A Lorentz-csoport reprezentációs elmélete

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. április 29-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A Lorentz-csoport a téridő szimmetriák Lie csoportja a speciális relativitáselméletben . Ez a csoport mátrixok , lineáris transzformációk vagy unitárius operátorok halmazaként valósítható meg bizonyos Hilbert térben . A csoportnak különböző nézetei vannak . Minden relativisztikusan invariáns fizikai elméletben ezeknek az elképzeléseknek valamilyen módon tükröződniük kell [nb 1] . Magát a fizikát ezek alapján kell elkészíteni. Ezenkívül a speciális relativitáselmélet és a kvantummechanika két olyan fizikai elmélet, amelyeket alaposan teszteltek [nb 2] , és e két elmélet egyesítése a Lorentz-csoport végtelen dimenziós egységes reprezentációinak tanulmányozására redukálódik. Ez történelmi jelentőséggel bír a mainstream elméleti fizikában, és kapcsolódik a spekulatívabb jelenlegi elméletekhez .

A Lorentz-csoport Lie-algebrájának véges dimenziós reprezentációinak teljes elmélete a félig egyszerű Lie-algebrák reprezentációs elméletének általános keretrendszeréből származik . A teljes O(3; 1) Lorentz-csoport összefüggő komponensének véges dimenziós reprezentációi a Lie-megfeleltetés és a mátrixkitevő használatával kaphatók . Megkapjuk a komponens univerzális fedőcsoportjának (valamint a spinor csoportnak , kettős fedőnek) véges dimenziós reprezentációinak teljes elméletét, és explicit módon megadjuk a függvények terére gyakorolt hatás szempontjából a komponens reprezentációin. csoportok és . Az idő- és térfordítási reprezentációkat a Space Inversion és Time Reversal adják meg , kiegészítve a véges dimenziós elméletet a teljes Lorentz-csoportra vonatkozóan. Röviden leírjuk a reprezentációk ( m , n ) általános tulajdonságait . A függvénytereken végrehajtott műveleteket vesszük figyelembe , példaként a gömbharmonikusokra és a Riemann P-szimbólumokra vonatkozó műveleteket. Az irreducibilis unitárius ábrázolások végtelen dimenziós esete a fősorozatra és a kiegészítő sorozatra van megadva . Végül megadjuk a Plancherel-képletet , és az SO(3, 1) csoport reprezentációit osztályozzuk és implementáljuk Lie algebrákra. ${\text{SO}}(3;1)^{+}$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{SO}}(3;1)^{+}$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

A reprezentációelmélet fejlődését a félig egyszerű csoportok általánosabb reprezentációs elméletének kidolgozása követte , elsősorban Elie Joseph Cartan és Hermann Weyl nyomán , de a Lorentz-csoport a fizikában betöltött jelentősége miatt kapott különös figyelmet. A Lorentz-csoportok elméletéhez jelentős mértékben hozzájárult Eugene Wigner fizikus és Valentin Bargman matematikus Bargman -Wigner programjukkal [1] , amelynek egyik következtetése, durván szólva, az összes egységes reprezentáció osztályozása. Az inhomogén Lorentz-csoport az összes lehetséges relativisztikus egyenlet osztályozására redukálódik [2] . A Lorentz-csoport irreducibilis, végtelen dimenziós reprezentációinak osztályozását Paul Dirac elméleti fizika PhD-jelöltje , Harish-Chandra hozta létre , aki később matematikus lett [nb 3] 1947-ben. A csoport megfelelő osztályozását egymástól függetlenül publikálta Bargman és Israel Moiseevich Gel'fand Mark Aronovich Naimarkkal együtt ugyanabban az évben [3] . $\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$

Az informális bevezető néhány előzetes követelményt tartalmaz a reprezentációelméletben nem jártas olvasó számára. A véges dimenziós ábrázolások általános elméletéből itt használt standard eredményeket a Bevezetés a véges-dimenziós ábrázolások elméletébe című részben ismertetjük . A Lie algebra alapjait és más konvenciókat a "A Lie algebra konvenciói és alapjai" című fejezetben mutatjuk be .

Informális bevezetés a reprezentációelméletbe

Ennek a résznek a célja, hogy bemutassa a csoportreprezentáció elméletének szerepét a matematikában és a fizikában. A merevség és a részletek háttérbe szorulnak, mivel a fő cél a Lorentz-csoport véges és végtelen dimenziós reprezentációinak fogalmának rögzítése. Azok az olvasók, akik ismerik ezeket a fogalmakat, kihagyhatják ezt a részt.

Fogalmak összefoglalása

Tér és idő szimmetriája

Maga a tér szimmetrikus. Ugyanúgy néz ki, akárhogyan is forgatjuk, és a forgási szimmetriát a tér izotrópiájának tekintik. Ebben az esetben általában passzív forgatást használnak , ami azt jelenti, hogy a megfigyelő [nb 4] önmagát forgatja. Matematikailag az aktív elforgatási műveletet úgy hajtjuk végre, hogy a sugárvektorokat megszorozzuk a forgatási mátrixszal . A passzív forgatás csak a koordinátarendszer bázisvektorainak elforgatásával történik (a koordinátarendszer a forgó megfigyelőhöz rögzítettnek tekinthető, a megfigyelő fizikailag forog). Így a tér bármely pontja új koordinátákat kap, mintha a tér forogna.

A Lorentz-csoport tartalmazza az összes forgatási mátrixot a negyedik dimenzióig, az első sorban és az első oszlopban nullákkal, kivéve a bal felső elemet, amely egyenlő eggyel.

Ezen kívül vannak olyan mátrixok, amelyek Lorentzi -növelést (tér-időbeli elforgatásokat) hajtanak végre. A passzív megfigyelés során úgy tekinthetjük őket, mint (folyamatosan!) a koordinátarendszer (és vele együtt a megfigyelő) sebességét a választott irányba beállítva.

Végül két speciális transzformációt használnak a koordinátarendszer megfordítására tér-tér inverzióban és idő- idő megfordításban . Az első esetben a térbeli koordináta tengelyei megfordulnak. A második esetben az idő iránya megfordul. Ez a passzív megfigyelésben úgy tekinthető meg, hogy a megfigyelő visszaállítja az órát , így az óra az óramutató járásával ellentétes irányban jár. A fizikai idő előrehalad.

Matematikailag a Lorentz-csoport a transzformációk halmaza, amely megőrzi a bilineáris formát

(ct_{1},x_{1},y_{1},z_{1})\cdot (ct_{2},x_{2},y_{2},z_{2})=-c ^{2}t_{1}t_{2}+x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2},

amelyben a bal oldal a téridő két eseményének Minkowski pontszorzata , a jobb oldal pedig a téridő intervallum , matematikai részletekért lásd a "Klasszikus csoport"

Lorentz transzformációk

A speciális relativitáselmélet téridejében , az úgynevezett Minkowski -térben a tér és az idő összefonódik. Ekkor a téridő pontjainak négy koordinátája, amelyeket eseményeknek nevezünk , váratlan módon (a speciális relativitáselmélet megjelenése előtt) megváltozik, aminek két azonnali következménye az idő dilatációja és hosszösszehúzódása. A négydimenziós Lorentz-transzformációs mátrixok alkotják a Lorentz-csoportot . Elemei szimmetriákat reprezentálnak, és a fizikai objektumokhoz hasonlóan forgatási mátrixok segítségével forgathatók, a fizikai objektumok (amelyek koordinátái ma már az időkoordinátát is tartalmazzák) Lorentz- transzformációkat reprezentáló mátrixokkal transzformálhatók. Konkrétan a Lorentz-referenciarendszerben az eseményt reprezentáló 4-vektor a következőképpen alakul át

x'={\begin{bmatrix}x'^{0}\\x'^{1}\\x'^{2}\\x'^{3}\end{bmatrix}}={ \begin{bmatrix}\lambda _{00}&\lambda _{01}&\lambda _{02}&\lambda _{03}\\\lambda _{10}&\lambda _{11}&\lambda _{12}&\lambda _{13}\\\lambda _{20}&\lambda _{21}&\lambda _{22}&\lambda _{23}\\\lambda _{30}&\ lambda _{31}&\lambda _{32}&\lambda _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x^{0}\\x^{1}\\x^{2} \\x^{3}\end{bmatrix}},

vagy rövid formában

x'=\Lambda x.

Szorzótábla és ábrázolások

Minden véges csoport fő jellemzője a szorzótábla , más néven Cayley-tábla , amelyben két elem szorzásának eredményeit rögzítik. A csoportreprezentációt úgy tekinthetjük, mint egy új elemhalmazt, véges és végtelen dimenziós mátrixokat, amelyek ugyanazt a szorzattáblázatot adják, miután a régi elemeket egy az egyhez leképeztük újakra [nb 5] . Ugyanez igaz a végtelen csoportok esetében is, mint például a Lorentz-csoport SO(3) rotációs csoportja. A szorzótábla megszámlálhatatlan méretű csoport (a valós számok halmazának nagysága) esetén nehezebben vizualizálható . Ennek egyik módja az, hogy a ρ sorszámú csoport elemeit teljesen rendezzük . A "végtelen Cayley tablót" ezután két rendszámmal indexeli , Cantor normál alakban írva . $0\leqslant \alpha ,\beta \leqslant \rho$

A szokásos mátrix Lorentz transzformáció nem elég

Az átalakítható objektumok eltérhetnek a közönséges fizikai objektumoktól, három térbeli dimenzióban (és időben, ha a vonatkoztatási rendszer nem nyugalmi helyzetben vannak). Ezekhez az objektumokhoz reprezentációs elméletre van szükség a téridő szokásos Lorentz-transzformációi által előidézett transzformációk matematikai leírásához. Például az elektromágneses teret gyakran (naivan) úgy ábrázolják, hogy a téridő minden pontjához hozzárendelnek egy háromdimenziós vektort, amely az elektromos teret reprezentálja , és egy másik háromdimenziós vektort, amely a mágneses teret reprezentálja .

Ahogy a tér forog, a klasszikusan elvárt dolgok történnek. Az elektromos és mágneses mező vektorai a kijelölt pontban azonos hosszúsággal és a vektorok közötti szöggel forognak.

A Lorentz-növelésekkel eltérően viselkednek, ami azt mutatja, hogy ez a két vektor nem különálló fizikai objektum. Az elektromos és a mágneses komponensek keverednek. Lásd a képet a jobb oldalon. Az elektromágneses tér tenzora az elektromágneses tér explicit kovariáns matematikai szerkezetét mutatja . Hat független összetevője van az [nb 6] eseményben .

Véges dimenziós ábrázolás mátrixokkal

A Lorentz-csoport ábrázolásának feladata véges dimenziós esetben egy új, nem feltétlenül 4 × 4 méretű mátrixhalmaz megtalálása , amely ugyanazt a szorzótáblát elégíti ki, mint az eredeti Lorentz-csoport mátrixai. Visszatérve az elektromágneses mező példájára, 6 × 6 mátrixra van szükségünk, amelyek az elektromágneses tér mind a hat komponensét tartalmazó hatdimenziós vektorokra alkalmazhatók. Így 6 × 6 mátrixot keresünk úgy, hogy

F'={\begin{bmatrix}E'^{1}\\E'^{2}\\E'^{3}\\B'^{1}\\B'^{2} \\B'^{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Pi (\Lambda )_{00}&\Pi (\Lambda )_{01}&\Pi (\Lambda )_ {02}&\Pi (\Lambda )_{03}&\Pi (\Lambda )_{04}&\Pi (\Lambda )_{05}\\\Pi (\Lambda )_{10}&\ Pi (\Lambda )_{11}&\Pi (\Lambda )_{12}&\Pi (\Lambda )_{13}&\Pi (\Lambda )_{14}&\Pi (\Lambda )_ {15}\\\Pi (\Lambda )_{20}&\Pi (\Lambda )_{21}&\Pi (\Lambda )_{22}&\Pi (\Lambda )_{23}&\ Pi (\Lambda )_{24}&\Pi (\Lambda )_{25}\\\Pi (\Lambda )_{30}&\Pi (\Lambda )_{31}&\Pi (\Lambda ) _{32}&\Pi (\Lambda )_{33}&\Pi (\Lambda )_{34}&\Pi (\Lambda )_{35}\\\Pi (\Lambda )_{40}& \Pi (\Lambda )_{41}&\Pi (\Lambda )_{42}&\Pi (\Lambda )_{43}&\Pi (\Lambda )_{44}&\Pi (\Lambda ) _{45}\\\Pi (\Lambda )_{50}&\Pi (\Lambda )_{51}&\Pi (\Lambda )_{52}&\Pi (\Lambda )_{53}& \Pi (\Lambda )_{54}&\Pi (\Lambda )_{55}\end{bmatrix)){\begin{bmatrix}E^{1}\\E^{2}\\E^{ 3}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{bmátrix}},

vagy rövid formában

F'=\Pi (\Lambda )F,

helyesen fejezzük ki az elektromágneses tér átalakulását a Lorentz-transzformáció Λ alatt [nb 7] Ugyanez az érvelés alkalmazható a Dirac bispinorokra is. Mivel 4 -komponensűek, a Lorentz-csoport eredeti 4×4 -es mátrixai használhatatlanok, még ha csak forgatásokra korlátozódnak is. Egy másik 4×4 -es ábrázolásra van szükség .

A véges dimenziós ábrázolásokról szóló rész célja az összes ilyen ábrázolás bemutatása véges dimenziós mátrixokkal a szorzótábla szabályait követve.

Végtelen dimenziós ábrázolások függvények vektortereire vonatkozó műveletekkel

A végtelen dimenziós reprezentációk általában úgy valósulnak meg, hogy egy X halmaz valós vagy összetett függvényeinek halmazára hatnak , összhangban egy csoportművelettel . "A halmaz összhangban van egy csoportos akcióval" A lényegében azt jelenti, hogy ha és , akkor -val . Ha az X összes komplex függvényének halmazát jelenti , amely egy vektortér , akkor a G csoport Π reprezentációja Rosman [4] szerint definiálható : $x\X-ben$ $g\in G$ $A(g)x=y$ $y\in X$ $\mathbb {C} ^{X}$

(\Pi (g))f(x)=f(A(g^{-1})x),\quad f\in \mathbb {C} ^{X},g\in G,x \in X.

Ezt ismét hangsúlyozni kell

(\Pi (g))f\in \mathbb {C} ^{X}.

a G csoport reprezentációja . G ezen ábrázolása akkor és csak akkor véges dimenziós, ha X véges halmaz. Ez a módszer nagyon általános, és gyakori, hogy az adott halmazokon speciálisabb függvények vektortereit használják. Ennek az eljárásnak a szemléltetésére tekintsük az n - dimenziós mátrixok G csoportját az euklideszi tér és a polinomok terének részhalmazának, azonos maximális d fokú vagy akár homogén d fokú polinomoknak, amelyeket a -n definiálunk . Ezek a polinomok (mint függvények) a -ra korlátozódnak . A készlet automatikusan beszerezhető csoportos akciókkal, nevezetesen $\mathbb {R} ^{n^{2}}$ $\mathbb {R} ^{n^{2}}$ $G\subset \mathbb {R} ^{n^{2}}$ $X=G$

L_{g}h=gh,R_{g}h=hg,C_{g}h=ghg^{-1},g,h\in G.

Itt bal oldali cselekvést ( g -vel ) , jobbos cselekvést ( g -vel ) és ragozást ( g -vel ) jelent . Ezen műveletek alatt a ható vektorok függvények. Az eredményül kapott reprezentációk (ha a függvények korlátlanok) az első és a második esetben rendre a G csoport bal reguláris reprezentációja és jobb oldali reguláris reprezentációja a [4] -en lévő G csoportnak . $L_{g}$ ${\displaystyle R_{g))$ $C_{g}$ $\mathbb {C} ^{G}.$

A reprezentációelmélet célja a végtelen dimenziós esetben az összes lehetséges reprezentáció osztályozása, és a függvények vektorterei és a függvényargumentumok standard reprezentációinak műveletei szerinti kifejezése.

A végtelen dimenziós ábrázolások végtelen dimenziós mátrixokként

A végtelen dimenziós terekre vonatkozó reprezentációk véges dimenziós esetekkel való összefüggésbe hozásához a függvények vektorterének rendezett bázisát választjuk, és megvizsgáljuk a bázisfüggvényeken végrehajtott cselekvéseket adott transzformációk mellett. A transzformáció során a bázisfüggvények képe kiírásra kerül, a bázisfüggvények lineáris kombinációjaként kifejezve. Konkrétan, ha f 1 , f 2 , ... bázis, akkor számítsuk ki

{\begin{aligned}\Pi (\Lambda )f_{1}&=\lambda _{11}f_{1}+\lambda _{21}f_{2}+\cdots ,\\\Pi (\Lambda )f_{2}&=\lambda _{12}f_{1}+\lambda _{22}f_{2}+\cdots ,\\&\,\,\,\vdots \end{igazított }}

A bázisfüggvények együtthatói a kifejezésben a bázisfüggvény minden egyes transzformációjához egy oszlop a reprezentációs mátrixban. A kapott mátrix általában megszámlálhatóan végtelen dimenziójú [nb 8] .

\Pi (\Lambda )={\begin{bmatrix}\lambda _{11}&\lambda _{12}&\cdots \\\lambda _{21}&\lambda _{22}&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}

Ismét szükséges, hogy az így kapott végtelen mátrixok halmaza egy az egyhez megfeleljen az eredeti 4 × 4-es mátrixokkal , és a szorzótábla megfeleljen a 4 × 4 -es mátrixok szorzótáblájának. [nb 9] Hangsúlyozni kell, hogy a végtelen dimenziós esetben az embert ritkán érdekli a teljes mátrix. Itt csak a közös vonások kiemelése érdekében jelennek meg. De az egyes mátrixelemeket gyakran számítják ki, különösen a Lie algebrák esetében (lent).

Lie algebra

A Lorentz-csoport egy Lie-csoport , és mint ilyen, van egy Lie-algebra . A Lie-algebra olyan mátrixok vektortere, amelyek az identitáselem közelében lévő csoport modelljének tekinthetők. Az algebra a szorzás műveletével, a Lie zárójellel van felruházva . Ezzel a művelettel az identitáselem közelében lévő csoportban lévő szorzat kifejezhető Lie algebrákkal (de nem túl egyszerűen). A (mátrix) Lie algebra és a (mátrix) Lie csoport közötti kapcsolat a mátrix kitevője . Ez a kapcsolat egy az egyhez közel a csoport azonos eleméhez.

Ennek következtében gyakran elegendő megtalálni a Lie algebra reprezentációit . A Lie-algebrák sokkal egyszerűbb objektumok, amelyekkel dolgozni, mint a Lie-csoportok. Tekintettel arra, hogy a Lie algebra véges dimenziós vektortér, a Lorentzi-féle Lie algebra dimenziója 6 , és csak véges számú reprezentáló mátrixot kell találni a Lie algebrának, minden bázishoz egyet. a Lie algebra eleme mint vektortér. A többi a linearitásból következik, és a csoport reprezentációját hatványozással kapjuk meg.

