Az univerzális algebrai geometria (más néven algebrai geometria algebrai rendszerek felett [1] ) egy olyan irány a matematikában , amely egy algebrai rendszer elemei közötti kapcsolatokat vizsgálja , az algebrai egyenletek nyelvén kifejezve algebrai rendszereken . A klasszikus algebrai geometria az algebrai rendszereken átívelő algebrai geometria sajátos példája algebrai mező esetén, univerzális esetben az univerzális algebra eszközeit használják a klasszikus eredmények általánosítására.
Az irányt kezdetben Plotkin , Baumslag ( ang . Gilbert Baumslag ), Kharlampovich , Myasnikov , Remeslennikov [2] műveiben dolgozták ki . A kiindulópont az algebrai geometria kidolgozása volt egy szabad nem Abel -csoporton, majd értelmes elméletek születtek merev megoldható csoportokra ( Romanovszkij ), metabeli csoportokra , részlegesen kommutatív csoportokra , számos eredményt tártak fel Abel-csoportokra , topológiai csoportokra , hiperbolikus csoportok , gyűrűk feletti algebrák , valamint számos nagy általánosságú struktúra, például félcsoport , monoid , félrács .
Az irány egyik fő feladata az algebrai halmazok leírása a választott algebrai rendszeren [3] . Az elmélet alapvető része az algebrai geometria megalkotásának eredményeinek általánosítása bizonyos típusú algebrai rendszerekre, valamint a modellelméleti eszközök alkalmazása hasonló elméletek felépítésére bármilyen aláírású algebrai rendszeren , olyan általános konstrukciók megtalálása, amelyek nem függenek konkrét típusoktól. Az algebrai rendszerek fajtái, olyan tulajdonságok kiválasztása, amelyek a sokaság típusától függetlenül kifejezhetők, és olyan eredményeket tárnak fel, amelyek univerzálisak minden megfelelő tulajdonságú rendszerre. Ilyen tulajdonság például a korábban külön csoportokra , gyűrűkre , modulokra kifejlesztett , de tetszőleges algebrai rendszerekre általánosított Noether-tulajdonság, míg a Noether-algebrai rendszerek teljes osztályára számos algebrai-geometriai eredmény születik. Az eredmények univerzalizálása mellett a megközelítés egyik technikai hatása a számos bizonyítás leegyszerűsítése egy olyan modellelméleti nyelvre való átállás miatt, amely nem igényli a csoportok, gyűrűk, modulok sajátos tulajdonságainak használatát.