szám nyilvánvalóan tökéletesen közelíthető számokkal bármely i pozitív egész számra . $\alpha ={\frac {a}{b))$ ${\tfrac {p_{i}}{q_{i}}}={\tfrac {i\,a}{i\,b}}$

Ha van ${\tfrac {p}{q}}\not =\alpha ={\tfrac {a}{b}}\,,$

\left|{\frac {a}{b}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {aq-bp}{bq}}\right|\ geq {\frac {1}{bq)),

mert ez egy pozitív egész szám, ezért nem kisebb, mint 1. Ez a közelítési pontosság gyenge az irracionális számokhoz képest (lásd a következő részt). $|aq-bp|$

Látható, hogy a fenti bizonyítás a Dirichlet-elv egy változatát használja - egy nem-negatív szám, amely nem egyenlő 0-val, de nem kisebb, mint 1. Ezt a nyilvánvalóan triviális megjegyzést szinte minden bizonyításban alkalmazzák a diofantusi közelítések alsó határaira, még akkor is, ha bonyolultabbak.

Összegezve: egy racionális szám önmagában tökéletesen közelíthető, de bármely más racionális szám gyengén közelíthető.

Algebrai számok közelítése, Liouville eredménye

Az 1840-es években Joseph Liouville megszerezte az algebrai számok közelítésének első alsó korlátját – ha x a racionális számokhoz képest n fokú irracionális algebrai szám, akkor van egy c ( x ) > 0 állandó ,

{\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{q^{n))))

minden p és q egész számra , ahol q > 0 .

Ez az eredmény lehetővé tette számára, hogy megkapja a transzcendentális szám első bizonyított példáját, a Liouville-állandót :

\sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0,1100010000000000000000001000\ldots \,

amely nem teljesíti Liouville tételét, bármilyen n hatványt is választunk.

Ez a kapcsolat a diofantin közelítések és a transzcendentális számok elmélete között a mai napig megfigyelhető. Számos bizonyítási technika közös ezen a két területen.

Algebrai számok közelítése, Thue-Siegel-Roth tétel

Több mint egy évszázada számos kísérlet történt Liouville tételének javítására – a határ bármely javítása lehetővé teszi számunkra, hogy bizonyítsuk több szám transzcendenciáját. A főbb fejlesztéseket Axel Thue [9] , Karl Siegel [10] , Freeman Dyson [11] és Klaus Roth [12] végezte el , ami végül a Thue-Siegel-Roth tételhez vezetett – Ha x irracionális algebrai szám és ε , (kis) pozitív valós szám, akkor létezik olyan pozitív c ( x , ε ) állandó ,

{\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x,\varepsilon )}{q^{2+\varepsilon ))))

bármely olyan p és q egész számra , amelyre q > 0 .

Bizonyos értelemben ez az eredmény optimális, mivel a tétel állítása ε =0 esetén meghiúsul. Ez az alábbiakban ismertetett felső határok egyenes következménye.

Algebrai adatok együttes közelítései

Ezt követően Wolfgang Schmidt általánosította ezt a közös közelítések esetére, bizonyítva, hogy ha x 1 , ..., x n olyan algebrai számok, hogy 1, x 1 , ..., x n lineárisan független a racionális számoktól , és tetszőleges ε pozitív valós szám adott , akkor csak véges sok racionális n - sor van ( p 1 / q , ..., p n / q ) úgy, hogy

|x_{i}-p_{i}/q|<q^{-(1+1/n+\varepszilon )},\quad i=1,\ldots ,n.

Ez az eredmény abban az értelemben is optimális, hogy ε nem távolítható el a kitevőből.

Hatékony határok

Az összes előző alsó korlát nem hatékony , abban az értelemben, hogy a bizonyítás nem ad módot az utasításban szereplő állandó kiszámítására. Ez azt jelenti, hogy a tétel bizonyításával nem lehet korlátokat szerezni a megfelelő Diofantine-egyenlet megoldásaira. Ezzel a technikával azonban gyakran lehet korlátozni a megoldások számát egy ilyen egyenletre.