A Lie algebra egyik lehetséges alapja a szabványos ábrázolásban megtalálható a Lie - algebra konvenciói és alapjai című részben .

Alkalmazások

A véges és a végtelen dimenziós ábrázolások közül sok fontos az elméleti fizikában. Ábrázolások merülnek fel a mezők leírásában a klasszikus térelméletben , és ami a legfontosabb, az elektromágneses tér és a részecskék elméletében a relativisztikus kvantummechanikában , valamint a részecskék és kvantumterek a kvantumtérelméletben és a különféle objektumok a húrelméletben . A reprezentációs elmélet elméleti alapot is ad a spin fogalmához . Az ábrázoláselmélet abban az értelemben is benne van az általános relativitáselméletben , hogy a téridő kellően kis tartományaiban a fizika a speciális relativitáselmélet reprezentációja [5] .

A véges dimenziós irreducibilis nem-egységes reprezentációk az inhomogén Lorentz-csoport, a Poincaré-csoport irreducibilis végtelen dimenziós unitárius reprezentációival együtt olyan reprezentációk, amelyek közvetlen fizikai jelentőséggel bírnak [6] [7] .

A Lorentz-csoport végtelen dimenziós egységes reprezentációi a Poincaré-csoport irreducibilis, végtelen dimenziós unitárius reprezentációinak korlátozása alatt jelennek meg, amelyek a Hilbert-terekre, a relativisztikus kvantummechanikára és a kvantumtérelméletre hatnak . De matematikailag is érdekesek és potenciálisan közvetlen fizikai jelentőséggel bírnak más szerepben, mint megszorítások [8] . Voltak spekulatív elméletek [9] [10] (a tenzoroknak és spinoroknak végtelen megfelelőik vannak a Dirac kiterjesztőkben és a Harish -Chandra expinorokban ), amelyek összhangban állnak a relativisztikus és kvantummechanikával, de nem találtak bizonyított fizikai alkalmazást. A modern spekulatív elméletek potenciálisan ugyanazokat az összetevőket tartalmazzák.

Matematika

A matematika szemszögéből nézve, melynek célja az osztályozás és leírás, akkor a Lorentz-csoport reprezentációelmélete 1947-től egy fejezetet jelent. De a Bargman-Wigner programmal kapcsolatban vannak (2006-ra) megoldatlan, tisztán matematikai problémák, amelyek a végtelen dimenziós unitárius ábrázolásokhoz kapcsolódnak.

Az irreducibilis végtelen dimenziós egységes reprezentációk közvetett relevanciával bírhatnak a fizikai valóságra a modern spekulatív elméletekben, mivel az (általánosított) Lorentz -csoport a térszerű vektorok Poincaré -csoportjának kis csoportjaként jelenik meg magasabb dimenziós téridőben. Az (általánosított) Poincare-csoport megfelelő végtelen dimenziós unitárius reprezentációi az úgynevezett tachion reprezentációk . A tachionok a bozonikus húrok spektrumában jelennek meg, és a vákuum instabilitásával járnak [11] [12] . Bár a tachionok a természetben nem valósíthatók meg, ezeket a reprezentációkat matematikailag el kell fogadni a húrelmélet megértéséhez. Ennek az az oka, hogy a tachion állapotok jelennek meg a szuperhúr-elméletekben , és megpróbálnak reális modelleket létrehozni [13] .

Nyitott probléma (2006-tól) a Bargman-Wigner program befejezése a dS D - 2 Sitter téridő SO( D - 2, 1) izometria csoportjára . Ideális esetben a hullámfüggvény fizikai komponensei megvalósíthatók egy μ > 0 sugarú hiperboloidon , és egy végtelen dimenziós egységes ábrázolás kovariáns hullámának megfelelő O ( D − 2, 1) egyenletén . ismertek [12] . $\mathbb {R} ^{D-2,1}$

A matematikusok a Lorentz-csoportot általában a Möbius-csoportnak tekintik , amellyel izomorf. Egy csoport a Riemann-szférán definiált függvénykészlettel ábrázolható . Ezek a Riemann-féle P-szimbólumok , amelyek hipergeometrikus függvényekként vannak kifejezve .

Klasszikus térelmélet

Bár az elektromágneses tér a gravitációs térrel együtt az egyetlen olyan klasszikus mező, amely a természet pontos leírását bizonyítja, más típusú klasszikus mezők is fontosak. A második kvantálás segítségével leírt kvantumtérelmélet (QFT) esetében a kiindulópont egy vagy több klasszikus mező, ahol például a Dirac-egyenletet megoldó hullámfüggvényeket a ( másodlagos) kvantálást megelőző klasszikus mezőknek tekintjük. 14] . Míg a második kvantálás és a hozzá kapcsolódó Lagrange-formalizmus nem alapvető szempontja a QFT -nek [15] , valójában minden kvantumtérelmélet megközelíthető ebből a perspektívából, beleértve a standard modellt is [16] . Ezekben az esetekben a téregyenleteknek vannak klasszikus változatai, amelyek az Euler–Lagrange egyenletből következnek, és a Lagrange-ból származnak a legkisebb cselekvés elvét alkalmazva . Ezeknek a mezőegyenleteknek relativisztikusan invariánsnak kell lenniük, és megoldásaikat (amelyeket az alábbiakban relativisztikus hullámfüggvényeknek fogunk tekinteni) a Lorentz-csoport valamilyen reprezentációjával kell transzformálni.

A Lorentz-csoport cselekvése a térkonfigurációk terére ( a térkonfiguráció egy adott megoldás tér-idő története, például az elektromágneses tér az egész térben mindenkor egy térkonfiguráció) hasonlít a Hilbert-féle cselekvésre. a kvantummechanika terei, kivéve, hogy a kommutátor zárójeleit a térelmélet Poisson zárójeleire cseréljük [14] .

Relativisztikus kvantummechanika

Ebben a szakaszban a következő definíciót vezetjük be [17] : A relativisztikus hullámfüggvény egy olyan n függvény halmaza a téridőben, amelyek tetszőleges Λ Lorentz-sajáttranszformációval transzformálódnak . $\psi ^{\alpha }$

\psi '^{\alpha }(x)=D{[\Lambda ]^{\alpha }}_{\beta }\psi ^{\beta }\left(\Lambda ^{-1}x \jobb),

ahol D [Λ] az ábrázolás azonos közvetlen összegéhez ( m , n ) tartozó Λ transzformáció n -dimenziós mátrix reprezentációja , amelyet az alábbiakban mutatunk be.

Az egyrészecskés elméletek leghasznosabb relativisztikus kvantummechanikája (nincs szigorúan konzisztens elmélet) a Klein-Gordon-egyenlet [18] és a Dirac-egyenlet [19] eredeti formájában. Relativisztikusan invariánsak, és megoldásaik a Lorentz-csoport alatt Lorentzi- skalárokká ( ), illetve bispinorokká ( ) alakulnak át. Az elektromágneses tér e definíció szerint egy relativisztikus hullámfüggvény, amely [20] alatt átalakul . ${\megjelenítési stílus (m,n)=(0,0)}$ $(0,{\tfrac {1}{2}})\oplus ({\tfrac {1}{2}},0)$ $(1,0)\oplus (0,1)$

A végtelen dimenziós ábrázolások a szórásanalízisben használhatók [21] /

Kvantumtérelmélet

A kvantumtérelméletben többek között felmerül a relativisztikus invariáns követelménye, hogy az S-mátrix szükségszerűen Poincaré-invariáns legyen [22] . Ez azt jelenti, hogy van egy vagy több végtelen dimenziós reprezentációja a Fock-térben ható Lorentz-csoportnak [nb 10] . Az ilyen ábrázolás garantálásának egyik módja a rendszer Lagrange-leírásának megléte (a modern követelményekkel, lásd a hivatkozást), amely kanonikus formalizmust használ, amelyből a Lorentz-csoportgenerátorok megvalósítása származtatható [23] .

A mezőoperátorok transzformációja a Lorentz-csoport véges dimenziós reprezentációinak és a Poincare-csoport végtelen dimenziós unitárius reprezentációinak egymást kiegészítő szerepét szemlélteti, ami a matematika és a fizika mély egységét jelzi [24] . Példaként vegyük egy n - komponensű mezőoperátor definícióját [25] . A relativisztikus mezőoperátor egy olyan n függvény halmaza, amelyek értékei operátorok a téridőn, amelyeket megfelelő Poincaré-transzformációkkal (Λ, a ) transzformálunk a [26] [27] kifejezés szerint .

\Psi ^{\alpha }(x)\to \Psi '^{\alpha }(x')=U[\Lambda ,a]\Psi ^{\alpha }(x)U^{-1 }\left[\Lambda ,a\right]=D{\left[\Lambda ^{-1}\right]^{\alpha }}_{\beta }\Psi ^{\beta }(\Lambda x+ a )

Itt U [Λ, a] egy unitárius operátor, amely (Λ, a) -t reprezentálja a Hilbert-térben, amelyen Ψ van definiálva , D pedig a Lorentz-csoport n - dimenziós reprezentációja. A transzformációs szabály Whiteman második axiómája a kvantumtérelméletben.

A differenciális kényszerkonvenciókból, amelyeket a mező operátornak követnie kell egy bizonyos m tömegű és s spinű (vagy helicitás) részecske leírásához, az következik, hogy [28] [nb 11]

\Psi ^{\alpha }(x)=\sum _{\sigma }\int dp\left(a(\mathbf {p} ,\sigma )u^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{ip\cdot x}+a^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )v^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{-ip \cdot x}\jobbra),

(X1)

ahol teremtés és megsemmisítés operátorként értelmezik . A születési operátort a [28] [29] képletek szerint alakítjuk át . $a^{\dagger },a$ ${\displaystyle a^{\dagger ))$

a^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )\rightarrow a'^{\dagger }\left(\mathbf {p} ',\sigma \right)=U[\Lambda ]a ^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )U\left[\Lambda ^{-1}\right]=a^{\dagger }(\Lambda \mathbf {p} ,\rho )D^ {(s)}{\left[R(\Lambda ,\mathbf {p} )^{-1}\right]^{\rho }}_{\sigma },

és hasonlóan a megsemmisítés operátorhoz. Ebben az esetben hangsúlyozni kell, hogy a mezőoperátor a Lorentz-csoport véges dimenziós nem egységes reprezentációja szerint, míg a teremtő operátor a Poincare-csoport végtelen dimenziós unitárius reprezentációja szerint transzformálódik, amelyet a tömeg ill. a részecske spinje ( m , s ) . A kettő közötti kapcsolat a hullámfüggvények , más néven együttható függvények

u^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{ip\cdot x},\quad v^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{- ip\cdotx}

amelyek mindkét indexet hordozzák, mind a ( x , α ) Lorentz-transzformáción , mind a ( p , σ ) Poincaré-transzformáción működő indexet. Ezt nevezhetjük Lorentz-Poincaré kapcsolatnak [30] . Az összefüggés demonstrálásához alkalmazzuk a Lorentz-transzformációt az (X1) egyenlet mindkét oldalára , amely például u

{D[\Lambda ]^{\alpha ))_{\alpha '}u^{\alpha '}(\mathbf {p} ,\lambda )={D^{(s)}[R( \Lambda ,\mathbf {p} )]^{\lambda '}}_{\lambda }u^{\alpha }\left(\Lambda \mathbf {p} ,\lambda '\jobbra),

ahol D a nem egységes Lorentz-csoport Λ reprezentációja , D ( s ) pedig a Λ -hez és p - hez kapcsolódó úgynevezett R Wigner-rotáció egységes reprezentációja , amely a Poincaré-csoport reprezentációjából származik, és s a részecske spinje.

Az összes fenti képlet, beleértve a mező operátor definícióját a létrehozási és megsemmisítési operátorok szempontjából, valamint azokat a differenciálegyenleteket, amelyeket a mező operátor teljesít egy meghatározott tömegű, spin és ( m , n ) reprezentációjú részecskére, transzformálnia kell [nb 12] , és a hullámfüggvény csak elméleti konvenciókból származtatható, ha a kvantummechanika és a speciális relativitáselmélet keretei meg vannak határozva [nb 13]

Absztrakt elméletek

Azokban az elméletekben, ahol a tér-idő dimenzió nagyobb lehet, mint , az O(3; 1) csoport helyére megfelelő dimenziójú általánosított Lorentz-csoportok lépnek [nb 14] . $D=4$ $\mathrm {O} (D-1;1)$

A Lorentz-változatlanság követelménye a húrelmélet talán legdrámaibb hatását váltja ki . Lehetőség van a klasszikus relativisztikus karakterláncokkal dolgozni a Lagrange-i keretrendszerben a Nambu Goto művelettel [31] . Ez működik a relativisztikusan invariáns elméletben bármilyen dimenziójú téridőben [32] . De kiderül, hogy a nyitott és zárt bozonikus húrok elméletében (a legegyszerűbb húrelmélet) lehetetlen úgy kvantálni, ahogyan a Lorentz-csoportot az állapottérben ( Hilbert-tér ) ábrázoljuk, ha a tér dimenziója az idő nem egyenlő 26-tal [33] . A szuperhúrelmélet megfelelő eredménye ismét a Lorentz-invariancia követelményéhez vezet, de most szuperszimmetriával . Ezekben az elméletekben a Poincaré-algebrát a szuperszimmetria-algebra helyettesíti , amely egy Z 2 fokozatú Lie-algebra , amely kiterjeszti a Poincaré-algebrát. Egy ilyen algebra szerkezetét nagymértékben meghatározza a Lorentz-invariáns követelménye. Különösen a ( 0 ,egy2) vagy (egy2, 0) a (közönséges) Lorentzian Lie algebra terének reprezentációja [34] . Az egyetlen lehetséges tér-idő dimenzió az ilyen elméletekben a 10 [35] .

Véges dimenziós ábrázolások

A csoportok reprezentációs elmélete általában, és különösen a hazugságcsoportok igen gazdag terület. A teljes Lorentz-csoport sem kivétel. A Lorentz-csoportnak vannak olyan tulajdonságai, amelyek "rugalmassá" teszik, és vannak olyan tulajdonságai, amelyek "nem túl képlékenysé" teszik az ábrázoláselmélet összefüggésében. A csoport egyszerű , majd félig egyszerű is , de nem összefüggő , és egyetlen összetevője sem egyszerűen kapcsolódik . Talán a legfontosabb, hogy a Lorentz-csoport nem tömör [36] .

A véges dimenziós reprezentációknál a félegyszerűség jelenléte azt jelenti, hogy a Lorentz-csoport ugyanúgy kezelhető, mint a többi félig egyszerű csoport, egy jól kidolgozott elmélet alapján. Ezenkívül minden reprezentáció irreducibilisekből épül fel , mivel a Lie algebra a teljes redukálhatóság tulajdonságával rendelkezik [nb 15] [37] . A nem kompakt Lorentz-csoportok azonban az egyszerűen összekapcsoltság hiányával együtt nem kezelhetők minden tekintetben abban az egyszerű keretrendszerben, amely az egyszerűen összekapcsolt kompakt csoportokra vonatkozik. A nem tömörségből az következik, hogy egy összefüggő egyszerű Lie-csoport esetében nincsenek nem triviális véges dimenziós egységes reprezentációk [38] . Az egyszerű kapcsolat hiánya a [39] csoportok spinjei ábrázolásához vezet . A szétkapcsolás azt jelenti, hogy a teljes Lorentz-csoport reprezentációinál az idő- és térfordítást külön kell figyelembe venni [40] [41] .

Történelem

A Lorentz-csoport véges dimenziós reprezentációinak elméletének fejlesztése többnyire az általános elmélet stratégiáját követi. A Sophus Lie által 1873-ban kidolgozott hazugságelmélet [42] [43] [44] [45] . 1888-ban az egyszerű Lie-algebrák osztályozását lényegében Wilhelm Killing [46] [47] végezte el . 1913-ban az egyszerű Lie-algebrák reprezentációira vonatkozó maximális súlytételt bebizonyította Cartan , és ez a cikk is ugyanezt az utat követi [48] [49] . Richard Brouwer 1935–1938-ban kidolgozta a Weyl-Brauer mátrixok elméletét , leírva, hogy a Lorentzian Lie algebra spin-reprezentációi hogyan ágyazhatók be a Clifford-algebrákba [50] [51] . A Lorentz-csoport a reprezentációelméletben is különleges történelmi figyelmet kapott, lásd alább a "Végtelen dimenziós egységes ábrázolások története" című részt, a fizikában betöltött kivételes jelentősége miatt. A matematikusok Hermann Weyl [48] [52] [42] [53] [54] és Harish-Chandra [55] [10] , valamint a fizikusok, Eugene Wigner [52] [38] és Valentin Bargman [56] [57] [ 58] jelentős mértékben hozzájárult mind az általános reprezentációelmélethez, mind pedig különösen a Lorentz-csoportok elméletéhez [1] . Paul Dirac fizikus volt talán az első, aki 1928-ban mindent kifejezetten összekötött Dirac-egyenlettel [59] [60] [nb 16] .

Bevezetés a véges dimenziós ábrázolások elméletébe

A Lie algebrára alkalmazott stratégia áttekintését a "Lie algebra reprezentációk osztályozásának áttekintése" című részben találja .
A nem tömör csoportokra jellemző technikák megtalálhatók az Unitary Trick és a Lie Algebra Representationsben és a Weyl Unitary Trickben .
A Lie-algebra-reprezentációkról a Lie-csoport-reprezentációkra való átmenetet a „Projektív reprezentáció” és a „Matrix Lie-csoport-reprezentációk Lie-algebra-reprezentációkból” fejezetek mutatják be .

Lie algebra

A stratégia szerint a Lorentz-csoport Lie-algebrája , a komplexizáció irreducibilis komplex lineáris reprezentációit találtuk. Ennek megfelelő alapot három J i forgásgenerátor és három K i boost generátor ad . Ezeket kifejezetten megadja a "A Lie algebra konvenciói és alapjai" részben . ${\mathfrak {so}}(3;1)_{\mathbb {C} }$ ${\mathfrak {so}}(3;1)$ ${\mathfrak {so}}(3;1)$

A Lie algebrát összetett , és az alapot komponensekkel helyettesítjük [61]

\mathbf {A} ={\frac {\mathbf {J} +i\mathbf {K} }{2)),\quad \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {J} -i \mathbf {K} }{2}}.

