Az irracionalitás mértéke

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. június 16-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 7 szerkesztést igényelnek .

Egy valós szám irracionalitásának mértéke egy valós szám , amely azt jelzi, hogy mennyire közelíthető meg racionális számokkal . $\alpha$ $\mu$ $\alpha$

Definíció

Legyen valós szám, és legyen az összes szám halmaza úgy, hogy az egyenlőtlenségnek csak véges számú megoldása van egész számokban és : $\alpha$ $M(\alpha )$ $\mu$ $0<\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}}$ $p$ $q>0$

M(\alpha )=\left\{\mu >0\colon (\exists q_{0}=q_{0}(\mu ,\;\alpha ))\;(\forall p,\; q\in \mathbb {Z} )\;q>q_{0}\Rightarrow \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{q^{\ mu }}}\lor \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|=0\right\}.

Ekkor egy szám irracionalitásának mértékét az infimumként határozzuk meg : $\mu (\alpha)$ $\alpha$ $M(\alpha )$

\mu (\alpha )=\inf M(\alpha ).

Ha , akkor tegyük fel . $M(\alpha )=\varnothing$ $\mu (\alpha )=+\infty$

Más szóval, az a legkisebb szám, hogy bármely kellően nagy nevezővel rendelkező racionális közelítésre igaz, hogy . $\mu$ $\varepsilon >0$ ${\frac {p}{q))$ $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{q^{{\mu +\varepsilon }}}}$

Az irracionalitás mértékének lehetséges értékei

$\mu (\alpha )=1$ akkor és csak akkor, ha racionális szám. $\alpha$
Ha egy algebrai irracionális szám , akkor . $\alpha$ $\mu (\alpha )=2$
Ha egy transzcendentális szám , akkor . Különösen, ha , akkor a számot Liouville-számnak nevezik . $\alpha$ $\mu (\alpha )\geqslant 2$ $\mu (\alpha )=+\infty$ $\alpha$

Kapcsolat a folyamatos törtekkel

Ha egy szám folyamatos törtté való kiterjesztése , és ez a megfelelő folytatólagos tört, akkor $\alpha =[a_{0};\;a_{1},\;a_{2},\;\ldots ]$ $\alpha$ ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}$ $n$

\mu (\alpha )=1+\limsup \limits _{{n\to +\infty }}{\frac {\ln q_{{n+1}}}{\ln q_{n}}}=2 +\limsup \limits _{{n\to +\infty }}{\frac {\ln a_{{n+1}}}{\ln q_{n}}}.

Ezzel a képlettel különösen könnyű megtalálni az irracionalitás mértékét a másodfokú irracionalitásokhoz , mivel ezek folyamatos törtekre való kiterjesztése periodikus. Például az aranymetszethez , majd a . $\varphi =[1;\;1,\;1,\;\ldots ]$ $\mu (\varphi )=2$

Thue-Siegel-Roth tétel

A Dirichlet-lemma szerint, ha irracionális, akkor végtelen sok p és q van úgy, hogy , azaz . 1844-ben Liouville bebizonyította azt a tételt, hogy bármely algebrai fokszámhoz választhatunk olyan állandót , hogy . 1908-ban Thue megerősítette ezt az értékelést. Ebben az irányban további eredményeket értek el Siegel , Dyson , Gelfond , Schneider . A legpontosabb becslést Roth igazolta 1955-ben, az így kapott tételt Thue-Siegel-Roth tételnek nevezzük . Azt állítja, hogy ha egy algebrai irracionális szám, akkor . Ezért a bizonyítékért Roth megkapta a Fields -érmet . $\alpha$ $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}$ $\mu (\alpha )\geqslant 2$ $\alpha$ $n$ $c=c(\alpha )$ $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|\geqslant {\frac {c}{q^{n}}}$ $\alpha$ $\mu (\alpha )=2$

Egyes transzcendentális számok irracionalitásának mértéke

Szinte minden transzcendentális szám esetében az irracionalitás mértéke egyenlő 2-vel. Köztudott, hogy , és ismertek a Liouville-számok is , amelyek definíció szerint végtelen mértékkel rendelkeznek az irracionalitás mértékétől. Azonban sok más transzcendentális állandó esetében az irracionalitás mértéke ismeretlen; legjobb esetben is ismert valamilyen felső becslés. Például: $\mu \left(e\right)=2$

$\mu \left(\pi \right)\leqslant 7{,}103205334137$ [egy]
$\mu \left(\zeta \left(3\right)\right)\leqslant 5{,}513891$
$\mu \left(\ln 3\right)\leqslant 5{,}116201$
$\mu \left(\pi ^{2}\right)\leqslant 5{,}09541179$ [2]
$\mu \left({\frac {\pi }{\sqrt {3))}\right)\leqslant 4{,}230464$ [3]
$\mu \left(\ln 2\right)\leqslant 3{,}57455391$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Doron Zeilberger, Wadim Zudilin. A Pi irracionalitás mértéke legfeljebb 7,103205334137 . archive.org (2019). Archiválva : 2020. október 17. (határozatlan)
↑ Irracionalitás mértéke – a Wolfram MathWorldtől . Letöltve: 2021. február 28. Az eredetiből archiválva : 2021. január 11. (határozatlan)
↑ V. A. Androsenko, A π/√3 szám irracionalitásának mértéke, Izv. RAN. Ser. matematika. , 2015, 79. évfolyam, 1. szám, 3–20

Linkek

Weisstein , Eric W. Irracionalitás mérése a Wolfram MathWorldnél .