A Baker-tétel Feldman-féle finomítása azonban effektív korlátot ad – ha x egy n fokú algebrai szám a racionális számokhoz képest, akkor léteznek hatékonyan kiszámítható c ( x ) > 0 és 0 < d ( x ) < n állandók . hogy

{\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{|q|^{d(x)))))

minden racionális számra érvényes.

Azonban, mint a Baker-tétel bármely effektív változatánál, a d és 1/ c állandók olyan nagyok, hogy ez az effektív eredmény a gyakorlatban nem alkalmazható.

Diofantin közelítések felső határa

Általános felső korlát

A diofantin közelítések felső határára vonatkozó első fontos eredmény a Dirichlet-féle közelítési tétel , amelyből következik, hogy bármely α irracionális számhoz végtelen sok tört van , így: ${\tfrac {p}{q))$

{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2))))

Ebből rögtön következik, hogy a Thue-Siegel-Roth tétel állításában lehetetlen megszabadulni ε -től.

Néhány évvel később ezt a tételt a következő Borel-tételre (1903) javították [13] . Bármely α irracionális számhoz végtelen sok tört van , amelyek: ${\tfrac {p}{q}}\;$

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}({\sqrt {5}}q^{2}}}

Ezért bármely irracionális szám diofantusz közelítésének felső korlátja. Ebben az eredményben az állandó nem javítható néhány irracionális szám kiküszöbölése nélkül (lásd alább). ${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {5}}\,q^{2))))$

Egyenértékű valós számok

Definíció : Két valós számot ekvivalensnek nevezünk [14] [15] , ha vannak olyan egész számok , amelyekben : $x,y$ $a,b,c,d\;$ $ad-bc=\pm 1\;$

y={\frac {ax+b}{cx+d}}\,.

Az ekvivalenciát a valós számok feletti egész Möbius transzformáció vagy a moduláris csoport tagja, az egész számok feletti invertálható 2×2 mátrixok halmaza határozza meg. Minden racionális szám ekvivalens 0-val. Így a racionális számok ennek az összefüggésnek az ekvivalencia osztálya . ${\text{SL}}_{2}^{\pm }(\mathbb {Z} )$

Ez az ekvivalencia lefedheti a közönséges folyamatos törteket, amint azt a következő Serret -tétel mutatja :

Tétel : Két x és y irracionális szám akkor és csak akkor ekvivalens, ha van két olyan h és k pozitív egész , hogy ha x és y folyamatos törtként vannak ábrázolva

x=[u_{0};u_{1},u_{2},\ldots ]\,,

y=[v_{0};v_{1},v_{2},\ldots ]\,,

teljesített

{\displaystyle u_{h+i}=v_{k+i))

bármely nem negatív i egész számra . [16]

Lagrange spektrum

Amint fentebb említettük, a Borel-tételben szereplő állandó nem javítható, amint azt Hurwitz 1891-ben kimutatta [17] . Legyen az aranymetszés . Ekkor bármely valós állandóhoz csak véges sok olyan p / q racionális szám létezik $\phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ $c>{\sqrt {5}}\;$

\left|\phi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{c\,q^{2}}}.

Ezért a javulás csak a -val egyenértékű számok kiiktatásával érhető el . Pontosabban [18] [19] : Minden olyan racionális számhoz , amely nem ekvivalens -vel, végtelen sok olyan tört van , $\phi$ $\alpha$ $\phi$ ${\tfrac {p}{q}}\;$

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}({\sqrt {8}}q^{2}}}.

Az ekvivalenciaosztályok egymás utáni kiiktatásával – mindegyiknek ki kell zárnia az egyenértékű számokat – meg lehet emelni az alsó korlátot. A folyamat eredményeként megkapható értékek a Lagrange-számok , amelyek a Lagrange-spektrum részét képezik . 3-hoz konvergálnak, és a Markov-számokhoz kapcsolódnak [20] [21] . ${\sqrt {2}}$

Khinchin tétele és kiterjesztései

Legyen egy nem növekvő függvény pozitív számokról pozitív valós számokra. Egy x valós számot (nem feltétlenül algebrai) nevezünk - közelíthetőnek , ha végtelen sok p / q racionális szám van , így [22] $\psi$ $\psi$

\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {\psi (q)}{|q|}}.