A komponensek és egyenként kielégítik a Lie algebra kommutációs relációit , és ráadásul ingáznak egymással [62] , $\mathbf {A} =(A_{1},A_{2},A_{3})$ $\mathbf {B} =(B_{1},B_{2},B_{3})$ ${\mathfrak {su}}(2)$

\left[A_{i},A_{j}\right]=i\varepsilon _{ijk}A_{k},\quad \left[B_{i},B_{j}\right]=i \varepsilon _{ijk}B_{k},\quad \left[A_{i},B_{j}\right]=0,

ahol i , j , k 1, 2, 3 értékeket felvevő indexek és egy 3D Levi-Civita szimbólum . Jelölje és jelölje A és B komplex lineáris fesztávját . $\varepsilon_{ijk}$ $\mathbf {A} _{\mathbb {C} }$ $\mathbf {B} _{\mathbb {C} }$

Vannak izomorfizmusaink [63] [nb 17]

{\begin{aligned}{\mathfrak {so}}(3;1)\hookrightarrow {\mathfrak {so}}(3;1)_{\mathbb {C} }\cong \mathbf {A} _{\mathbb {C} }\oplus \mathbf {B} _{\mathbb {C} }&\cong {\mathfrak {su}}(2)_{\mathbb {C} }\oplus {\mathfrak { su}}(2)_{\mathbb {C} }\\[5pt]&\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2, \mathbb {C} )\\[5pt]&\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus i{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )= {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )_{\mathbb {C} }\hookleftarrow {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),\end{igazított}}

(A1)

hol van az algebra bonyolultsága ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {su}}(2)\cong \mathbf {A} \cong \mathbf {B} .$

Ezeknek az izomorfizmusoknak a hasznossága abból fakad, hogy az algebra összes irreducibilis reprezentációja , és így (lásd stratégia ) minden irreducibilis komplex lineáris reprezentációja ismert. A stratégia végső következtetése szerint egy algebra irreducibilis komplex lineáris reprezentációja izomorf az egyik legnagyobb súlyú reprezentációval . Ezek kifejezetten a "Komplex lineáris ábrázolások " részben vannak megadva. ${\mathfrak {su}}(2)$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).$

Egységes technika

A Lie -algebra a Lie-algebra-csoport Lie-algebrája, amely egy SU(2) × SU(2) kompakt alcsoportot tartalmaz a Lie-algebrával . Ez utóbbi egy igazi kompakt valós algebrai forma . Ekkor az unitárius technika első állításából az SU(2) × SU(2) csoport reprezentációi egytől egyig megfelelnek a csoport holomorf reprezentációinak. ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).$ ${\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).$

A tömörség miatt a Peter-Weyl tétel érvényes az SU(2) × SU(2) [64] -re, így a lefordíthatatlan karakterek ortogonalitása is használható. Az SU(2) × SU(2) csoport irreducibilis unitárius reprezentációi pontosan az SU(2) csoport irreducibilis unitárius reprezentációinak tenzorszorzatai [65].

Az egyszerű összefüggésre hivatkozva használhatjuk az unitárius technika második állítását . A következő listában szereplő objektumok egy az egyhez kapcsolatban állnak:

Holomorf csoportreprezentációk ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$
Sima SU(2) × SU(2) ábrázolások
Az algebra valós lineáris ábrázolásai ${\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)$
Az algebra összetett lineáris ábrázolásai ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

A reprezentációk tenzorszorzata a Lie algebrákban az egyik alakban jelenik meg [nb 18]

{\begin{aligned}\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X)&=\pi _{1}(X)\otimes \mathrm {Id} _{V}+\ mathrm {Id} _{U}\otimes \pi _{2}(X)&&X\in {\mathfrak {g))\\\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X,Y) &=\pi _{1}(X)\otimes \mathrm {Id} _{V}+\mathrm {Id} _{U}\otimes \pi _{2}(Y)&&(X,Y)\ itt: {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}\end{aligned}}

(A0)

ahol az Id az azonosító operátor. Itt az utolsó értelmezést feltételezzük, amely a (G6) egyenletből következik . Az algebra legnagyobb súlyát a μ értékekkel indexeljük, ha μ = 0, 1/2, 1, ... . (A legnagyobb súlyok valójában egyenlők , de a jelölés itt az algebra jelöléséhez igazodik ). Két ilyen komplex lineáris tényező tenzorszorzatai ezután az algebra irreducibilis komplex lineáris reprezentációit alkotják ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ $2\mu =0,1,2,...$ ${\mathfrak {so}}(3;1).$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).$

Végül az (A1) képletben az bal szélső , (algebrák) és a jobb szélső, [nb 19] valós alakok -lineáris reprezentációi az előző bekezdésben leírt algebra -lineáris reprezentációiból származnak . $\mathbb {R}$ ${\mathfrak {so}}(3;1)$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$ $\mathbb {C}$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

Megtekintések

Az itt vizsgált algebrák valós lineáris reprezentációi feltételezik, hogy az algebra komplex lineáris reprezentációi ismertek. Az alábbiakban az explicit megvalósításokat és a csoportábrázolásokat adjuk meg. ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {so}}(3;1)$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

Az sl(2, C) algebra ( μ , ν )-reprezentációi

Az (A1) egyenletben szereplő izomorfizmusok segítségével kapott algebra komplex lineáris ábrázolásai egy az egyben megfelelnek az algebra valós lineáris reprezentációinak [66] . Az algebra legalább valós lineáris , irreducibilis reprezentációinak halmazát ezután a pár indexeli . A valós lineáris reprezentációk komplexitásának pontosan megfelelő komplex lineáris ábrázolások indexei ( μ , 0) , míg a konjugált lineáris reprezentációk indexei (0, ν ) [66] alakúak . Minden más reprezentáció csak valós lineáris. A linearitási tulajdonságok egy algebra (A1) képletében a jobb szélső kanonikus beágyazásból következnek a komplexitásba. Az ( ν , ν ) alakú vagy valós mátrixok által adott ábrázolások (ez utóbbi nem irreducibilis). Az algebra explicit valós lineáris -reprezentációi a következők ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )_{\mathbb {C} },$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ $(\mu ,\nu )$ ${\mathfrak {su}}(2)$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ $(\mu ,\nu )\oplus (\nu ,\mu )$ $(\mu ,\nu )$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

\varphi _{\mu ,\nu }(X)=\left(\varphi _{\mu }\otimes {\overline {\varphi _{\nu ))}\right)(X)=\ varphi _{\mu }(X)\otimes \operatorname {Id} _{\nu +1}+\operatorname {Id} _{\mu +1}\otimes {\overline {\varphi _{\nu }( X))),\qquad X\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )

ahol az algebra komplex lineáris irreducibilis reprezentációi és ezek összetett konjugált reprezentációi. (A matematikai szakirodalomban általában a 0, 1, 2, … indexeket használják , de itt a törteket úgy választják meg, hogy összhangban legyenek a Lie algebra indexeivel.) Itt a pontszorzatot eredeti értelmében (A0 ) értelmezzük. ) . Ezeket az ábrázolásokat az alábbiakban kifejezetten megvalósítjuk . $\varphi _{\mu },\mu =0,{\tfrac {1}{2)),1,{\tfrac {3}{2)),\ldots$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\overline {\varphi _{\nu ))},\nu =0,{\tfrac {1}{2)),1,{\tfrac {3}{2)),\ldots$ ${\mathfrak {so}}(3,1)$

( m , n )-reprezentációk a so(3; 1) algebra

Az (A1) egyenletben jelzett izomorfizmus és az algebra komplex lineáris irreducibilis reprezentációinak ismeretén keresztül , J és K vonatkozásában feloldva, megkapjuk az algebra összes irreducibilis reprezentációját és megszorítással az algebra reprezentációit . Algebra-ábrázolások Nem sikerült értelmezni a kifejezést (SVG tartalék PNG-vel (a MathML engedélyezhető a böngésző beépülő moduljával): Érvénytelen válasz ("A matematikai bővítmény nem tud csatlakozni a Restbase-hez.") a "/mathoid/local/v1/" szerverről:: {\ Az így kapott displaystyle \mathfrak{so}(3; 1)} valós lineáris (nem komplex vagy antilineáris), mivel az algebrák nem záródnak a konjugáció során, de irreducibilisek maradnak [63] . Mivel az algebra félig egyszerű [ 63] , minden reprezentációja megszerkeszthető irreducibilis reprezentációk közvetlen összegeként . ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {so}}(3;1)_{\mathbb {C} }$ ${\mathfrak {so}}(3;1)$ ${\mathfrak {so}}(3;1)$

Ekkor a Lorentz-algebra irreducibilis véges dimenziós reprezentációit m = μ és n = ν egész számok felének rendezett párjaival osztályozzák , amelyeket hagyományosan a következőképpen írnak le.

(m,n)\equiv \pi _{(m,n)}:{\mathfrak {so}}(3;1)\to {\mathfrak {gl}}(V),

ahol V véges dimenziós vektortér. Ezeket a hasonlóságig a [nb 20] kifejezések egyedileg adják

{\begin{aligned}\pi _{(m,n)}(J_{i})&=1_{(2m+1)}\otimes J_{i}^{(n)}+J_{ i}^{(m)}\otimes 1_{(2n+1)}\\\pi _{(m,n)}(K_{i})&=i\left(1_{(2m+1)} \otimes J_{i}^{(n)}-J_{i}^{(m)}\otimes 1_{(2n+1)}\jobbra),\end{igazított}}

(A2)

ahol 1 n az n - dimenziós azonosságmátrix és

\mathbf {J} ^{(n)}=\left(J_{1}^{(n)},J_{2}^{(n)},J_{3}^{(n)} \jobb)

az algebra ( 2n + 1) -dimenziós irreducibilis reprezentációi , amelyeket spinmátrixoknak vagy szögimpulzusmátrixoknak is neveznek . Ezeket a képletek kifejezetten megadják [67] ${\mathfrak {so}}(3)\cong {\mathfrak {su}}(2)$

{\begin{aligned}\left(J_{1}^{(j)}\right)_{a'a}&={\frac {1}{2))\left({\sqrt { (ja)(j+a+1)}}\delta _{a',a+1}+{\sqrt {(j+a)(j-a+1)}}\delta _{a',a -1}\jobbra)\\\left(J_{2}^{(j)}\jobbra)_{a'a}&={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt {( ja)(j+a+1)}}\delta _{a',a+1}-{\sqrt {(j+a)(j-a+1)}}\delta _{a',a- 1}\jobbra)\\\left(J_{3}^{(j)}\jobbra)_{a'a}&=a\delta _{a',a}\end{igazított}}

ahol δ a Kronecker szimbólumot jelöli . A -val rendelkező komponensekben az ábrázolásokat a [68] egyenletek adják meg. $-m\leqslant a,a'\leqslant m$ $-n\leqslant b,b'\leqslant n$

{\begin{aligned}\left(\pi _{(m,n)}\left(J_{i}\right)\right)_{a'b',ab}&=\delta _{ b'b}\left(J_{i}^{(m)}\right)_{a'a}+\delta _{a'a}\left(J_{i}^{(n)}\jobb )_{b'b}\\\left(\pi _{(m,n)}\left(K_{i}\right)\right)_{a'b',ab}&=i\left( \delta _{a'a}\left(J_{i}^{(n)}\right)_{b'b}-\delta _{b'b}\left(J_{i}^{(m) )}\jobbra)_{a'a}\jobbra)\end{igazított}}

Általános ábrázolások Irreducibilis reprezentációk kicsikre ( m , n ) . A méret zárójelben van megadva.

	$m=0$	${\tfrac {1}{2))$	egy	${\tfrac {3}{2))$
$n=0$	Skalár (1)	Bal Weil spinor (2)	Önkettős 2-forma (3)	(négy)
${\tfrac {1}{2))$	Weil jobb oldali spinor spinorja (2)	4-vektor (4)	(6)	(nyolc)
egy	Anti -self-dual, 2-forma (3)	(6)	Nyomtalan szimmetrikus tenzor (9)	(12)
${\tfrac {3}{2))$	(négy)	(nyolc)	(12)	(16)

A (0, 0) reprezentáció egy egydimenziós triviális reprezentáció, és a relativisztikus skaláris térelméletek tartalmazzák .
A fermionikus szuperszimmetria -generátorokat a vagy reprezentációk egyike alatt transzformáljuk [69] . $(0,{\tfrac {1}{2)))$ $({\tfrac {1}{2)),0)$
Egy (tömeg nélküli vagy tömeges ) részecske négy impulzusa átalakul a (egy2, egy2) képviselete.
A nyomkövetés nélküli szimmetrikus tenzormező fizikai példája a T μν energia-impulzus tenzor nyomkövetés nélküli [nb 21] része [70] [nb 22] .

Átlón kívüli közvetlen összegek

Mivel minden olyan irreducibilis ábrázolásnál, amelyhez m ≠ n komplex számok mezején kell operálni, az [ ( m , n ) és ( n , m ) reprezentációk közvetlen összege különösen fontos a fizika számára, mivel lehetővé teszi lineáris leképezések használata valós számok felett .

$({\tfrac {1}{2)),0)\oplus (0,{\tfrac {1}{2)))$ egy bispinor ábrázolása . Lásd még a Dirac spinor és a Weyl spinorok és bispinorok alább.
$(1,{\tfrac {1}{2}})\oplus ({\tfrac {1}{2}},1)$ a Ritkaság-Schwinger mező reprezentációja .
$({\tfrac {3}{2)),0)\oplus (0,{\tfrac {3}{2)))$ egy hipotetikus gravitino szimmetriája lehet [nb 23] . Ezt a [71] nézetből kaphatjuk meg . $(1,{\tfrac {1}{2}})\oplus ({\tfrac {1}{2}},1)$
$(1,0)\oplus (0,1)$ a 2-alakú mező ( görbületi formaként ismert ) paritásinvariánsának reprezentációja . Az elektromágneses tér tenzorát ezzel az ábrázolással alakítjuk át.

Csoport

Ebben a részben a megközelítés tételeken alapul, amelyek viszont Lie-féle alapvető megfeleltetésen alapulnak [43] . A Lie-megfelelés valójában egy szótár az összekapcsolt Lie-csoportok és a Lie-algebrák között [72] . A kapcsolat közöttük egy exponenciális leképezés a Lie algebrából a Lie csoportba, amelyet jelöl . Az általános elméletet a Bevezetés a véges-dimenziós ábrázolások elméletébe foglalja össze . $\exp :{\mathfrak {g}}\to G$

Ha valamely V vektortér algebra egy reprezentáció, akkor a G csoport összefüggő komponensének Π reprezentációját az egyenletek határozzák meg. $\pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)$

{\begin{aligned}\Pi (g=e^{iX})&\equiv e^{i\pi (X)},&&X\in {\mathfrak {g)),\quad g=e ^{iX}\in \mathrm {im} (\exp ),\\\Pi (g=g_{1}g_{2}\cdots g_{n})&\equiv \Pi (g_{1})\ Pi (g_{2})\cdots \Pi (g_{n}),&&g\notin \mathrm {im} (\exp ),\quad g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n} \in \mathrm {im} (\exp ).\end{aligned}}

(G2)

Ez a definíció akkor is érvényes, ha a kapott reprezentáció projektív vagy sem.

Az SO(3, 1) exponenciális térképének szurjektivitása

Gyakorlati szempontból fontos tudni, hogy a (G2) első képlete használható-e a csoport összes elemére . Ez mindenre igaz , de általános esetben, például -re , nem minden g ∈ G szerepel az exp képében . $X\in {\mathfrak {g))$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

Ez azonban szürjektív. Ennek bemutatásának egyik módja egy olyan izomorfizmus, ahol a jobb oldal a Möbius csoport . Ez a csoport faktorcsoportja (lásd a cikk linkjét). A faktorleképezést jelöli . A leképezés a [73] -hoz való leképezés . Alkalmazzuk a (Lie) képletet π -vel , amely p differenciálja az azonosságon. Akkor $\exp :{\mathfrak {so}}(3;1)\to {\text{SO}}(3;1)^{+}$ ${\text{SO}}(3;1)^{+}\cong {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{GL))(n,\mathbb {C} )$ $p:{\text{GL}}(n,\mathbb {C} )\to {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )$ $\exp :{\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )\to {\text{GL}}(n,\mathbb {C} )$

\forall X\in {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} ):\quad p(\exp(iX))=\exp(i\pi (X)).

Mivel a bal oldal szürjektív (mert exp és p az), a jobb oldal szürjektív, tehát szürjektív [74] . Végül ismét használjuk az argumentumot, de most már az SO(3; 1) + és , közötti ismert izomorfizmussal, hogy megmutassuk, hogy az exp a Lorentz-csoport kapcsolt komponensének „on” leképeződése. $\exp :{\mathfrak {pgl}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )$

Alapvető csoport

A Lorentz-csoport duplán kapcsolódik , azaz egy olyan csoport, amelynek elemei két hurokekvivalencia osztály. $\pi _{1}(\mathrm {SO} (3;1))$

bizonyíték

A csoport alapcsoportjának bemutatásához figyelembe vesszük a fedőcsoport topológiáját . A poláris dekompozíciós tétel szerint bármely mátrix egyértelműen kifejezhető [75] ${\displaystyle \mathrm {SO} (3;1)^{+))$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ $\lambda \in {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

\lambda =ue^{h},

ahol u egy unitárius mátrix , amelynek determinánsa egyenlő eggyel, ezért a mátrix az SU(2) -ben található , h pedig hermitikus nulla nyomvonallal . A nyomkövetési és determináns feltételei [76 ] :

{\begin{aligned}h&={\begin{pmatrix}c&a-ib\\a+ib&-c\end{pmatrix}}&&(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{ 3}\\[4pt]u&={\begin{pmatrix}d+ie&f+ig\\-f+ig&d-ie\end{pmatrix}}&&(d,e,f,g)\in \mathbb {R } ^{4},d^{2}+e^{2}+f^{2}+g^{2}=1\end{igazított}}

Nyilvánvaló, hogy a folytonos egy-egy leképezés egy homeomorfizmus folyamatos inverz leképezéssel, amelyet a kifejezések adnak (az u helyet h-val azonosítjuk ) ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\subset \mathbb {R} ^{4))$

{\begin{cases}\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {S} ^{3}\to {\text{SL))(2,\mathbb {C} )\\( r,s)\mapsto u(s)e^{h(r)}\end{cases}}

ami egyértelműen mutatja, hogy egyszerűen össze van kötve. De hol van a csoport közepe . λ és − λ azonosítása megegyezik az u és − u unitárius tényezők azonosításával , ami viszont topológiailag ekvivalens a gömb antipodális pontjainak azonosításával [76] ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{SO}}(3;1)\cong {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\},$ ${\displaystyle \{\pm I\))$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ $\mathbb {S} ^{3}.$

{\text{SO}}(3;1)\cong \mathbb {R} ^{3}\times (\mathbb {S} ^{3}/\mathbb {Z} _{2}),

ahol az utolsó tényező egyszerűen összefügg. Geometriailag nyilvánvaló (a vizualizáció céljából helyettesíthető -vel ), hogy az u -tól − u -ig tartó út egy hurok a -ben , mivel u és − u antipodális pontok, és nem húzódik össze egy pontra. De egy út u -ból − u -ba és vissza u -ba , hurok-hoz és kettős hurok (feltételezve , hogy hol van egy fedőtérkép) -hoz , amely összehúzható egy pontig (folyamatosan mozog a − u -ból a "létrán"-ba és összehúzódik ) az u -hoz vezető út ) [76] . Ekkor π 1 (SO(3; 1)) egy olyan csoport, amelynek elemei két hurokekvivalencia osztály, vagy egyszerűbben fogalmazva: SO(3; 1) duplán kapcsolódik . ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3))$ $\mathbb {S} ^{2}$ ${\displaystyle SU(2)\cong \mathbb {S} ^{3))$ $\mathbb {S} ^{3}/\mathbb {Z} _{2}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3))$ $p(ue^{h})=p(-ue^{h})$ $p:{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SO}}(3;1)$ $\mathbb {S} ^{3}/\mathbb {Z} _{2}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3))$

Projektív ábrázolások

Mivel két eleme van, egyes Lie algebrai reprezentációk projektív reprezentációkhoz vezetnek [77] [nb 24] . Ha ismert, hogy egy reprezentáció projektív, akkor a (G2) képlet egy csoport összes elemére és minden reprezentációra alkalmazható, beleértve a projektíveket is, szem előtt tartva, hogy egy csoportelem ábrázolása attól függ, hogy a Lie algebra melyik elemétől. ( X in (G2) ) a csoportelem ábrázolására szolgál a szabványos ábrázolásban. ${\displaystyle \pi _{1}(\mathrm {SO} (3;1)^{+))$

Az ( m , n ) Lorentz-csoport esetében a -reprezentáció projektív, ha m + n fél egész szám. Lásd a Spinors részt .

