Projektív ábrázolás

Egy csoport projektív ábrázolása egy mező feletti vektortéren homomorfizmus egy projektív csoportba $G$ $V$ $F$ $G$

\mathrm {PGL} (V)=\mathrm {GL} (V)/F^{*},

ahol a teljes lineáris csoport , és a normál alcsoportja , amely az identitásoperátor skaláris tényezőiből áll. [1] Más szavakkal, ez olyan operátorok halmaza , amelyek $\mathrm {GL} (V)$ $F^{*}$ $\rho (g)\in \mathrm {GL} (V),\,g\in G$

{\megjelenítési stílus \rho (g)\rho (h)=c(g,h)\rho (gh)}

valami állandó . $c(g,h)\in F$

Néhány projektív reprezentáció a hányadosleképezést használó reprezentációkból nyerhető . Az algebra számára különösen érdekes az a helyzet, amikor egy adott projektív reprezentáció a szokásos lineáris reprezentációra "emelhető", általános esetben ennek akadályait csoportkohomológiák írják le . $\mathrm {GL} (V)$ $\mathrm {GL} (V)\to \mathrm {PGL} (V)$ $\mathrm {GL} (V);$

A legfontosabb eset a Lie csoportok projektív reprezentációi , amelyek vizsgálata elvezet a központi kiterjesztéseik reprezentációinak mérlegeléséhez . Sok érdekes esetben elegendő megvizsgálni azon fedőcsoportok reprezentációit , amelyeknek a lefedett csoport projektív reprezentációi megfelelnek:

A speciális ortogonális csoportot kétszer fedi le a spinor csoport . $\mathrm {SO} (n,F)$ $\mathrm {Spin} (n,F)$
Különösen a háromdimenziós tér forgásának csoportját fedi le, amelynek reprezentációinak tanulmányozása ennek megfelelően kiemelt jelentőségű a spin nemrelativisztikus elmélete szempontjából . ${\mathrm {SO}}(3)$ ${\mathrm {SU}}(2)$
Hasonlóképpen, a spin relativisztikus elmélete a Lorentz-csoport univerzális borításának reprezentációival kezdődik . $\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$ $\mathrm {SO} ^{+}(3,1)$
A Poincaré-csoport univerzális lefedése a félig közvetlen szorzat , amelynek reprezentációi a részecskék és mezők Wigner-féle osztályozását adják a fizikában. $\mathbb {R} ^{3,1}\rtimes \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$

Bargman tétele kimondja, hogy ha a Lie algebra kétdimenziós kohomológiája triviális, akkor bármely projektív unitárius reprezentáció felemelhető a szokásos unitárius reprezentációra . [2] [3] A tétel feltételei teljesülnek különösen a félig egyszerű Lie-csoportokra és a Poincaré-csoportra . $H^{2}({\mathfrak {g});\mathbb {R} )$ $\mathfrak g$ $G$ $G$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Gannon, 2006 , pp. 176–179.
↑ Bargmann, 1954
↑ Simms, 1971

Irodalom

Bargmann, Valentine (1954), A folytonos csoportok egységes sugárreprezentációiról , Annals of Mathematics 59. kötet (1): 1–46 , DOI 10.2307/1969831.
Gannon, Terry (2006), Moonshine Beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83531-2
Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians , vol. 267, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-1461471158
Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , vol. 222 (2. kiadás), Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-3319134666
Schur, I. (1911), Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen , Crelle's Journal vol. 139: 155–250 , < http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/en /dms/load/img/?IDDOC=261150 >
Simms, DJ (1971), A Bargmann-kritérium rövid bizonyítéka Lie-csoportok projektív reprezentációinak emelésére , Reports on Mathematical Physics 2. kötet (4): 283–287 , DOI 10.1016/0034-4877(71)90011-5