Korlátozott hiányos hányadosok

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. július 13-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A matematikában egy valós számról azt mondják, hogy korlátos részhányadosai vannak , ha folytatólagos törtté bővítve a parciális hányadosok nem vesznek fel tetszőlegesen nagy értékeket.

Meghatározás

lánclövés

x=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_ {2}+\pontok}}}}}

határos hiányos hányadosokat tartalmaz, ha létezik olyan szám , amely bármely . $c$ $a_{i}\leq c$ $i\geq 0$

Tulajdonságok

bármely periodikusan folytatódó törtnek korlátos részhányadosai vannak;

ha korlátos hiányos hányadosokat tartalmaz, akkor a Minkowski-függvény értékének egy pontban történő bináris megjelenítésében a szomszédosak közötti távolság korlátos (ebben az összefüggésben az ilyen számok halmaza a következő gondolat széles körű általánosításaként értelmezhető). Cantor-készlet készítése ) . $x$ $x$

Zaremba hipotézise

Egy racionális szám folyamatos törtbővítése mindig véges, így minden parciális hányadosát a legnagyobb határolja. Ezért különösen érdekes az a kérdés, hogy lehetséges-e egységes korlátozásokat előírni a racionális számok többségének hiányos törteire. A filmet Stanislav Zaremba rendezte 1972-ben.

Zaremba hipotézise

Létezik olyan abszolút állandó , hogy minden nevezőhöz van egy számláló úgy, hogy az irreducibilis tört részleges részei $c$ $q\in {\mathbb {N} }$ $a<q$ $(a,q)=1$

{\frac {a}{q}}=[a_{1},\dots ,a_{s}]

az egyenlőtlenség korlátozza $a_{i}\leq c,\ i=1,\dots ,s$

Burgain és Kontorovich bebizonyította a sejtést az 1-es sűrűségszámok halmazára. [ 1 ] A konstans és a különálló megengedett értékek halmazának kis értékeinél gyengébb alsó határok az ilyenek eloszlásaira . [2] $q$ $c$ $a_{i}$ $q$

Irodalom

J. Bourgain, A. Kontorovich. Zaremba sejtéséről // Annals of Mathematics. - 2014. - Kt. 180 . - P. 137-196 .

I. D. Kan. A Bourgain–Kontorovich-tétel erősítése. IV // Az Orosz Tudományos Akadémia közleményei. - 2016. - T. 80 , sz. 6 . – S. 103–126 . (Orosz)

Jegyzetek

↑ Bourgin, Kontorovich, 2014 .
↑ Lásd Kahn, 2016 és más műveket ugyanabban a sorozatban.