Egy csoport Π projektív reprezentációja kielégíti [76] ${\displaystyle \mathrm {SO} (3;1)^{+))$

\left[\Pi (\Lambda _{1})\Pi (\Lambda _{2})\Pi ^{-1}(\Lambda _{1}\Lambda _{2})\right] ^{2}=1\Jobbra \Pi (\Lambda _{1}\Lambda _{2})=\pm \Pi (\Lambda _{1})\Pi (\Lambda _{2}),\qquad \Lambda _{1},\Lambda _{2}\in \mathrm {SO} (3;1),

(G5)

mivel bármely SO(3; 1) + -beli hurok , amely kétszer körbejár, a kettős kapcsolat miatt összehúzható egy pontra, így a homotópia osztálya egy konstans leképezés osztálya. Ebből következik, hogy a Π függvénynek két értéke van. Lehetetlen egyedi jelet választani a teljes , de esetleg lokálisan az egyes pontok körüli folyamatos reprezentációhoz [38] . ${\displaystyle \mathrm {SO} (3;1)^{+))$

SL(2, C) fedőcsoportja

Tekintsük valódi Lie algebrának bázissal ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\sigma _{1},{\frac {1}{\sqrt {2}}}\sigma _{2},{\ frac {1}{\sqrt {2}}}\sigma _{3},{\frac {i}{\sqrt {2}}}\sigma _{1},{\frac {i}{\sqrt { 2}}}\sigma _{2},{\frac {i}{\sqrt {2}}}\sigma _{3}\right)\equiv (j_{1},j_{2},j_{3 },k_{1},k_{2},k_{3}),

ahol -s Pauli-mátrixokat jelöl . Kapcsolaton kívül $\sigma$

{\displaystyle [\sigma _{i},\sigma _{j}]=2i\epsilon _{ijk}\sigma _{k))

(J1)

kapunk

[j_{i},j_{j}]=i\epsilon _{ijk}j_{k},\quad [j_{i},k_{j}]=i\epsilon _{ijk}k_{ k},\quad [k_{i},k_{j}]=-i\epsilon _{ijk}j_{k},

(J2)

amely pontosan az algebra kommutációs relációinak 3 -dimenziós változata (lásd alább a „Konvenciók és hazugság-algebra-alapok” ). Így a , leképezés linearitással kibővítve izomorfizmus. Mivel a csoport egyszerűen össze van kötve, ez a csoport univerzális lefedő csoportja [ . ${\mathfrak {so}}(3;1)$ $J_{i}\leftrightarrow j_{i}$ $K_{i}\leftrightarrow k_{i}$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3;1)^{+))$

Többet lefedő csoportok és , különösen a Lorentz csoport

{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )

Geometriai nézőpont

Legyen egy út -tól -ig , jelölje a homotópia osztályát és legyen az ilyen homotópia osztályok halmaza. Definiáljunk egy halmazt $p_{g}(t),0\leqslant t\leqslant 1$ ${\displaystyle 1\in \mathrm {SO} (3;1)^{+))$ ${\displaystyle g\in \mathrm {SO} (3;1)^{+))$ $[p_{g}]$ $\pi _{g}$

G=\{(g,[p_{g}]):g\in \mathrm {SO} (3;1)^{+},[p_{g}]\in \pi _{g} \}

(C1)

és szereljük fel a szorzóművelettel

(g_{1},[p_{1}])(g_{2},[p_{2}])=(g_{1}g_{2},[p_{12}]),

(C2)

hol van az utak és a szorzata : $p_{12}$ $p_{1}$ $p_{2}$

p_{12}(t)=(p_{1}*p_{2})(t)={\begin{cases}p_{1}(2t)&0\leqslant t\leqslant {\tfrac {1 }{2}}\\p_{2}(2t-1)&{\tfrac {1}{2}}\leqslant t\leqslant 1\end{cases}}

Ezzel a szorzással a G csoport izomorf csoporttá válik [78] , az SO(3; 1) + csoport univerzális fedőcsoportja . Mivel minden π g -nek két eleme van, a fenti konstrukció szerint van egy 2:1 fedő . csoportok lefedésének elmélete szerint a Lie algebrák és a G csoport izomorf. A p : G → SO(3; 1) + lefedő leképezést egyszerűen a képlet adja meg . ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\displaystyle p:G\to \mathrm {SO} (3;1)^{+))$ ${\mathfrak {so}}(3;1),{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ $\mathfrak{g}$ $p(g,[p_{g}])=g$

Algebrai nézőpont

Hagyja , hogy az összes Hermitiánus 2 × 2 mátrix halmazán a [76] művelettel működjön. ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {h))$

{\begin{cases}\mathbf {P} (A):{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {h}}\\X\mapto A^{\dagger }XA\end{cases }}\qquad A\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )

(C3)

Akció lineárisan. A halmaz egy eleme úgy írható fel

{\mathfrak {h))

{\mathfrak {h))

X={\begin{pmatrix}\xi _{4}+\xi _{3}&\xi _{1}+i\xi _{2}\\\xi _{1}-i\ xi _{2}&\xi _{4}-\xi _{3}\\\end{pmatrix}}\qquad \xi _{1},\ldots ,\xi _{4}\in \mathbb { R} .

(C4)

A P leképezés a csoport automorfizmusa -be . Ezután a csoport 4 dimenziós ábrázolása . A kernelének különösen magába kell vennie az identitásmátrixot, és ezért . Ekkor a rendszermagból származó A számára , tehát Schur-lemmája [nb 25] szerint, A az azonosságmátrix szorozva egy konstanssal, és A - nak egyenlőnek kell lennie ± I -vel, mert [79] . A teret az M 4 Minkowski térre képezzük le ${\text{GL}}({\mathfrak {h}})\subset {\text{End}}({\mathfrak {h}})$ $\mathbf {P} :{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{GL}}({\mathfrak {h}})$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$ $A^{\dagger }IA=A^{\dagger }A=I$ ${\displaystyle A^{\dagger }=A^{-1))$ $AX=XA$ $\mathrm {det} A=1$ ${\mathfrak {h))$

X=(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\xi _{4})\leftrightarrow {\overrightarrow {(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\xi _{4})}}=(x,y,z,t)={\overrightarrow {X}}.

(C5)

P ( A ) hatása megőrzi a determinánsokat . Egy p csoport indukált ábrázolása a fent megadott izomorfizmus segítségével, amelyet a képlet ad meg ${\mathfrak {h))$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ $\mathbb {R} ^{4},$

\mathbf {p} (A){\overrightarrow {X}}={\overrightarrow {AXA^{\tőr }}}

(C6)

megőrzi a Lorentz dot terméket, mert

-\det X=\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}+\xi _{3}^{2}-\xi _{4}^{2 }=x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}.

Ez azt jelenti, hogy p ( A ) a teljes SO(3; 1) Lorentz-csoporthoz tartozik . A kapcsolódási tétel szerint , mivel össze van kötve, a p SO(3; 1) -be való leképezés alatti képe összefügg, ezért az SO(3; 1) + tartalmazza . ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

Megmutatható, hogy a Lie térkép izomorfizmus [nb 26] . P leképezése a [nb 27] leképezése . $\mathbf {p} :{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SO}}(3;1)^{+},$ $\pi :{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\to {\mathfrak {so}}(3;1)$

Ekkor , mivel egyszerűen össze van kötve, az SO(3; 1) + csoport univerzális fedőcsoportja izomorf a fenti G csoporttal . ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

Az SL(2, C) exponenciális leképezésének nem szürjektivitása

Az exponenciális leképezés nem a [ 80] -hoz való leképezés . Mátrix $\exp :{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

q={\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\\\end{pmatrix}}

(S6)

-ben van , de nincs olyan, hogy [nb 28] . ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ $Q\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ $q=\mathrm {exp} (Q)$

Általában, ha g egy Lie-algebrával összefüggő Lie-csoport eleme, akkor a (Lie) képlet szerint , ${\mathfrak {g)),$

g=\exp(X_{1})\cdots \exp(X_{n}),\qquad X_{1},\ldots X_{n}\in {\mathfrak {g)).

(S7)

A q mátrix felírható így

{\begin{aligned}\exp(-X)\exp(i\pi H)&=\exp \left({\begin{pmatrix}0&-1\\0&0\\\end{pmatrix)) \right)\exp \left(i\pi {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}\right)\\[4pt]&={\begin{pmatrix}1&-1 \\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}\\[4pt]&={\begin{pmatrix}-1&1\\0& -1\\\end{pmatrix}}=q.\end{igazított}}

(S8)

Az SL(2, C) és sl(2, C) csoportok és Lie-algebráik reprezentációinak megvalósítása

Összetett lineáris reprezentációk , és könnyebben beszerezhetők, mint az algebrai reprezentációk . Ezeket (általában) a semmiből létrehozhatja. A csoportok holomorf reprezentációi (ami azt jelenti, hogy a Lie algebra megfelelő reprezentációja egy komplex lineáris reprezentáció) a Lie algebra komplex lineáris reprezentációjához kapcsolódnak hatványozás útján. Az algebra valós lineáris reprezentációi pontosan ( μ , ν ) -reprezentációk. Hatalomra is emelhetők. A ( μ , 0) -reprezentációk összetett lineárisak, és ezek a legnagyobb súlyú (izomorf) reprezentációk. Általában csak egy egész számmal vannak indexelve (de itt az egész szám felét használjuk). ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {so}}(3;1)^{+}$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

A kényelem kedvéért ez a rész matematikai konvenciókat használ. A Lie algebra elemei egy i-es tényezővel különböznek, és nincs i tényezőjük az exponenciális leképezésben a mindenhol érvényes fizikai konvenciókhoz képest. Legyen az alap [ 81] ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix)),\quad X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\\end{pmatrix)),\ quad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\\\end{pmatrix}}.

(S1)

A matematikai irodalomban a bázis és a jelölés megválasztása szabványos.

Komplex lineáris ábrázolások

Irreducibilis holomorf ( n + 1) -dimenziós reprezentációk valósíthatók meg n fokú homogén polinomok terén 2 változóban [82] [83] , amelyek elemei ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),n\geqslant 2,$ $\mathbf {P} _{n}^{2},$

P{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=c_{n}z_{1}^{n}+c_{n-1}z_{ 1}^{n-1}z_{2}+\cdots +c_{0}z_{2}^{n},\quad c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {Z} .

Az akciót a [84] [85] adja ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

(\phi _{n}(g)P){\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=\left[\phi _{n}{ \begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}P\jobbra]{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=P\left( {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}\jobbra) ,\qquad P\in \mathbf {P} _{n}^{2}.

(S2)

A kapcsolódó -akció a (G6) képlet és a fenti definíció alapján az algebra alapelemeire vonatkozik [86] ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

\phi _{n}(H)=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{1))}+z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_ {2))},\quad \phi _{n}(X)=-z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_{1))},\quad \phi _{n}(Y )=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{2))}.

(S5)

Ezeknek a reprezentációknak a megválasztásával mátrix Lie-algebrákká válnak. $P\in \mathbf {P} _{n}^{2}$

Valós lineáris ábrázolások

( μ , ν ) - Az ábrázolások a polinomok térén valósulnak meg -ben , homogén fokon μ változókban és homogén fokon ν a [83] -ban . Az ábrázolásokat a [87] képlet adja meg. $\mathbf {P} _{\mu ,\nu }^{2}$ $z_{1},{\overline {z_{1}}},z_{2},{\overline {z_{2}}}$ $z_{1},z_{2}$ ${\overline {z_{1}}},{\overline {z_{2}}}.$

(\phi _{\mu ,\nu }(g)P){\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=\left[\phi _ {\mu ,\nu }{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}P\jobbra]{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{ pmatrix}}=P\left({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\ end{pmatrix}}\right),\qquad P\in \mathbf {P} _{\mu ,\nu }^{2}.

(S6)

Ha ismét figyelembe vesszük a (G6) képletet , azt találjuk

\phi _{\mu ,\nu }(E)P=-{\frac {\partial P}{\partial z_{1))}\left(E_{11}z_{1}+E_{ 12}z_{2}\jobbra)-{\frac {\partial P}{\partial z_{2))}\left(E_{21}z_{1}+E_{22}z_{2}\jobbra) -{\frac {\partial P}{\partial {\overline {z_{1))))}\left({\overline {E_{11))}{\overline {z_{1))}+{\ overline {E_{12))}{\overline {z_{2))}\right)-{\frac {\partial P}{\partial {\overline {z_{2))))}\left({\ overline {E_{21}}}{\overline {z_{1}}}+{\overline {E_{22}}}{\overline {z_{2}}}\right),\qquad E\in {\ mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} ).

(S7)

Különösen az alapelemek esetében:

{\begin{aligned}\phi _{\mu ,\nu }(H)&=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{1))}+z_{2} {\frac {\partial }{\partial z_{2))}-{\overline {z_{1))}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{1))))}+ {\overline {z_{2))}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{2))))}\\\phi _{\mu ,\nu }(X)&=- z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_{1))}-{\overline {z_{2))}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{1)) ))}\\\phi _{\mu ,\nu }(Y)&=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{2))}-{\overline {z_{1} }}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{2}}}}\end{aligned}}

(S8)

Tulajdonságok megtekintése ( m , n )

Az irreducibilis komplex lineáris reprezentációk tenzorszorzatának és az algebra fenti ( A1) képlettel definiált reprezentációi ( m , n ) irreducibilisek, és az egyetlen irreducibilis reprezentáció [64] . ${\mathfrak {sl}}(3,1)$ ${\displaystyle \pi _{m=\mu ))$ ${\displaystyle \pi _{n=\nu ))$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$

Az irreducibilitás következik az unitárius trükkből [88] és abból, hogy az SU(2) × SU(2) csoport Π reprezentációi akkor és csak akkor irreducibilisek, ha [nb 29] , ahol az SU(2) csoport irreducibilis reprezentációi . ${\displaystyle \Pi =\Pi _{\mu }\otimes \Pi _{\nu ))$ ${\displaystyle \Pi _{\mu },\Pi _{\nu ))$
Az egyediség abból adódik, hogy az SU(2) csoport egyetlen irreducibilis reprezentációja , amely a maximális súlytételek halmazának egyike [89] . ${\displaystyle \Pi _{m))$

Méret

Az ( m , n ) ábrázolások ( 2 m + 1)(2 n + 1) -dimenziós [90] . Ez a legegyszerűbben az adott implementáció dimenziószámából következik, például a " Csoport- és algebra - reprezentációk" részben megadottból . Általános Lie-algebrára a [91] dimenzió Weil-képlete alkalmazható , ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ $\mathfrak{g}$

\dim \pi _{\rho }={\frac {\Pi _{\alpha \in R^{+}}\langle \alpha ,\rho +\delta \rangle }{\Pi _{\ alfa \in R^{+}}\langle \alpha ,\delta \rangle }},

ahol R + a pozitív gyökök halmaza, ρ a legnagyobb súly, δ pedig a pozitív gyökök összegének fele. A belső szorzat egy Lie algebra invariánsának belső szorzata a Weyl-csoport hatása alatt a Cartan alegbre részalgebráján . Gyökerek (a valódi elemeket ezen a skalárszorzaton keresztül az algebra elemeivel azonosítjuk. A képletet -ra redukáljuk , ahol a meglévő jelölést kell figyelembe venni . A legnagyobb mellény 2 μ [92] . $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ${\mathfrak {g)),$ ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}},$ ${\mathfrak {h}}^{*}$ ${\mathfrak {h}).$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$ $\mathrm {dim} \pi _{\mu }=2\mu +1=2m+1$

Pontosság

Ha a Lie csoport G reprezentációja Π nem pontos, akkor N = ker Π egy nem triviális normális részcsoport [93] . Három eset van.

