Davenport-Schmidt tétel

A matematikában a diofantin közelítések területén a Davenport–Schmidt-tétel határozza meg , hogy egy speciális típusú valós számok mennyire közelíthetők meg egy másik speciális számfajtával. Nevezetesen azt a lehetőséget kínálja, hogy másodfokú irracionális vagy csak racionális számok segítségével jó közelítést kapjunk olyan irracionális számokhoz, amelyek nem másodfokúak . Harold Davenportról és Wolfgang M. Schmidtről elnevezett tétel.

Tétel

Egy racionális vagy másodfokú irracionális számhoz egyedi egész számok vannak , amelyek közül legalább az egyik nem nulla, az első nem nulla pozitív, viszonylag prímek , és $\alpha$ $x$ $y$ $z$

x\alpha ^{2}+y\alpha +z=0.

Ha egy másodfokú irracionális szám, as , és vehetjük minimális polinomjának együtthatóit . Ha racionális, akkor elfogadjuk . Ezeket az egyes ilyenekhez egyedileg meghatározott egész számokat használva a magasságot a képlet adja meg $\alpha$ $x$ $y$ $z$ $\alpha$ $x=0$ $\alpha$ $\alpha$

H(\alpha )=\max\{|x|,\;|y|,\;|z|\}.

A tétel kimondja, hogy minden olyan valós számhoz , amely nem racionális és nem másodfokú irracionális, végtelenül sok olyan valós szám létezik , amely racionális vagy másodfokú irracionális, és kielégíti az egyenlőtlenséget. $\xi$ $\alpha$

|\xi -\alpha |<CH(\alpha )^{-3}\max(1,\;\xi ^{2}),

ahol bármely valós szám kielégítő . [egy] $C$ $C>160/9$

Bár ez a tétel Roth tételéhez kapcsolódik , a valódi felhasználása az, hogy hatékony abban az értelemben, hogy bármely adott konstans definiálható . $C$ $\xi$

Jegyzetek

↑ Davenport H., Schmidt Wolfgang M. Valós számok közelítése másodfokú irracionalitásokkal // Acta Arithmetica 13 , (1967).

Irodalom

Schmidt Wolfgang M. Diofantin közelítés // Matematikai előadásjegyzetek 785. Springer. (1980 [1996 kisebb javításokkal])
Schmidt Wolfgang M. Diofantin közelítések és diofantin egyenletek // Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000.

Linkek

Davenport-Schmidt tétel . PlanetMath .