Khinchin 1926-ban bebizonyította, hogy ha a sorozat eltér, akkor szinte minden valós szám ( a Lebesgue-mérték értelmében ) -közelíthető, a sorozat konvergenciája esetén pedig szinte minden valós szám nem -közelíthető. $\sum _{q}\psi (q)$ $\psi$ $\psi$

Duffin és Shaffer [23] bebizonyítottak egy általánosabb tételt, amelyből Khinchin eredménye következik, és egy olyan sejtést tettek, amely ma Duffin-Schaffer sejtésként ismert [24] . Beresnevich és Velani [25] bebizonyította, hogy a Hausdorff-mértékre vonatkozó Duffin–Schaffer-sejtés analógja ekvivalens az eredeti Duffin–Schaffer-sejtéssel, amely eleve gyengébb.

Kivételes halmazok Hausdorff dimenziója

Egy fontos példa egy olyan függvényre , amelyre a Khinchin-tétel alkalmazható, egy függvény , ahol c > 1. Ennél a függvénynél a megfelelő sorozatok konvergálnak, így a Khinchin-tétel szerint a -közelíthető számok halmazának nulla Lebesgue-mértéke van a függvényen. valódi tengely. A Jarnik - Besicovitch tétel kimondja, hogy ennek a halmaznak a Hausdorff-dimenziója [26] . Konkrétan az egyesekhez közelíthető számok (amelyek nagyon jól közelíthető számok néven ismertek ) első dimenziója van, míg a mindenkire megközelíthető számhalmaz ( Liouville-számokként ismert ) Hausdorff-dimenziója nulla. $\psi$ ${\displaystyle \psi _{c}(q)=q^{-c))$ $\psi _{c}$ $1/c$ $\psi _{c}$ $c>1$ $\psi _{c}$ $c>1$

Egy másik fontos példa az a függvény, ahol . Ennél a függvénynél a megfelelő sorozatok eltérnek, és Khinchin tétele szerint szinte minden szám -közelíthető. Más szóval, ezek a számok jól közelítettek (vagyis nem rosszul közelítettek). Így a Yarnick-Besicovitch-tétel analógjának a rosszul közelített számok Hausdorff-dimenziójára kell vonatkoznia. És Yarnik valóban bebizonyította, hogy az ilyen számok halmazának Hausdorff-dimenziója egyenlő eggyel. Ezt az eredményt javította Schmidt , aki kimutatta, hogy a rosszul közelíthető számok halmaza összenyomhatatlan abban az értelemben, hogy ha bi- Lipschitz leképezések sorozata , akkor az x számhalmaz Hausdorff-dimenziója , amelyre minden rosszul közelíthető, egyenlő eggyel. Schmidt általánosította Jarnick tételét magasabb dimenziókra, ami jelentős eredmény, mivel Jarnick folytonos töredékes érvelése erősen támaszkodik a tér egydimenziós voltára. ${\displaystyle \psi _{\epsilon }(q)=\epsilon q^{-1))$ $\epsilon > 0$ ${\displaystyle \psi _{\epsilon ))$ $f_{1},f_{2},\ldots$ $f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots$

Egységes eloszlás

Egy másik vizsgált terület az egyenlő eloszlású sorozat elmélete modulo 1 . Vegyünk egy a 1 , a 2 , … sorozatot valós számokból, és vegyük figyelembe azok tört részeit . Vagyis formálisabban tekintsünk egy sorozatot R/Z -ben , amely ciklikus (körnek tekinthető). A kör bármely I intervallumánál figyelembe vesszük az intervallumon belüli elemek töredékét néhány N egész számig, és összehasonlítjuk ezt az értéket az I intervallum által elfoglalt kör törtrészével . Az egyenletes eloszlás azt jelenti, hogy a korlátban, ahogy N növekszik , az intervallumban a találatok töredéke a „várt” értékre hajlik. Weyl bebizonyította az alaperedményt, hogy ez ekvivalens a sorozatból képzett Weyl-összegek korlátjával. Ez azt mutatja, hogy a diofantin közelítések szorosan kapcsolódnak az analitikus számelméletben megjelenő Weyl-összegekben (a maradék becslésekben) előforduló kölcsönös érvénytelenítés általános problémájához .