N nem diszkrét és Abel -féle .
N nem diszkrét és nem abeli.
N diszkrét. Ebben az esetben N ⊂ Z , ahol Z a G csoport középpontja . [nb 30]

SO(3; 1) + esetén az első eset kizárt, mert az SO(3; 1) + csoport félig egyszerű [nb 31] . A második eset (és az első) kizárt, mert az SO(3; 1) + egyszerű [nb 32] . A harmadik esetben SO(3; 1) + izomorf a faktorcsoporttal . Azonban ez a központ . Ez azt jelenti, hogy az SO(3; 1) + csoport középpontja triviális, és ez kizárja a harmadik esetet. Ebből arra következtethetünk, hogy véges dimenziós vektorterek V , W bármely Π : SO(3; 1) + → GL( V ) reprezentációja és bármely Π : SO(3; 1) + → PGL( W ) reprezentáció pontos. ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\}$ ${\displaystyle \{\pm I\))$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

Az alapvető Lie-megfelelés használatakor a fenti állítások és argumentumok közvetlenül átvihetők a Lie algebrákba, az (Abeli) nem triviális, nem diszkrét normálalcsoportokat (egydimenziós) nem triviális ideálokkal helyettesítve a Lie algebrában [94] , és az SO(3; 1) + csoport középpontját az algebra középpontja helyettesíti . Bármely félig egyszerű Lie algebra középpontja triviális [95] , az algebra pedig félig egyszerű és egyszerű, ezért nincsenek nemtriviális ideáljai. ${\mathfrak {sl}}(3;1)^{+}$ ${\mathfrak {so}}(3;1)$

Ehhez kapcsolódik, hogy ha a megfelelő csoportreprezentáció egzakt, akkor a reprezentáció projektív. Ezzel szemben, ha az ábrázolás nem projektív, akkor a csoport megfelelő reprezentációja nem pontos, hanem 2:1 reprezentáció . ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

Nem egységes

A Lie algebra ( m , n ) reprezentációja nem hermitikus. Így a csoport megfelelő (projektív) reprezentációja nem egységes [nb 33] Ez a Lorentz-csoport nem tömörségének a következménye. Valójában egy összefüggő egyszerű, nem kompakt Lie-csoportnak nem lehet nem triviális egységes véges dimenziós reprezentációja [38] . Ennek van topológiai bizonyítéka [96] . Legyen , ahol V véges dimenziós, egy nem tömören összefüggő egyszerű G Lie csoport folytonos unitárius ábrázolása . Ekkor , ahol U( V ) a GL( V ) csoport kompakt alcsoportja, amely a V tér unitér transzformációiból áll . Az u magja G normál alcsoportja . _ Mivel a G csoport egyszerű, ker u vagy G teljes csoportja , amely esetben u triviális, vagy ker u triviális , amely esetben u pontos . Ez utóbbi esetben u a képére vonatkozó diffeomorfizmus [97] , u ( G ) pedig egy Lie csoport. Ez azt jelentené, hogy u ( G ) az U( V ) kompakt csoport beágyazott nem kompakt alcsoportja , ami bekapcsolt tértopológiával lehetetlen , mivel a Lie csoport összes beágyazott Lie alcsoportja zárt [98] . Ha u ( G ) zárt lenne, akkor kompakt lenne [nb 34] , majd a G csoport [nb 35] kompakt lenne , ami ellentmond a [nb 36] feltételezésnek . $u:G\to \mathrm {GL} (V)$ $u(G)\subset \mathrm {U} (V)\subset \mathrm {GL} (V)$ $u(G)\cong G$ $u(G)\subset \mathrm {U} (V)$

A Lorentz-csoport esetében ez közvetlenül látható a definícióból. A konstrukcióban használt A és B ábrázolások hermitikusak. Ez azt jelenti, hogy a J mátrix hermitikus, K pedig antihermitikus [99] . A kvantumtérelméletben nem jelent problémát az egységmentesség, mivel a megfigyelési objektumoknak nem kell Lorentz-invariáns pozitív-definit normával rendelkezniük [100] .

A SO(3) korlátozásai

Egy reprezentáció ( m , n ) azonban egységes, ha az SO(3) forgási alcsoportjára korlátozódik , de ezek az ábrázolások nem redukálhatatlanok az SO(3) csoport reprezentációiként. A Clebsch-Gordan dekompozíció segítségével kimutatható, hogy az ( m , n ) reprezentációnak vannak a legnagyobb súlyú (spin) SO(3) -invariáns alterei [101] , ahol minden lehetséges legnagyobb súly (spin) pontosan egyszer fordul elő. A legnagyobb súlyú (spin) j súlyozott altere (2 j + 1) -dimenziós. Például, ( ${\displaystyle m+n,m+n-1,\dots ,abs{mn))$ egy2, egy2) az ábrázolásnak 3-as, illetve 1-es dimenziójú 1 és 0 spinű alterei vannak.

Mivel a szögimpulzus operátort a -val adjuk meg, a forgási részreprezentáció kvantummechanikájának legnagyobb spinje egyenlő lesz, és a "szokásos" impulzus-összeadás szabálya és a 3j-szimbólumok , 6j-szimbólumok stb . formalizmusa érvényesül. [102] . $\mathbf {J} =\mathbf {A} +\mathbf {B}$ ${\megjelenítési stílus (m+n)\hbar }$

Spinors

Az SO(3) -irreducibilis reprezentációk invariáns terei határozzák meg, hogy egy reprezentációnak van-e spinje. Az előző bekezdésből látható, hogy az ( m , n ) ábrázolásnak van spinje, ha m + n fél egész szám. A legegyszerűbbek a és , 2 -es dimenziójú Weyl spinorok . Ekkor például a és a dimenziók reprezentációinak összege , ill. Megjegyzendő, hogy az előző bekezdés szerint az utolsó két esetben is vannak spinekkel rendelkező alterek , ezért úgy tűnik, hogy ezek a reprezentációk nem olyan egyedi fizikai részecskéket reprezentálnak, amelyeknek jól kellene viselkedniük SO(3) esetén . Általánosságban azonban nem zárható ki, hogy a többszörös SO(3) részreprezentációkkal, különböző spinekkel rendelkező reprezentációk jól definiált spinű fizikai részecskéket reprezentálhatnak. Létezhet egy megfelelő relativisztikus hullámegyenlet, amely a nem fizikai komponensekre vetül , és csak egy spin marad [103] . $({\tfrac {1}{2)),0)$ $(0,{\tfrac {1}{2)))$ $(0,{\tfrac {3}{2)))$ $(1,{\tfrac {1}{2)))$ $2{\tfrac {3}{2}}+1=4$ $(2+1)(2{\tfrac {1}{2}}+1)=6$ ${\tfrac {3}{2))$ ${\tfrac {1}{2))$

A tiszta spin -reprezentációk felépítése bármely n -re ( SO(3) esetén ) irreducibilis reprezentációkból magában foglalja a Dirac-reprezentáció tenzorszorzatának kiszámítását nem-spinor-reprezentációval, megfelelő tér lefoglalását, és végül differenciális kényszerek előírását [104]. ${\tfrac {n}{2))$

Kettős ábrázolás

A következő tételeket használjuk annak tesztelésére , hogy egy irreducibilis reprezentáció kettős reprezentációja izomorf -e az eredeti reprezentációval:

Egy félig egyszerű Lie algebra irreducibilis ábrázolásának [en] kettős reprezentációjának súlykészlete multiplicitásokkal együtt az eredeti reprezentáció súlykészletének negatív értékei [105] .
Két irreducibilis reprezentáció akkor és csak akkor izomorf, ha maximális súlyuk . [nb 37]
Bármely félig egyszerű Lie-algebrához létezik egy w 0 egyedi elem a Weyl-csoportban , így ha μ a domináns össztömeg, akkor w 0 ⋅ (− μ ) ismét a domináns összsúly [106]
Ha az irreducibilis reprezentáció a legnagyobb súllyal , akkor ennek van a legnagyobb súlya [106] . $\pi _{\mu _{0))$ $\mu_{0}$ $\pi _{\mu _{0}}^{*}$ $w_{0}\cdot (-\mu )$

Itt a Weyl-csoport elemeit ortogonális transzformációkként kezeljük, amelyek mátrixszorzással hatnak a gyökök valós vektorterére . Ha − I egy félig egyszerű Lie algebra Weil-csoportjának eleme , akkor . Az algebra esetében a Weyl-csoport [107] . Ebből következik, hogy mindegyik izomorf a duálisával. Az algebrai gyökérrendszer a jobb oldali ábrán látható [nb 38] . A Weyl-csoportot az elemek generálják , ahol a γ -ra merőleges reflexió a síkban, amikor γ minden gyökön keresztül fut [nb 39] . A tanulmány azt mutatja , hogy tehát . Felhasználva azt a tényt, hogy ha a Lie algebra reprezentációi és , akkor [108] , azt kapjuk, hogy $w_{0}=-I$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$ $W=\{I,-I\}$ $\pi _{\mu },\mu =0,1,\pontok$ $\pi _{\mu }^{*}.$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ $\{w_{\gamma }}\}$ ${\displaystyle w_{\gamma ))$ $w_{\alpha }\cdot w_{\beta }=-I$ $-I\in W$ $\pi ,\sigma$ $\pi \cong \sigma$ $\Pi \cong \Sigma$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3;1)^{+))$

\pi _{m,n}^{*}\cong \pi _{m,n},\quad \Pi _{m,n}^{*}\cong \Pi _{m,n} ,\quad 2m,2n\in \mathbf {N} .

Komplex konjugált reprezentációk

Ha π egy Lie algebra reprezentáció, akkor ez egy reprezentáció, ahol az overbar elemenkénti komplex konjugációt jelent a reprezentációs mátrixokban. Ez abból következik, hogy a komplex konjugáció összeadással és szorzással ingázik [109] . Általános esetben az algebra tetszőleges irreducibilis π reprezentációja egyedileg írható fel alakban , ahol [110] ${\overline {\pi ))$ ${\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )$ $\pi =\pi ^{+}+\pi ^{-}$

\pi ^{\pm }(X)={\frac {1}{2}}\left(\pi (X)\pm i\pi \left(i^{-1}X\right) \jobb),

holomorf (komplex lineáris) és antiholomorf ( konjugált lineáris). Mert mivel az ábrázolás holomorf, az ábrázolás antiholomorf . Az alábbi (S8) egyenlet explicit kifejezéseinek közvetlen vizsgálata azt mutatja, hogy holomorf, illetve antiholomorf . Az (S8) kifejezés alaposabb vizsgálata azt is lehetővé teszi , hogy azonosuljunk vele $\pi^+$ $\pi^-$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\displaystyle \pi _{\mu ))$ ${\displaystyle {\overline {\pi _{\mu ))))$ ${\displaystyle \pi _{\mu ,0))$ ${\displaystyle \pi _{0,\nu ))$ $\pi^+$ $\pi^-$ ${\displaystyle \pi _{\mu ,\nu ))$

\pi _{\mu ,\nu }^{+}=\pi _{\mu }^{\oplus _{\nu +1)),\qquad \pi _{\mu ,\nu } ^{-}={\overline {\pi _{\nu }^{\oplus _{\mu +1)))).

A fenti azonosságok felhasználásával (amelyeket a függvények pontszerű összeadásának tekintünk) SO(3; 1) + esetén kapjuk

{\begin{aligned}{\overline {\pi _{m,n))}&={\overline {\pi _{m,n}^{+}+\pi _{m,n} ^{-}}}={\overline {\pi _{m}^{\oplus _{2n+1))))+{\overline {{\overline {\pi _{n}}}^{\ oplus _{2m+1))))=\pi _{n}^{\oplus _{2m+1))+{\overline {\pi _{m))}^{\oplus _{2n+1 }}=\pi _{n,m}^{+}+\pi _{n,m}^{-}=\pi _{n,m}\\&&&&2m,2n\in \mathbb {N} \ \{\overline {\Pi _{m,n}}}&=\Pi _{n,m}\end{aligned}}

ahol a csoportreprezentációkra vonatkozó utasítás az exp( X ) = exp( X ) -ből következik . Ez azt jelenti, hogy az irreducibilis reprezentációknak ( m , n ) akkor és csak akkor vannak képviselői valós mátrixok formájában . Az alak redukálható reprezentációinak is vannak valós mátrixai. $m=n$ ${\megjelenítési stílus (m,n)\oplus (n,m)}$

Adjunkt ábrázolás, Clifford algebra és Dirac spinor reprezentáció

Az általános reprezentációelméletben, ha ( π , V ) egy Lie algebra reprezentáció , akkor az algebrának a ( V ) végén van egy társított reprezentációja , amelyet szintén π - vel jelölünk , és ezt adjuk meg $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$

\pi (X)(A)=[\pi (X),A],\qquad A\in \operatorname {End} (V),\ X\in {\mathfrak {g)).

(I1)

Hasonlóképpen a G csoport reprezentációja ( Π, V ) a G csoport Π ( V ) végén [111] lévő reprezentációját adja , amelyet szintén Π - vel jelölünk , amelyet a [112] képlet ad meg.

\Pi (g)(A)=\Pi (g)A\Pi (g)^{-1},\qquad A\in \operatorname {End} (V),\ g\in G.

(I2)

Ha π és Π a standard reprezentációk az algebrán, és ha a cselekvés korlátozva van az algebrán, akkor a fenti két reprezentáció a Lie algebra és a csoport adjungált reprezentációja . A megfelelő reprezentációk ( vagy ) mindig léteznek bármely mátrix Lie-csoportra, és ezek a legfontosabbak a reprezentációelmélet tanulmányozása szempontjából általában, illetve minden adott Lie-csoport esetében. $\R^4$ ${\mathfrak {so}}(3,1)\subset {\text{End}}(\mathbb {R} ^{4}),$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n}$

Ha ezt a Lorentz-csoportra alkalmazzuk, amikor (Π, V ) projektív reprezentáció, akkor a (G5) képlet felhasználásával végzett közvetlen számítások azt mutatják, hogy az End( V ) indukált reprezentációja sajátreprezentáció, azaz. fázistényezők nélküli ábrázolás.

A kvantummechanikában ez azt jelenti, hogy ha ( π , H ) vagy (Π, H ) valamely H Hilbert térre ható reprezentáció , akkor a megfelelő indukált reprezentációk a H -n lévő lineáris operátorok halmazára hatnak . Példaként a projektív spin reprezentáció indukált reprezentációja az End( H ) ponton egy nem projektív 4-vektor ( $({\tfrac {1}{2)),0)\oplus (0,{\tfrac {1}{2)))$ egy2, egy2) reprezentáció [113] .

Az egyszerűség kedvéért az algebra End( H ) „diszkrét részét” vesszük figyelembe , vagyis ha adott H bázis , akkor különböző dimenziójú konstans mátrixok halmazát, beleértve a lehetséges végtelen dimenziókat is. A fenti indukált 4-vektoros ábrázolás ezen az egyszerűsített Végen( H ) egy invariáns 4-dimenziós alteret tartalmaz, amelyet négy gamma-mátrix fed le [114] . (A metrikus konvenciók eltérnek a hivatkozott cikkben.) Ennek megfelelően a teljes Clifford tér-idő algebra , amelynek komplexitását gammamátrixok generálják, a skaláris irreducibilis reprezentációk reprezentációs tereinek közvetlen összegére bomlik , (0, 0) , pszeudoszkaláris irreducibilis reprezentációk, szintén (0, 0) , de a -1 paritás sajátértékének reciprokával , lásd a következő részt alább, a már említett vektor irreducibilis reprezentációkat , a pszeudovektor irreducibilis reprezentációkat a paritás +1 (nem -1) reciprok sajátértékével. , és a tenzor irreducibilis reprezentációk [115] . A méretek összeadják az 1 + 1 + 4 + 4 + 6 = 16 értéket . Más szavakkal, ${\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} ),$ ${\text{M}}(4,\mathbb {C} ),$ $({\tfrac {1}{2)),{\tfrac {1}{2)))$ $({\tfrac {1}{2)),{\tfrac {1}{2)))$ $(1,0)\oplus (0,1)$

{\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )=(0,0)\oplus \left({\frac {1}{2)),{\frac {1 }{2}}\right)\oplus [(1,0)\oplus (0,1)]\oplus \left({\frac {1}{2)),{\frac {1}{2)) \jobbra)_{p}\oplus (0,0)_{p}.

(I3)

Spin ábrázolás

({\tfrac {1}{2)),0)\oplus (0,{\tfrac {1}{2)))

A tenzor hatdimenziós reprezentációs tere - a benne lévő reprezentáció két szerepet tölt be. Első [116] $(1,0)\oplus (0,1)$ ${\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )$

\sigma ^{\mu \nu }=-{\frac {i}{4}}\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\jobbra],

(I4)

hol vannak a gamma-mátrixok. Az ábrázolási teret szigmák fedik át, amelyek közül csak 6 nem nulla a zárójel antiszimmetriája miatt. Ezenkívül rendelkeznek a Lorentzi Lie algebra [114] kommutációs relációival , $\gamma ^{0},\ldots ,\gamma ^{3}\in {\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )$

\left[\sigma ^{\mu \nu },\sigma ^{\rho \tau }\right]=i\left(\eta ^{\tau \mu }\sigma ^{\rho \nu }+\eta ^{\nu \tau }\sigma ^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }\sigma ^{\tau \nu }-\eta ^{\nu \rho }\ sigma ^{\mu \tau }\right),

(I5)

és így alkotják a belső reprezentációt , a spinor reprezentációt. A részletekért lásd a " Bispinor " és a "Dirac's Algebra" című dokumentumokat . ${\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )$ $({\tfrac {1}{2)),0)\oplus (0,{\tfrac {1}{2)))$

Következtetés: minden End( H ) -ben komplexált elem (vagyis bármely komplex 4 × 4 mátrix ) rendelkezik a Lorentz-transzformáció jól meghatározott tulajdonságaival. Ezen túlmenően ez az elem rendelkezik a Lorentzi-Lie-algebra spinor-reprezentációjával, amely hatványozva a -ra ható csoport spinorábrázolásává válik , és bispinorok terévé változtatja. ${\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )$ $\mathbb {C} ^{4}$

Csökkenthető ábrázolások

Sok más reprezentáció is származtatható az irreducibilisekből, ha direkt összegeket, tenzorszorzatokat és irreducibilis reprezentációk faktorcsoportjait veszünk. A reprezentációk megszerzésének egyéb módszerei közé tartozik például egy Lorentz-csoportot és egy Poincaré -csoportot tartalmazó nagyobb csoport reprezentációjának korlátozása . Az ilyen ábrázolások általában nem redukálhatatlanok. ${\text{GL))(n,\mathbb {R} )$

A Lorentz-csoport és a Lie-algebra rendelkezik a teljes redukálhatósági tulajdonsággal . Ez azt jelenti, hogy bármely reprezentáció az irreducibilis reprezentációk közvetlen összegére redukálódik. A bemutatott ábrázolásokat ezért itt nem tárgyaljuk.

Térinverzió és időfordítás

Az (esetleg projektív) reprezentáció ( m , n ) irreducibilis, mint az SO(3; 1) + csoport reprezentációja, a Lorentz-csoport identitáskomponense, fizikai terminológiában a megfelelő ortokrón Lorentz- csoport. Ha m = n , a reprezentáció kiterjeszthető az összes O(3; 1) , teljes Lorentz-csoport reprezentálására, beleértve a paritás inverziót és az időfordítást . A nézetek hasonlóképpen bővíthetők [117] . ${\megjelenítési stílus (m,n)\oplus (n,m)}$

A tér paritásának megfordítása

A térparitás inverzióhoz az Ad P P ∈ SO(3; 1) adjunkt akciót vesszük figyelembe , ahol P a térparitás inverzió standard reprezentatívja, P = diag(1, −1, −1, −1) , adott kifejezés által ${\mathfrak {so}}(3;1)$

\mathrm {Ad} _{P}(J_{i})=PJ_{i}P^{-1}=J_{i},\qquad \mathrm {Ad} _{P}(K_{i })=PK_{i}P^{-1}=-K_{i}.

(F1)

K és J P alatti tulajdonságai magyarázzák a vektor K - re és a pszeudovektor vagy axiális vektor kifejezéseket J -re . Hasonlóképpen, ha π bármely algebrai reprezentáció , és Π a hozzá tartozó csoportreprezentáció, akkor Π(SO(3; 1) + ) egy adjunkt művelettel hat a π reprezentációra az algebra esetében . Ha P benne van Π -ben, akkor az (F1) egyenlettel való összhang ezt megköveteli ${\mathfrak {so}}(3;1)$ ${\displaystyle \pi (X)\mapsto \mathrm {\Pi } (g)\pi (X)\mathrm {\Pi } (g)^{-1))$ $X\in {\mathfrak {so}}(3;1),$ ${\displaystyle g\in \mathrm {SO} (3;1)^{+))$

\Pi (P)\pi (B_{i})\Pi (P)^{-1}=\pi (A_{i}),

(F2)

ahol A és B a szakasz első részében megadottak szerint van definiálva. Ez csak akkor lehet igaz, ha és méretük azonos, azaz csak akkor, ha m = n . Ha m ≠ n , akkor kiterjeszthető egy irreducibilis csoportreprezentációra , az ortokrón Lorentz-csoportra. A Π( P ) páros paritásos reprezentáció nem jön automatikusan az ( m , n ) reprezentációk alapkonstrukciójával. Ezt külön fel kell tüntetni. A β = i γ 0 mátrix használható a [118] ábrázolásban. $A_{i}$ $Kettős}$ ${\megjelenítési stílus (m,n)\oplus (n,m)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3;1)^{+))$ $({\tfrac {1}{2)),0)\oplus (0,{\tfrac {1}{2)))$

Ha a paritás mínusz előjellel ( 1×1 mátrix [−1] ) lép be a (0,0) reprezentációba, azt pszeudoszkaláris reprezentációnak nevezzük .

Időfordítás

Az idő megfordítása hasonlóan hat az algebrára , mint [119] $T=\mathrm {diag} (-1,1,1,1)$ ${\mathfrak {so}}(3;1)$

\mathrm {Ad} _{T}(J_{i})=TJ_{i}T^{-1}=-J_{i},\qquad \mathrm {Ad} _{T}(K_{ i})=TK_{i}T^{-1}=K_{i}.

(F3)

A T és P reprezentációjának explicit bevonásával megkapjuk a teljes O(3; 1) Lorentz-csoport reprezentációját . A fizika számára itt egy kis probléma merül fel, különösen a kvantummechanikában. Ha a teljes Poincaré-csoportot figyelembe vesszük , négy további generátor, P μ , J i -vel és K i -vel együtt generál egy csoportot. Ezeket párhuzamos átviteli generátorokként értelmezik. A P 0 időkomponens a Hamilton- féle H. A T operátor kielégíti a [120] összefüggést

\mathrm {Ad} _{T}(iH)=TiHT^{-1}=-iH

(F4)

analógia szerint a teljes Poincaré -algebrával helyettesített algebrával végzett forgatásokkal . Ha egyszerűen eltávolítjuk az i változókat a THT −1 = − H értékből , abból az következik, hogy bármely Ψ pozitív E energiájú állapot az időfordítási invarianciájú kvantumállapotok Hilbert-terében Π( T −1 )Ψ állapot lenne negatív energia − E . Ilyen államok nem léteznek. A Π( T ) operátort ezért antilineárisnak és antiunitarisnak [en választjuk , így antikommutál i - vel , megadva , és a Hilbert-térre gyakorolt hatása egyformán antilineáris és antiegységes [121] . Komplex konjugáció szuperpozíciójaként fejezhető ki unitárius mátrixszal való szorzással [122] . A probléma matematikai megfontolásáért lásd a "Wigner-tétel" cikket , de tekintettel a terminológiai eltérésekre - Π nem reprezentáció . ${\mathfrak {so}}(3;1)$ $THT^{-1}=H$

Az olyan elméletek felépítésében, mint a QED , amely invariáns a térparitás és az idő megfordítása mellett, a Dirac-spinorok használhatók, míg más elméleteket, amelyekben nincs invariancia, mint például az elektrogyenge kölcsönhatás , Weyl-spinorok formájában kell megfogalmazni. . A Dirac-reprezentáció általában magában foglalja a tér paritását és az idő megfordítását is. Egy tér paritásának megfordítása nélkül ez nem redukálhatatlan reprezentáció. $({\tfrac {1}{2)),0)\oplus (0,{\tfrac {1}{2)))$

A CPT-tételben szereplő harmadik diszkrét szimmetriának, a P -vel és T - vel együtt , a C töltéskonjugációs szimmetriának nincs közvetlen köze a Lorentz-invarianciához [123] .

Műveletek függvénytereken

Ha V függvények vektortere véges számú n változóban , akkor a skaláris függvényre adott művelet $f\in V$

(\Pi (g)f)(x)=f\left(\Pi _{x}(g)^{-1}x\right),\qquad x\in \mathbb {R} ^{ n},f\in V

(H1)

másik funkciót ad . Itt van egy n - dimenziós ábrázolás, és Π egy esetleg végtelen dimenziós ábrázolás. Ennek a konstrukciónak egy speciális esetét kapjuk, ha V a függvények tere a G lineáris csoporton definiált függvények tere, amelyet n - dimenziós sokaságnak tekintünk, amely beágyazott ( m -vel a mátrixok dimenziója) [124] Ezek a beállítások amelyet a Peter-Weil-tétel és a Borel-Weyl-Bott-tétel fogalmaz meg . Az említettek közül az első bemutatja a függvények Fourier-féle kiterjesztését kompakt csoportokon véges dimenziós reprezentációk karaktereire [64] . Az utolsó tétel, amely explicitebb reprezentációkat ad, egy unitárius trükköt használ az összetett, nem tömör csoportok reprezentációjához, például $\mathrm {\Pi } f\in V$ ${\displaystyle \mathrm {\Pi} _{x))$ $\mathbb {R} ^{m^{2}}$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).$

A következő szakaszok a Lorentz-csoport és a forgatási alcsoportok működését mutatják be egyes függvénytereken.

Euklideszi forgások

A háromdimenziós euklideszi forgások SO(3) alcsoportja végtelen dimenziós ábrázolással rendelkezik a Hilbert-térben

L^{2}\left(\mathbb {S} ^{2}\right)=\operátornév {span} \left\{Y_{m}^{l},l\in \mathbb {N} ^{+},-l\leqslant m\leqslant l\right\},

hol vannak a gömbharmonikusok . Egy tetszőleges négyzetbe integrálható f függvény az egységgömbön a következővel fejezhető ki: [125] ${\displaystyle Y_{m}^{l))$

f(\theta ,\varphi )=\sum _{l=1}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}f_{lm}Y_{m}^{l} (\theta ,\varphi ),

(H2)

ahol f lm általánosított Fourier-együttható .

A Lorentz-csoport akciói a SO(3) -ra korlátozódnak, és a következőképpen fejeződnek ki

(\Pi (R)f)(\theta (x),\varphi (x))=\sum _{l=1}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l }\sum _{m'=-l}^{l}D_{mm'}^{(l)}(R)f_{lm'}Y_{m}^{l}\left(\theta \left( R^{-1}x\right),\varphi \left(R^{-1}x\right)\right),\qquad R\in \mathrm {SO} (3),\quad x\in \ mathbb {S} ^{2},

(H4)

ahol a D l -t a forgásgenerátorok páratlan méretű képviselőiből kapjuk.

A Möbius csoport

A Lorentz-csoport identitáskomponense izomorf a Möbius- csoporttal . Ez a csoport akár a komplex sík , akár a sztereografikus vetületen keresztül a Riemann-gömb konformális leképezéseként tekinthető . Így magát a Lorentz-csoportot úgy tekinthetjük, mint amely a komplex síkon vagy a Riemann-szférán konforman működik.

A síkon a Möbius-transzformáció, amelyet komplex számok írnak le , a [126] képlet szerint működik . $a,b,c,d$

f(z)={\frac {az+b}{cz+d)),\qquad ad-bc\neq 0

(M1)

és összetett mátrixokkal ábrázolhatók

\Pi _{f}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix)),\qquad \lambda \in \mathbb {C} -\{0\},\operátornév {det} \Pi _{f}=1,

(M2)

mivel a nullától eltérő komplex skalárral való szorzás nem változtatja meg f -et . Ezek a csoport elemei, és egy jelig egyediek (mert ugyanazt az f -et adja ), ezért ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\displaystyle \pm \mathrm {\Pi } _{f))$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\}\cong {\text{SO}}(3;1)^{+}.$

Riemann P-szimbólumok

A Riemann P-szimbólumok , a Riemann-differenciálegyenlet megoldásai, olyan függvények halmazának példái, amelyek a Lorentz-csoport hatására átalakulnak egymásba. A Riemann P-szimbólumok a következőképpen vannak kifejezve: [127]

w(z)=P\left\{{\begin{mátrix}a&b&c&\\\alpha &\beta &\gamma &\;z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\end {mátrix}}\right\}=\left({\frac {za}{zb}}\jobb)^{\alpha }\left({\frac {zc}{zb}}\jobb)^{\gamma }P\left\{{\begin{mátrix}0&\infty &1&\\0&\alpha +\beta +\gamma &0&\;{\frac {(za)(cb)}{(zb)(ca))) \\\alpha '-\alpha &\alpha +\beta '+\gamma &\gamma '-\gamma &\end{mátrix}}\jobbra\},

(T1)

hol vannak az összetett állandók. A jobb oldali p-függvény a szabványos hipergeometriai függvényekkel fejezhető ki . Itt a link [128] $a,b,c,\alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha ',\beta ',\gamma '$

P\left\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\\0&a&0&\;z\\1-c&b&c-ab&\end{matrix}}\right\}={}_{2}F_{ 1}(a,\,b;\,c;\,z).

(T2)

A bal felső sorból a 0, ∞, 1 beállított állandók a [129] hipergeometriai egyenlet szabályos szinguláris pontjai ] . Kitevőik , azaz a 0 szinguláris pont körüli folytonosság definiáló egyenletének megoldásai 0 és 1 − c lesz , ami két lineárisan független megoldásnak felel meg [nb 40] , az 1 szinguláris pont körüli folytatásra pedig legyen 0 és [130] . Hasonlóképpen, a ∞ kitevője a és b a két megoldásra [131] . $cab$

Akkor van

w(z)=\left({\frac {za}{zb}}\right)^{\alpha }\left({\frac {zc}{zb}}\jobb)^{\gamma } {}_{2}F_{1}\left(\alpha +\beta +\gamma ,\,\alpha +\beta '+\gamma ;\,1+\alpha -\alpha ';\,{\frac {(za)(cb)}{(zb)(ca)}}\jobbra),

(T3)

hol van a feltétel (néha Riemann azonosságnak is nevezik) [132] .

\alpha +\alpha '+\beta +\beta '+\gamma +\gamma '=1

a Riemann-differenciálegyenlet megoldásainak kitevőire γ ′ meghatározására szolgál .

A (T1) bal oldalon lévő konstansok első halmaza , a , b , c , a Riemann-differenciálegyenlet szabályos szinguláris pontjait jelenti. A t, , második halmaz a két lineárisan független megoldás egyikének megfelelő kitevők halmaza, és ennek megfelelően kitevői a második megoldás a , b , c pontjaiban . $\alpha ,\beta ,\gamma$ $ABC$ $\alpha ',\beta ',\gamma '$

Határozzuk meg a Lorentz-csoport akcióját az összes Riemann P-szimbólum halmazán, feltéve, hogy

u(\Lambda )(z)={\frac {Az+B}{Cz+D)),

(T4)

hol vannak a mátrixelemek $A,B,C,D$

\lambda ={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),

(T5)

a Lorentz-transzformációhoz. ${\displaystyle \Lambda =p(\lambda )\in \mathrm {SO} (3;1)^{+))$

Határozzuk meg

[\Pi (\Lambda )P](z)=P[u(\Lambda )(z)],

(T6)

ahol P a Riemann P-szimbólum. Az eredményül kapott függvény ismét egy Riemann P-függvény. Az argumentum Möbius-transzformációjának hatása egy új helyre történő póluseltolódásban , és ebből következően a kritikus pontok változásában fejeződik ki, de a differenciálegyenlet kitevőiben nem változik, amelyet az új függvény kielégít. Az új függvényt a kifejezés fejezi ki

[\Pi (\Lambda )P](u)=P\left\{{\begin{mátrix}\eta &\zeta &\theta &\\\alpha &\beta &\gamma &\;u \\\alpha '&\beta '&\gamma '&\end{mátrix}}\jobbra\},

(T6)

ahol

\eta ={\frac {Aa+B}{Ca+D}}\quad ,\quad \zeta ={\frac {Ab+B}{Cb+D}}\quad ,\quad \theta = {\frac {Ac+B}{Cc+D)).

(T7)

Végtelen dimenziós unitárius ábrázolások

Történelem

A Lorentz-csoportnak és kettős fedőjének végtelen dimenziós egységes reprezentációi vannak, amelyeket egymástól függetlenül Bargman [57] , Gelfand és Naimark [133] , valamint Harish-Chandra [10] tanulmányozott Paul Dirac [134] [135] kezdeményezésére. . Dirac [136] akkor kezdett beletaposni a kutatásba ezen az úton, amikor előállt az U és B mátrixokkal , amelyek a magasabb spinek leírásához szükségesek (hasonlítsa össze a Dirac-mátrixokkal ), amelyeket Firtz [137] taposta fejlesztéseivel (lásd Firtz cikkét). és Pauli [138] ), és javasolta a Bargmann-Wigner egyenletek [139] elődjét . Dirac cikkében [9] a tér sajátos végtelen dimenziós ábrázolását javasolta, amelynek elemeit expansoroknak nevezte a tenzorok általánosításaként. [nb 41] Ezeket az elképzeléseket Harish-Chandra vette át, és egy 1947-es tanulmányban a spinor fogalmát kiterjesztette az expinorokra , mint a spinorok végtelen dimenziós általánosítására. ${\displaystyle \mathrm {SO} (3;1)^{+))$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

A Plancherel-képletet ezekre a csoportokra Gelfand és Naimark kapta térfogatszámítással. Harish-Chandra [140] , valamint Gelfand és Graev [141] ezt követően nagymértékben leegyszerűsítették a bemutatást, a Hermann Weyl kompakt Lie-csoportokra vonatkozó integrációs képletével [142] való analógia alapján . Ennek a megközelítésnek egy elemi kifejtése található Rühl [143] és Knapp [64] könyveiben . ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

A gömbfüggvények elmélete a Lorentz-csoport számára, amelyek a Minkowski-térben található 3-dimenziós hiperbolikus tér hiperboloid modelljének harmonikus elemzéséhez szükségesek , sokkal egyszerűbb , mint az általános elméletben. Csak a gömb alakú fősorozat [ en reprezentációit tartalmazza, és közvetlenül tanulmányozható, mivel radiális koordinátákban a laplaciussalahiperboloidon ekvivalenslaplaci a . $\mathbb {R} .$

SL(2, C) fő sorozata

A fősorok vagy az egységes fősorozatok a csoport alsó háromszög B alcsoportjának egydimenziós reprezentációiból indukált egységes ábrázolások . $G={\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).$

\chi _{\nu ,k}{\begin{pmatrix}z&0\\c&z^{-1}\end{pmatrix}}=r^{i\nu }e^{ik\theta },

k egész számra és valós ν -re -val . A reprezentációk visszafordíthatatlan reprezentációk . Az egyetlen ismétlés, i.e. reprezentációs izomorfizmusok akkor keletkeznek, ha k helyébe − k kerül . Definíció szerint az ábrázolások a vonalkötegek L 2 szálain valósulnak meg , amelyek izomorfak a Riemann-gömbhöz . Ha k = 0 , ezek az ábrázolások az úgynevezett gömbi fősort alkotják . ${\displaystyle z=re^{i\theta ))$ ${\displaystyle G/B=\mathbb {S} ^{2))$

A fő sorozatnak a G maximális kompakt alcsoportjára való korlátozása a K alcsoport indukált reprezentációjaként valósítható meg az azonosítással , ahol a maximális tórusz a K alcsoportban , amely átlós mátrixokból áll . Ezt az ábrázolást az 1-dimenziós ábrázolás hozza létre, és független a -tól . A Frobenius-reciprocitás segítségével a K alcsoporton a K alcsoport irreducibilis reprezentációinak közvetlen összegére bomlik fel, m nemnegatív egész számmal . $K=\mathrm {SU} (2)$ $G/B=K/T$ $T=B\cap K$ $|z|=1$ $z^{k}T$ $\nu$ $abs(k)+2m+1$

A pont nélküli Riemann-gömb és a fősor közötti azonosítást felhasználva közvetlenül meghatározható a [148] képlettel . $\mathbb {C}$ $L^{2}(\mathbb {C} )$

\pi _{\nu ,k}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}f(z)=|cz+d|^{-2-i\ nu }\left({cz+d \over |cz+d|}\right)^{-k}f\left({az+b \over cz+d}\right).

Az irreducibilitás többféleképpen ellenőrizhető:

A reprezentáció B -n már irreducibilis . Ez közvetlenül is látható, de van egy speciális esete is általános eredményeknek az indukált reprezentációk irreducibilitására vonatkozóan, köszönhetően François Bruhat és George Mackay -nek, a Bruhat-dekompozícióra támaszkodva , ahol s a Weil csoport [149] . $G=B\cup BsB$

{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

A G csoport Lie algebrájának hatása explicit módon kiszámítható a K alcsoport irreducibilis altereinek algebrai direkt összegén , és közvetlenül igazolható, hogy a legkisebb dimenziójú altér generálja ezt a közvetlen összeget -modulként [10 ] [150] . $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$

További sorozatok az SL(2, C) számára

Egy további sorozat a négyzetes integrálható függvények terén van meghatározva a skalárszorzathoz [151] . $0<t<2$ $L^{2}(\mathbb {C} )$

(f,g)_{t}=\iint {\frac {f(z){\overline {g(w)))}{|zw|^{2-t))}\,dz\ ,dw,

a [57] [152] egyenlet által megadott művelettel

\pi _{t}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}f(z)=|cz+d|^{-2-t}f\left ({az+b \over cz+d}\jobbra).