Az egyenletes eloszlással kapcsolatos téma az egyenetlen eloszlások témaköre , amely kombinatorikus jellegű.

Megoldatlan problémák

Még mindig vannak egyszerűen megfogalmazott, de megoldatlan diofantusi közelítési problémák, mint például a Littlewood-sejtés és a magányos futó sejtés . Az sem ismert, hogy vannak-e korlátlan együtthatójú algebrai számok a tört folyamatos bővítésében.

Friss kutatások

A kiotói Matematikusok Nemzetközi Kongresszusának plenáris ülésén (1990) Grigory A. Margulis egy ergodikus elméleten alapuló, széles körű programot vázolt fel , amely lehetővé teszi számelméleti eredmények bizonyítását a félig egyszerű hazugság alcsoport-akcióinak dinamikus és ergodikus tulajdonságainak felhasználásával. csoportok . D. Ya. Kleinbock és G. A. Margulis munkája (társszerzőkkel együtt) bemutatja a diofantin közelítések klasszikus problémáinak ezen új megközelítésének erejét. A figyelemre méltó eredmények közé tartozik, hogy Margulis bizonyítja Oppenheim sejtését , amelyet évtizedekkel ezelőtt terjesztett elő további kiterjesztéssel (Dani és Margulis, Eskin-Margulis-Moses), valamint Kleinbock és Margulis bizonyítása a Baker és Sprindzhuk sejtésekről a sokaságokkal kapcsolatos diofantin közelítésekről . Ezzel a módszerrel a fenti Khinchin -eredmények különféle általánosításait kapták a metrikus diofantin közelítéseken.

Lásd még

Davenport-Schmidt tétel
Duffin-Shaffer hipotézis
Egyenletesen elosztott sorozat

Jegyzetek

↑ Sprindzhuk, 1977 , p. 4-5 Előszó.
↑ 1 2 Khinchin, 1978 , p. 32.
↑ Cassels, 1961 , p. tíz.
↑ 1 2 Leng, 1970 , p. 19.
↑ 1 2 Khinchin, 1978 , p. 35.
↑ Cassels, 1961 , p. 10–17.
↑ Khinchin, 1978 , p. 21-22.
↑ Bugeaud, 2012 , p. 245.
↑ 1909. csütörtök .
↑ Siegel, 1921 .
↑ Dyson, 1947 .
↑ Roth, 1955 .
↑ Perron, 1913 , p. 2. fejezet 15. tétel.
↑ Hurwitz, 1891 , p. 284.
↑ Hardy és Wright 1979 , p. fejezet 10.11.
↑ Lásd Perron cikkét ( Perron 1929 , 2. fejezet, 23. tétel, 63. o.)
↑ Hardy és Wright 1979 , p. 164.
↑ Cassels, 1961 , p. 21.
↑ Hurwitz, 1891 .
↑ Cassels, 1961 , p. 29.
↑ Lásd Michel Waldschmidt: Introduction to Diophantine módszerek irracionalitás és transzcendencia Archiválva : 2012. február 9., a Wayback Machine , 24-26.
↑ Sprindzhuk, 1977 , p. 9. fejezet
↑ Duffin, Schaeffer, 1941 .
↑ Sprindzhuk, 1977 , p. 23.
↑ Beresnevich, Velani, 2006 .
↑ Bernik, Beresnevich, Götze, Kukso, 2013 , p. 24.