A komplementer sorozatok reprezentációi irreducibilisek és páronként nem izomorfak. A K alcsoport reprezentációjaként mindegyik izomorf a K = SU(2) alcsoport páratlan dimenziós irreducibilis reprezentációinak közvetlen összegeinek Hilbert-terével . Az irreducibilitás igazolható az algebra ezen alterek algebrai összegére gyakorolt hatásának elemzésével [10] [150] vagy közvetlenül a Lie algebra [133] [153] használata nélkül . $\mathfrak{g}$

Plancherel tétele SL(2, C)-re

Egy csoport egyetlen irreducibilis egységes reprezentációja a fő sorozat, a kiegészítő sorozat és a triviális reprezentáció. Mivel −I úgy működik , mint (−1) k a fő sorozaton és triviálisan a többieken, ez megadja a Lorentz-csoport összes irreducibilis egységes reprezentációját, ha k páros. ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

A G csoport bal oldali reguláris reprezentációjának felosztásához csak a fő sorozatra van szükség. Ez azonnal megadja a Lorentz-csoport bal oldali reguláris reprezentációjának alreprezentációs dekompozícióját és a 3-dimenziós hiperbolikus tér reguláris reprezentációját. (Az első csak a fő sorozat reprezentációit használja páros k értékkel , a második csak a k = 0 reprezentációit .) $L^{2}(G)$ $L^{2}(G/\{\pm I\}),$ $L^{2}(G/K)$

A λ és ρ bal és jobb reguláris reprezentációit a képleteken definiáljuk $L^{2}(G)$

{\begin{aligned}(\lambda (g)f)(x)&=f\left(g^{-1}x\right)\\(\rho (g)f)(x)& =f(xg)\end{igazított}}

Most, ha f a C c ( G ) eleme , akkor a következőképpen definiált operátor $\pi _{\nu ,k}(f)$

\pi _{\nu ,k}(f)=\int _{G}f(g)\pi (g)\,dg

a Hilbert-Schmidt operátor . A H Hilbert-teret a képlettel definiáljuk

H=\bigoplus _{k\geqslant 0}{\text{HS}}\left(L^{2}(\mathbb {C} )\right)\otimes L^{2}\left(\ mathbb {R} ,c_{k}{\sqrt {\nu ^{2}+k^{2))}d\nu \right),

ahol

c_{k}={\begin{cases}{\frac {1}{4\pi ^{3/2}}}&k=0\\{\frac {1}{(2\pi )^ {3/2}}}&k\neq 0\end{cases}}

és jelölje a Hilbert–Schmidt operátorok Hilbert terét [nb 42] . Ezután a kifejezés által C c ( G ) -n meghatározott U térképet ${\text{HS}}\left(L^{2}(\mathbb {C} )\right)$ $L^{2}(\mathbb {C} )$

U(f)(\nu ,k)=\pi _{\nu ,k}(f)

egységes csoportleképezéssé bővül H -ben . $L^{2}(G)$

Az U leképezés kielégíti az összefonódási tulajdonságot

U(\lambda (x)\rho (y)f)(\nu ,k)=\pi _{\nu ,k}(x)^{-1}\pi _{\nu ,k} (f)\pi _{\nu ,k}(y).

Ha ben fordulnak elő , akkor az unitárius szerint $f_{1},f_{2}$ $C_{c}(G)$

$(f_{1},f_{2})=\sum _{k\geqslant 0}c_{k}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\operátornév {Tr} \left(\pi _{\nu ,k}(f_{1})\pi _{\nu ,k}(f_{2})^{*}\right)\left(\nu ^{2}+ k^{2}\jobbra)\,d\nu .$

Ezután, ha a konvolúciót és , majd [154] $f=f_{1}*f_{2}^{*}$ $f_1$ $f_{2}^{*}$ $f_{2}^{*}(g)={\overline {f_{2}(g^{-1))))),$

$f(1)=\sum _{k\geqslant 0}c_{k}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\operátornév {Tr} \left(\pi _{ \nu ,k}(f)\jobbra)\left(\nu ^{2}+k^{2}\jobbra)\,d\nu .$

Az utolsó két képletre általában Plancherel-képletként , illetve az inverz Fourier-transzformáció képletére hivatkozunk.

A Plancherel-képlet mindenre vonatkozik . Jacques Dixmier és Paul Mallyavin tétele szerint bármely bekapcsolt kompakt támogatású sima függvény hasonló függvények véges konvolúciós összege, az inverziós képlet ilyen f -re érvényes . Ez kiterjeszthető a függvények sokkal szélesebb osztályára, amelyek kielégítik a gyenge differenciálhatósági feltételeket [64] . $f_{i}\in L^{2}(G)$ $G$

SO(3, 1) reprezentációk osztályozása

Az irreducibilis, végtelen dimenziós reprezentációk osztályozásában követett stratégia a véges dimenziós esethez hasonlóan az, hogy feltételezzük létezésüket, majd megvizsgáljuk tulajdonságaikat. Először tegyük fel, hogy az SO(3; 1) + [155] csoport H Hilbert -terén létezik egy irreducibilis , erősen folytonos végtelen dimenziós Π H reprezentáció . Mivel SO(3) egy alcsoport, Π H a reprezentációja. SO(3) minden irreducibilis részreprezentációja véges dimenziós, és SO(3) reprezentációja felbontható SO (3) irreducibilis véges dimenziós unitárius reprezentációinak közvetlen összegére, ha Π H unitér [156] .

A lépések a következők [157] :

Megfelelő bázist választunk a J 2 és J 3 mátrixok közös sajátvektoraihoz .
Kiszámítjuk a J 1 , J 2 , J 3 és K 1 , K 2 , K 3 mátrixelemeket .
Kommutációs relációkat biztosítunk a Lie algebrához.
Egységre van szükségünk az alap ortogonalitásával együtt [nb 43] .

1. lépés

Megfelelő alapot és címkéket adnak meg

\left|j_{0}\,j_{1};j\,m\right\rangle .

Ha ez egy véges dimenziós ábrázolás lenne, akkor j 0 a J 2 mátrix legkisebb j ( j + 1) sajátértékének felelne meg az ábrázolásban , j 1 pedig a legnagyobb m + n sajátértékének . A végtelen dimenziós esetben megtartja ezt a jelentését, de j 1 nem [70] . Az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy egy adott j csak egyszer fordul elő egy adott reprezentációban (ez a véges dimenziós reprezentációk esete), és kimutatható [158] , hogy ez a feltevés elvethető (bizonyos számítási bonyolultsággal), míg az eredmények megmaradnak. $|mn|$ $j_{0}\geqslant 0$

2. lépés

A következő lépés a Lie algebra alapját képező J 1 , J 2 , J 3 és K 1 , K 2 , K 3 operátorok mátrixelemeinek kiszámítása A mátrix és az ábrázolásból ismert elemei a forgáscsoportok elmélete, és a [159] [160] képletekkel adják meg . ${\mathfrak {so}}(3;1).$ ${\displaystyle J_{\pm }=J_{1}\pm iJ_{2))$ $J_{3}$

{\begin{aligned}\left\langle j\,m\right|J_{+}\left|j\,m-1\right\rangle &=\left\langle j\,m-1\ jobb|J_{-}\left|j\,m\right\rangle ={\sqrt {(j+m)(j-m+1))),\\\left\langle j,m\jobb|J_ {3}\left|j\,m\jobbra\rangle &=m,\end{igazított}}

ahol a j 0 és j 1 címkéket kihagyjuk, mert az ábrázolásban minden bázisvektorra azonosak.

A kommutációs reláció szerint

[J_{i},K_{j}]=i\epsilon _{ijk}K_{k},

a tripla ( K i , K i , K i ) ≡ K vektoroperátor [161] és a Wigner -Eckart tétel [162] alkalmazható a mátrixelemek bázisválasztással reprezentált állapotok közötti váltására [163 ] . Mátrix Mátrix elemek

{\begin{aligned}K_{0}^{(1)}&=K_{3},\\K_{\pm 1}^{(1)}&=\mp {\frac {1} {\sqrt {2}}}(K_{1}\pm iK_{2}),\end{igazított}}

ahol a felső index (1) azt jelenti, hogy a mennyiség az rangú gömbtenzor operátor komponense (ami a √ 2 faktor jelenlétét is magyarázza ), a 0, ±1 alsó index pedig q - ra utal az alábbi képletekben [164] $k=1$

{\begin{aligned}\left\langle j'm'\left|K_{0}^{(1)}\right|j\,m\right\rangle &=\left\langle j'\ ,m'\,k=1\,q=0|j\,m\right\rangle \left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j'\right\rangle ,\ \\left\langle j'm'\left|K_{\pm 1}^{(1)}\right|j\,m\right\rangle &=\left\langle j'\,m'\,k =1\,q=\pm 1|j\,m\right\rangle \left\langle j\left\|K^{(1)}\jobbra\|j'\jobbra\rangle .\end{igazított} }

Itt az első faktorok a jobb oldalon a Clebsch-Gordan együtthatók a j ′ és a k összekapcsolására , hogy j -t kapjunk . A második tényező a redukált mátrixelemek . Nem függenek m , m′ vagy q -tól , de függenek j -től, j′- tól és természetesen K -től . A nullától eltérő egyenletek teljes listáját lásd Harish-Chandra [165] .

3. lépés

Következő lépésként meg kell követelni, hogy a Lie algebra relációk teljesüljenek, azaz. mit

[K_{\pm },K_{3}]=\pm J_{\pm },\quad [K_{+},K_{-}]=-2J_{3}.

Ez egy egyenletkészlethez vezet [166] , amelyre a megoldások [167]

{\begin{aligned}\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &=i{\frac {j_{1}j_{0)) {\sqrt {j(j+1)}}},\\\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j-1\right\rangle &=-B_{j} \xi _{j}{\sqrt {j(2j-1)}}),\\\left\langle j-1\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle & = B_{j}\xi _{j}^{-1}{\sqrt {j(2j+1)}},\end{igazított}}

ahol

B_{j}={\sqrt {\frac {(j^{2}-j_{0}^{2})(j^{2}-j_{1}^{2})}{j ^{2}(4j^{2}-1)}}},\quad j_{0}=0,{\tfrac {1}{2)),1,\ldots \quad ,\quad j_{1} ,\xi _{j}\in \mathbb {C} .

4. lépés

A megfelelő csoportreprezentáció egységességi követelményének előírása korlátozza a komplex számok és a lehetséges értékeket . A csoportreprezentáció egysége átmegy abba a követelménybe, hogy a Lie algebrai reprezentációk hermitikusak legyenek, ami azt jelenti, hogy $j_0$ ${\displaystyle \xi _{j))$

K_{\pm }^{\dagger }=K_{\mp },\quad K_{3}^{\dagger }=K_{3}.

Ez bekerül a [168]

{\begin{aligned}\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &={\overline {\left\langle j\left\|K ^{(1)}\right\|j\right\rangle }},\\\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j-1\right\rangle &=- {\overline {\left\langle j-1\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle )),\end{igazított))

és elvezet a [169]

{\begin{aligned}j_{0}\left(j_{1}+{\overline {j_{1}}}\right)&=0,\\\left|B_{j}\right| \left(\left|\xi _{j}\right|^{2}-e^{-2i\beta _{j}}\right)&=0,\end{igazított}}

ahol β j a B j szög poláris formában. Ebből következik, és megegyezés alapján választják ki. Két eset lehetséges: $|B_{j}|\neq$ $\left|\xi _{j}\right|^{2}=1$ $\xi _{j}=1$

${\underline {j_{1}+{\overline {j_{1}}}=0.}}$ Ebben az esetben ν [ 170] $j_{1}=-i\nu$ $\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle ={\frac {\nu j_{0}}{j(j+1)))\ quad$ és $\quad B_{j}={\sqrt {\frac {(j^{2}-j_{0}^{2})(j^{2}+\nu ^{2})}{4j ^{2}-1}}}$

Ez a fő sorozat . Elemei feliratozva vannak

(j_{0},\nu ),2j_{0}\in \mathbb {N} ,\nu \in \mathbb {R} .

${\underline {j_{0}=0.))$ Ebből következik [171] : $\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle =0\quad$ és ${\displaystyle \quad B_{j}={\sqrt {\frac {j^{2}-\nu ^{2}}{4j^{2}-1))))$

Mivel , valós és pozitív a számára , ami ehhez vezet . Ez egy kiegészítő sorozat . Elemei jelzéssel vannak ellátva .

B_{0}=B_{j_{0))

B_{j}^{2}

j=1,2,\pontok

-1\leqslant \nu \leqslant 1

(0,\nu ),-1\leqslant \nu \leqslant 1

Ez azt mutatja, hogy a fenti reprezentációk mind végtelen dimenziós irreducibilis egységes reprezentációk.

Explicit képletek

A hazugság-algebrai konvenciók és alapok

A metrikát egy mátrix adja meg, és a Lie algebrák és az exponenciális leképezés fizikai konvencióit használják. Ez a választás önkényes, de ha egyszer megválasztják, az nem változik. A Lie algebra egyik lehetséges alapját a 4 vektoros ábrázolásban a következő képletek adják meg: $\eta =\mathrm {diag} (-1,1,1,1)$

{\begin{aligned}J_{1}=J^{23}=-J^{32}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{ pmatrix}},&J_{2}=J^{31}=-J^{13}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{pmatrix}}), &J_ {3}=J^{12}=-J^{21}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{pmátrix)),\\[8pt] K_ {1}=J^{01}=J^{10}&=i{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmátrix)),&K_{2}=J^{ 02 }=J^{20}&=i{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},&K_{3}=J^{03}=J^{30} & =i{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}.\end{igazított}}

Lie algebra kommutációs relációk [172] : ${\mathfrak {so}}(3;1)$

\left[J^{\mu \nu },J^{\rho \sigma }\right]=i\left(\eta ^{\sigma \mu }J^{\rho \nu }+\ eta ^{\nu \sigma }J^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }J^{\sigma \nu }-\eta ^{\nu \rho }J^{\mu \ sigma}\jobbra).

A háromdimenziós tér jelölésében ez lesz [173]

\left[J_{i},J_{j}\right]=i\epsilon _{ijk}J_{k},\quad \left[J_{i},K_{j}\right]=i \epsilon _{ijk}K_{k},\quad \left[K_{i},K_{j}\right]=-i\epsilon _{ijk}J_{k}.

A fenti alapválasztás kielégíti a forgatást, de más választás is lehetséges. Vegye figyelembe a J szimbólum többszöri használatát fent és lent.

Weyl spinorok és bispinorok

Felváltva és elhelyezve $m={\tfrac {1}{2}},n=0$ $m=0,n={\tfrac {1}{2))$

J_{i}^{\left({\frac {1}{2}}\right)}={\frac {1}{2}}\sigma _{i}

a (G1) általános képletben és a és triviális összefüggések felhasználásával megkapjuk $1_{1}=1$ $J^{(0)}=0$

{\begin{aligned}\pi _{\left({\frac {1}{2)),0\right)}(J_{i})&={\frac {1}{2)) \left(\sigma _{i}\otimes 1_{(1)}+1_{(2)}\otimes J_{i}^{(0)}\right)={\frac {1}{2)) \sigma _{i}\\\pi _{\left({\frac {1}{2)),0\right)}(K_{i})&={\frac {i}{2}}\ left(1_{(2)}\otimes J_{i}^{(0)}-\sigma _{i}\otimes 1_{(1)}\right)=-{\frac {i}{2}} \sigma _{i}\\[6pt]\pi _{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)}(J_{i})&={\frac {1}{2 }}\left(J_{i}^{(0)}\otimes 1_{(2)}+1_{(1)}\otimes \sigma _{i}\right)={\frac {1}{2 }}\sigma _{i}\\\pi _{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)}(K_{i})&={\frac {i}{2} }\left(1_{(1)}\otimes \sigma _{i}-J_{i}^{(0)}\otimes 1_{(2)}\right)={\frac {i}{2} }\sigma _{i}\end{aligned}}

(W1)

Ezek a Weyl-spinorok bal és jobb oldali ábrázolásai . Úgy működnek, hogy megszoroznak egy mátrixszal kétdimenziós komplex vektorterekben (alapválasztással) és , amelyek és elemeit bal, illetve jobb oldali Weyl-spinoroknak nevezzük. Ha adott $V_{L}$ $V_{R}$ $\Psi _{L}$ $\Psi _{R}$

\left(\pi _{\left({\frac {1}{2)),0\right)},V_{\text{L))\right)\quad ,\quad \left(\ pi _{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)},V_{\text{R}}\jobbra)

Közvetlen összegüket mint reprezentációkat a képletek képezik [174]

{\begin{aligned}\pi _{\left({\frac {1}{2)),0\right)\oplus \left(0,{\frac {1}{2))\right )}\left(J_{i}\right)&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\sigma _{i}&0\\0&\sigma _{i}\end{pmatrix }}\\[8pt]\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\frac {1}{2}}\right)} \left(K_{i}\right)&={\frac {i}{2}}{\begin{pmatrix}\sigma _{i}&0\\0&-\sigma _{i}\end{pmatrix} }\end{igazított}}

(D1)

Ez egy hasonlósági transzformációig algebra Dirac-spinor reprezentációja . A terek 4 komponensű elemeire , úgynevezett bispinorokra hat mátrixszorzással. A reprezentációt általánosabb és bázisfüggetlenebb módon kaphatjuk meg Clifford algebra segítségével . Ezeket a bispinorokra és Weyl-spinorokra vonatkozó kifejezéseket a Lie algebra linearitása és az összes algebra reprezentációja bővíti . A csoportreprezentációk kifejezéseit hatványozással kapjuk. $({\tfrac {1}{2)),0)\oplus (0,{\tfrac {1}{2)))$ ${\mathfrak {so}}(3;1)$ $(\Psi _{L},\Psi _{R})$ $(V_{L}\oplus V_{R})$ ${\mathfrak {so}}(3;1).$

Lásd még

Bargmann-Wigner egyenlet
Súlypont
Dirac algebra
Gamma mátrixok
Lorentz csoport
Möbius átalakulás
Poincaré csoport
A Poincaré-csoport reprezentációs elmélete
Szimmetria a kvantummechanikában
Wigner besorolás

Ingyenes online források

Bekaert X., Boulanger N. A Poincare-csoport egységes reprezentációja bármely téridő dimenzióban. — 2006. A második Modave-i nyári matematikai fizika iskolán (Belgium, 2006. augusztus) elhangzott előadások bővített változata.
Curtright TL, Fairlie DB, Zachos CK Kompakt képlet forgatásokhoz spin-mátrix polinomokként // SIGMA. - 2014. - T. 10 . - S. 084 . - doi : 10.3842/SIGMA.2014.084 . - . - arXiv : 1402.3541 . Az SU(2) csoport elemeit zárt formában a Lie algebra generátorok véges polinomjaiként fejezzük ki, mindegyikhez a rotációs csoport spinális reprezentációja van definiálva.