Irodalom

Victor Beresnevich, Sanju Velani. A tömegátviteli elv és a Duffin-Schaeffer-sejtés Hausdorff-mértékekre // Annals of Mathematics . - 2006. - T. 164 . — S. 971–992 . - doi : 10.4007/annals.2006.164.971 .
V. Bernik, V. Beresnevich, F. Götze, O. Kukso. Az algebrai számok megoszlása és a diofantin közelítés metrikai elmélete // Limit Theorems in Probability, Statistics and Number Theory: In Honor of Friedrich Götze / Peter Eichelsbacher, Guido Elsner, Holger Kösters, Matthias Löwe, Franz Merkl, Silke Rolles. - Heidelberg: Springer, 2013. - T. 42. - S. 23-48. - (Springer Proceedings in Mathematics & Statistics). - doi : 10.1007/978-3-642-36068-8_2 .
Yann Bugeaud. Eloszlás modulo one és diofantin közelítés. - Cambridge: Cambridge University Press , 2012. - V. 193. - ISBN 978-0-521-11169-0 .
J. W. S. Cassels . Bevezetés a diofantin közelítések elméletébe. - M . : Külföldi Irodalmi Kiadó, 1961.
RJ Duffin, AC Schaeffer. Khintchine problémája a metrikus diofantin közelítésben // Duke Mathematical Journal . - 1941. - T. 8 . – S. 243–255 . — ISSN 0012-7094 . - doi : 10.1215/s0012-7094-41-00818-9 .
Freeman Dyson . Az algebrai számokhoz való közelítés racionálisan // Acta Mathematica . - 1947. - T. 79 . — S. 225–240 . — ISSN 0001-5962 . - doi : 10.1007/BF02404697 .
GH Hardy , EM Wright. Bevezetés a számelméletbe . — 5. - Oxford University Press, 1979. - ISBN 978-0-19-853170-8 .
A. Hurwitz . Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Brüche (német) // Mathematische Annalen. - 1891. - Bd. 39 , H.2 . – S. 279–284 . - doi : 10.1007/BF01206656 .
A. Ya. Khinchin. Lánclövések. - 4. - M . : "Nauka", GIFML, 1978.
DY Kleinbock, G. A. Margulis . Áramlások homogén tereken és diofantin közelítés az elosztókon , Ann. Math.. - 1998. - Vol. 148 , no. 1 . – S. 339–360 . - doi : 10.2307/120997 . — .
S. Leng. Bevezetés a diofantin közelítések elméletébe. - M . : "Mir", 1970. - (A "Matematika" gyűjtemény könyvtára). — ISBN 0-387-94456-7 .
G. A. Margulis . Számelmélet panorámája vagy a kilátás a Baker kertjéből. - Cambridge: Cambridge University Press , 2002. - 280-310. — ISBN 0-521-80799-9 .
Oscar Perron. Die Lehre von den Kettenbrüchen (német) . – Lipcse: BG Teubner, 1913.
Oscar Perron. Die Lehre von den Kettenbrüchen (német) . — 2. – Chelsea, 1929.
Klaus Friedrich Roth . Racionális közelítések algebrai számokhoz // Mathematika . - 1955. - T. 2 . – S. 1–20, 168 . — ISSN 0025-5793 . - doi : 10.1112/S0025579300000644 .
Wolfgang M. Schmidt. Diofantin közelítés. — =1996. - Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag , 1980. - T. 785. - (Matematikai előadásjegyzetek). — ISBN 3-540-09762-7 .
Wolfgang M. Schmidt. Diofantin közelítések és diofantin egyenletek. — =2. - Springer-Verlag , 1996. - T. 1467. - (Matematikai előadásjegyzetek). — ISBN 3-540-54058-X .
Carl Ludwig Siegel . Közelítő algebraischer Zahlen // Mathematische Zeitschrift . - 1921. - T. 10 , sz. =3 . – S. 173–213 . — ISSN 0025-5874 . - doi : 10.1007/BF01211608 .
V. G. Sprindzhuk. Diofantin közelítések metrikus elmélete. - M . : GRFML "Nauka", 1977.
A.Cs. _ Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1909. - T. 135 . – S. 284–305 . — ISSN 0075-4102 . - doi : 10.1515/crll.1909.135.284 .

Linkek

Diophantine Approximation: történelmi felmérés Archivált 2012. február 14-én a Wayback Machine -nál . Michel Waldschmidt : Bevezetés a diofantinus módszerekbe című kurzusból.
Hazewinkel, Michiel, szerk. (2001), p/d032600 , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4