Jegyzetek

Megjegyzések

↑ Bevezetésük módja a tárgyalt elmélettől függően számos formát ölthet. Ezeknek a módszereknek néhány részletére itt nem térünk ki, de a lábjegyzetekben és az Alkalmazások részben megjelennek .
↑ Weinberg, 2002 , p. egy; „ Ha kiderül, hogy a rendszert nem írja le a kvantumtérelmélet, az szenzáció lesz. Ha kiderül, hogy nem engedelmeskedik a kvantummechanika és a relativitáselmélet szabályainak, az kataklizma lesz. »
↑ 1945-ben Harish-Chandra meglátogatta Diracot Cambridge-ben. Arra a következtetésre jutott, hogy ez alkalmatlan az elméleti fizikára. Harish-Chandra hibát talált Dirac bizonyításában a Lorentz-csoporton végzett munkájában, de Dirac azt mondta: "Nem a bizonyítékok érdekelnek, hanem csak a történések természete."
Harish-Chandra később ezt írta: "Ez a megjegyzés megerősítette egyre erősödő meggyőződésemet, miszerint nem rendelkezem a fizika sikeréhez szükséges csodálatos hatodik érzékkel, és hamarosan úgy döntöttem, hogy matematikára térek."
Dirac azonban egy témát ajánlott neki a munkához - a Lorentz-csoport irreducibilis végtelen dimenziós reprezentációinak osztályozását.
Lásd Dalitz és Peierls cikkét ( Dalitz, Peierls 1986 )
↑ A színfalak mögött mindig azt feltételezik, hogy minden inerciális vonatkoztatási rendszerben van egy dedikált Lorentz-megfigyelő , azaz valaki, aki elvileg rendelkezik egy teljes információhalmazzal (azaz koordinátákkal!) az ebben a vonatkoztatási rendszerben megfigyelt eseményekről.
↑ A leképezésnek nem feltétlenül kell egy az egyhez. Egyszerűen az szükséges, hogy a leképezés csoportok homomorfizmusa legyen , azaz valamely V vektortér valamely teljes lineáris GL( V ) csoportjába . (A V vektortér végtelen dimenziós lehet, mint például a H Hilbert tér . Ebben az esetben B ( H ) , H lineáris operátorokról beszélünk , és nem GL( V ) -ről . $\mathrm {\Pi } (gh)=\mathrm {\Pi } (g)\mathrm {\Pi } (h)$
↑ Csak két szabadságfok van a téridő nyílt halmazában . A 4-es potenciál bevezetése névlegesen négy szabadságfokot ad. Mezőegyenletek és mérőváltozatlanság , mindegyik egy szabadságfokot eltávolít.
↑ Ezt a transzformációt általában más módon fejezik ki, lásd például "Elektromágneses tér transzformáció" . Ez a módszer átalakítható 6×6 mátrixok használatára , és fordítva, mivel a tenzornak 6 független komponense van.
↑ Létezhetnek megszámlálhatatlan dimenziójú ábrázolások. Kevésbé jól viselkednek (különösen nem egységesek), és itt nem vesszük figyelembe.
↑ Előfordulhat, hogy a végtelen dimenziós mátrixok két reprezentánsának szorzata rosszul kondicionált. Ebben az esetben a szabály más kritériumok alapján is ellenőrizhető.
↑ Lásd az (1) képletet a Scattering Matrix cikkben annak leírásához, hogy a szabad többrészecskék hogyan változtatják állapotukat.
↑ Weinberg, 2002 , 5.1.4–5. Weinberg az operátorok létrehozásának és megsemmisítésének szükségességét más megfontolásokból vezeti le, a cluster dekompozíciós elvből , Weinberg (2002 , 4. fejezet).
↑ Szükség lehet arra is, hogy egy részecske hogyan viselkedjen a CPT szimmetria mellett.
↑ Például a Klein–Gordon- egyenletnek , a Dirac-egyenletnek , a Maxwell-egyenletnek , a Proca -egyenletnek , a Rarita-Schwinger-egyenletnek és az Einstein -egyenletnek vannak változatai (szabadmezős egyenletek, azaz kölcsönhatásban lévő tagok nélkül) . adott csoportreprezentációból kiindulva Lorenz. Általában véve ezek a Bargmann-Wigner egyenletek kollektív kvantumtérelméleti változatai .
Lásd Weinberg ( Weinberg 2002 , 5. fejezet), Tung ( Tung 1985 , 10.5.2. szakasz) és az ezekben a munkákban hivatkozott hivatkozásokat.
Meg kell jegyezni, hogy a magasabb pörgetések ( s > 1 ) elméletei nehézségekkel küzdenek. Weinberg ( Weinberg 2002 , 5.8. szakasz) az általános ( m , n ) mezőkre részletesen tárgyalja a kérdést. Kétségtelenül léteznek nagyobb spinű részecskék, például magok. Az ismert ilyen részecskék nem elemiek .
↑ E csoportok reprezentációs elméletével kapcsolatban lásd Bekart és Boulanger [2] cikkét , amely a Poincaré-csoport reprezentációs elméletével foglalkozik. Ezeket a reprezentációkat az indukált reprezentációk módszerével, vagy a fizika nyelvén a kiscsoportos módszerrel állítják elő , amelyet Wigner 1939-ben dolgozott ki az ő típusának csoportjaira (Wigner-csoportok), és szilárd matematikai alapot kapott. George Mackay fektette le az ötvenes években.
↑ Hall (2015 , 4.4. szakasz)
Egy csoportról azt mondjuk, hogy rendelkezik a teljes redukálhatósági tulajdonsággal , ha bármely reprezentáció az irreducibilis reprezentációk közvetlen összegére bomlik.
↑ Dirac 1928-ban javasolta Wigner művének témáját ( Wigner 1939 ) (ahogyan Wigner cikkében is szerepel). Dirac 1945-ös cikkében ( Dirac 1945 ) ( Langlands 1985 ) publikálta az egyik első tanulmányt az explicit végtelen dimenziós egységes reprezentációkkal kapcsolatban , és javasolta Harish-Chandra irreducibilis végtelen dimenziós reprezentációk osztályozásáról szóló munkájának témáját ( Dalitz). , Peierls 1986 ).
↑ Knapp, 2001 ; Egy meglepő harmadik izomorfizmust bizonyít a 2. fejezet 4. szakasza.
↑ Egy algebra reprezentációinak tenzorainak szorzata , ha mindkét tényező ugyanabból a Lie-algebrából származik, vagy reprezentációként, vagy reprezentációként fogható fel . $\pi _{g}\otimes \pi _{h}$ ${\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {h}}={\mathfrak {g}},$ $\mathfrak{g}$ ${\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}$
↑ Ha egy komplex Lie algebrát komplexezünk, akkor azt egy valós Lie algebrának kell tekinteni, amelynek valós mérete kétszerese a komplex dimenziónak. Hasonlóképpen, a valódi forma valójában összetett is lehet, mint ebben az esetben.
↑ Weinberg munkájának 5.6.7–8, 5.6.14–15 képleteit ( Weinberg 2002 , 5.6.7–8, 5.6.14–15. egyenletek) kombináljuk Hall javaslatával ( Hall 2015 , 4.18. állítás) a hazugság ábrázolásáról. algebra az ábrázolások csoportjának alaktenzorszorzataiban.
↑ A "nyomtalan" tulajdonság kifejezhető így ( g = tér-idő metrika ), vagy a mező ábrázolásától függően: kovariáns, vegyes és kontravariáns. $S_{\alpha \beta }g^{\alpha \beta }=0$ $S_{\alpha }^{\alpha }=0$ $S^{\alpha \beta }g_{\alpha \beta }=0$
↑ A tenzor szimmetriája nem következik közvetlenül a Lagrange-ból a Noether-tétel segítségével , hanem szimmetrizálható Belinfante-Rosenfeld energia-impulzus tenzorként .
↑ Ez a paritás szimmetria. Különben két fajta lenne, (32, 0) és (0,32) a neutrínók analógiájával .
↑ A fizika és a matematika terminológiája más. A cikkben (hivatkozással) a projektív reprezentáció kifejezés némileg más jelentéssel bír, mint a fizikában, ahol a projektív reprezentáció alatt a borítás lokális szakaszát értjük egy fedőcsoportból a fedőcsoport megfelelő reprezentációiból összeállított fedett csoportba. . Mivel ez az alábbiakban leírtak szerint kétféle módon (lokálisan) folyamatosan megtehető, természetes a kettős reprezentáció terminológiája.
↑ Konkrétan, A Pauli-mátrixokkal ingázik , így Schur lemmája minden SU(2) -re vonatkozik.
↑ Ami azt jelenti, hogy a kernel triviális. Ennek megértéséhez felidézzük, hogy a Lie algebra homeomorfizmusának magja egy ideál , és ezért altér. Mivel p 2:1 , és mind az algebrák , mind az SO(3; 1) + 6 dimenziós , a kernelnek 0 - dimenziósnak kell lennie , azaz {0}-nak. ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$
↑ Az exponenciális leképezés egy az egyhez az azonosságelem szomszédságában történik -ben , ezért a szuperpozíció , ahol σ a Lie algebra izomorfizmusa, az azonos elemet tartalmazó nyílt szomszédságban van. Egy ilyen szomszédság összekapcsolt komponenst hoz létre. ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ $\exp \circ \sigma \circ \log :{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SO}}(3;1)^{+}$ ${\displaystyle U\subset \mathrm {SO} (3;1)^{+))$
↑ Rossmann, 2002 ; A 2.1. szakasz 4. példájából. Ez a következőképpen érthető meg. A q mátrix sajátértékekkel rendelkezik : {-1, -1}, de nem diagonalizálható . Ha q = exp( Q ) , akkor Q sajátértékei λ , − λ c bizonyos k esetén, mivel az algebra elemeinek nincs nyomuk. De akkor Q diagonalizálható, ahonnan q átlózható, akkor ellentmondást kapunk. $\lambda =i\pi +2{\pi }ik$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$
↑ Rossmann, 2002 , 10. állítás, 6.3. bekezdés. A legegyszerűbb bizonyítás karakterelmélet segítségével
↑ Egy útvonalhoz kapcsolódó G csoport bármely diszkrét normál részcsoportja a G középpontjában található .
Hall, 2015 , 11. gyakorlat, 1. fejezet.
↑ Egy félig egyszerű Lie csoportnak nincs nem diszkrét normál Abel-alcsoportja . Ez felfogható a félegyszerűség definíciójának.
↑ Egy egyszerű csoportnak nincs nem diszkrét normál alcsoportja.
↑ . Ezzel szemben Weil trükkje, amelyet unitárius trükknek is neveznek, de nem kapcsolódik a fent leírt unitárius trükkhöz, azt mutatja, hogy minden véges dimenziós ábrázolás egységes vagy tehető egységessé. Ha (Π, V ) egy kompakt G Lie -csoport véges dimenziós reprezentációja , és ha (, ) valamely V belső szorzata , akkor az új belső szorzatot definiáljuk , ahol μ a Haar mértéke G -n . Ekkor Π unitér (·, ·) Π vonatkozásában . Lásd Hall könyvét ( Hall 2015 , 4.28. tétel). ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )_{\Pi ))$ $(x,y)_{\Pi }=\int _{G}(\Pi (g)x,\Pi (g)yd\mu (g)$
Egy másik következmény az, hogy bármely kompakt Lie csoport rendelkezik a teljes redukálhatósági tulajdonsággal , ami azt jelenti, hogy minden véges dimenziós reprezentációja irreducibilis reprezentációk közvetlen összegére bomlik . ( Hall 2015 , Definíció 4.24., Tétel 4.28.)

Az is igaz, hogy a kompakt Lie-csoportoknak nincsenek végtelen dimenziós irreducibilis egységes reprezentációi. Az állítást bizonyítás nélkül adja meg Greiner és Müller könyve ( Greiner, Müller 1994 , 15.2. szakasz).
↑ Hazugság, 2003. Lemma A.17(c). A kompakt halmaz zárt részhalmaza kompakt.
↑ Hazugság, 2003. Lemma A.17(a). Ha f : X → Y folytonos és X kompakt, akkor f ( X ) kompakt.
↑ A nem-egységesség fontos összetevője a Coleman-Mandula tétel bizonyításának , amiből az következik, hogy különben a nem-relativisztikus elméletekben a különböző spinű részecskék szokásos szimmetriái nem létezhetnek. Lásd Weinberg írását ( Weinberg 2000 )
↑ Ez Cartan tételének , a maximális súlytételnek az egyik következménye.
Hall, 2015 , Tételek 9.4–5.
↑ Hall, 2015 , 8.2. szakasz A gyökérrendszer az A 1 két másolatának uniója , ahol minden másolat a maga méretében van a beágyazott vektortérben.
↑ Rossmann, 2002 ; Ez a definíció egyenértékű az összekapcsolt Lie-csoport definíciójával, amelynek Lie algebra a gyökérrendszer Lie-algebrája.
↑ Ld. Simmons 1972 , 30. fejezet, hogy pontosan milyen feltételek mellett a két Frobenius-módszer két lineárisan független megoldást ad. Ha a kitevők nem térnek el egész számmal, akkor ez mindig megtörténik.
↑ "Ez nagyon közel áll a félig egyszerű és redukálható csoportok végtelen dimenziós transzformációinak elméletének forrásához..." , Langlands ( Langlands 1985 , 204. o.). Leglands egy bevezető megjegyzésre hivatkozik Dirac 1945-ös cikkében.
↑ Figyeljük meg, hogy egy H Hilbert - térhez HS( H ) kanonikusan definiálható a H Hilbert-tér és a duális tér tenzorszorzatával.
↑ Ha véges dimenzióra van szükség, az eredmény ( m , n ) reprezentáció, lásd Tung dolgozatát ( Tung 1985 , 10.8. feladat). Ha nincs szükség semmire, akkor az összes irreducibilis reprezentáció széles osztályozását kapjuk , beleértve a véges dimenziós és unitárius reprezentációkat is. Ezt a megközelítést alkalmazza Harish-Chandra írása ( Harish-Chandra 1947 ).

Források

↑ 1 2 Bargmann, Wigner, 1948 .
↑ 1 2 Bekaert, Boulanger, 2006 .
↑ I. M. Gelfand , M. A. Naimark , A Lorentz-csoport egységes reprezentációi , Izv. A Szovjetunió Tudományos Akadémia. Ser. Mat., 11:5 (1947), 411–504
↑ 1 2 Rossmann, 2002 , p. 6.1.
↑ Misner, Thorne, Wheeler, 1973 .
↑ Weinberg, 2002 , p. 2.5. szakasz, 5. fejezet.
↑ Tung, 1985 , p. 10.3., 10.5.
↑ Tung, 1985 , p. 10.4.
↑ Dirac 12 , 1945 .
↑ 1 2 3 4 5 Harish-Chandra, 1947 .
↑ Zwiebach, 2004 , p. 12.8. szakasz
↑ 1 2 Bekaert, Boulanger, 2006 , p. 48..
↑ Zwiebach, 2004 , p. 18.8. szakasz.
↑ 1 2 Greiner, Reinhardt, 1996 , p. 2. fejezet.
↑ Weinberg, 2002 , p. Előszó és bevezető a 7. fejezethez.
↑ Weinberg, 2002 , p. Bevezetés a 7. fejezetbe...
↑ Tung, 1985 , p. Meghatározás 10.11.
↑ Greiner és Müller 1994 , p. 1. fejezet.
↑ Greiner és Müller 1994 , p. 2. fejezet.
↑ Tung, 1985 , p. 203.
↑ Delbourgo, Salam, Strathdee, 1967 .
↑ Weinberg, 2002 , p. 3.3.
↑ Weinberg, 2002 , p. 7.4. szakasz
↑ Tung, 1985 , p. Bevezetés a 10. fejezetbe...
↑ Tung, 1985 , p. Meghatározás 10.12.
↑ Tung, 1985 , p. 10.5-2 egyenlet..
↑ Weinberg, 2002 , p. 5.1.6–7. egyenletek
↑ 1 2 Tung, 1985 , p. 10.5–18.
↑ Weinberg, 2002 , p. Egyenletek 5.1.11–12.
↑ Tung, 1985 , p. 10.5.3.
↑ Zwiebach, 2004 , p. 6.4.
↑ Zwiebach, 2004 , p. 7. fejezet.
↑ Zwiebach, 2004 , p. 12.5.
↑ Weinberg, 2000 , p. 25.2. szakasz
↑ Zwiebach, 2004 , p. Utolsó bekezdés, 12.6.
↑ Ezek a tények a legtöbb bevezető matematikai és fizikai szövegben megtalálhatók. Lásd például Rossmann ( Rossmann 2002 ), Hall ( Hall 2015 ) és Tung ( Tung 1985 ) könyveit.
↑ Hall, 2015 , p. 4.34. Tétel és az azt követő tárgyalás.
↑ 1 2 3 4 Wigner, 1939 .
↑ Hall, 2015 , p. D2. függelék.
↑ Greiner, Reinhardt, 1996 .
↑ Weinberg, 2002 , p. 2.6. szakasz, 5. fejezet.
↑ 1 2 Coleman, 1989 , p. harminc.
↑ 12 Hazugság , 1888 .
↑ Hazugság, 1890 .
↑ Hazugság, 1893 .
↑ Coleman, 1989 , p. 34.
↑ Gyilkosság, 1888 .
↑ 12 Rossmann , 2002 .
↑ Cartan, 1913 .
↑ Green, 1998 , p. 76.
↑ Brauer, Weyl, 1935 .
↑ 1 2 Tung, 1985 , p. bevezetés.
↑ Weyl, 1931 .
↑ Weyl, 1939 .
↑ Langlands, 1985 , p. 203–205.
↑ Clauder, 1999 .
↑ 1 2 3 Bargmann, 1947 .
↑ Bargman is matematikus volt . Albert Einstein asszisztenseként dolgozott a Princetoni Institute for Advanced Study -ban ( Klauder (1999 )).
↑ Dalitz, Peierls, 1986 .
↑ Dirac, 1928 .
↑ Weinberg, 2002 , p. 5.6.7–8. egyenletek
↑ Weinberg, 2002 , p. Egyenletek 5.6.9–11.
↑ 1 2 3 Hall, 2003 , p. 6. fejezet.
↑ 1 2 3 4 5 Knapp, 2001 .
↑ Ez Rossmann dolgozatának 10. tételének melléklete ( Rossmann 2002 , 6.3. szakasz, 10. állítás).
↑ 1 2 Knapp, 2001 , p. 32.
↑ Weinberg, 2002 , p. Egyenletek 5.6.16–17.
↑ Weinberg, 2002 , 5.6. szakasz; Az egyenlőség az 5.6.7–8. és az 5.6.14–15. egyenlőségből következik
↑ Weinberg, 2000 , p. 25.2.
↑ Tung 12. , 1985 .
↑ Weinberg, 2002 , p. o. lábjegyzet. 232.
↑ Rossmann, 2002 , p. 2.5.
↑ Hall, 2015 , p. 2.10. Tétel.
↑ Bourbaki, 1998 , p. 424..
↑ Weinberg, 2002 , p. 88 2.7.
↑ 1 2 3 4 5 Weinberg, 2002 , p. 2.7.
↑ Hall, 2015 , Függelék C.3.
↑ Wigner, 1939 , p. 27..
↑ Gelfand, Minlos, Shapiro, 1958 , p. A második rész 1. fejezete 1. szakaszának 4. §-a.
↑ Rossmann, 2002 , p. 2.1.
↑ Hall, 2015 , Elsőként megjelenített egyenletek a 4.6. szakaszban.
↑ Hall, 2015 , p. 4.10. példa.
↑ 1 2 Knapp, 2001 , p. 2. fejezet..
↑ Knapp, 2001 , p. 2.1 egyenlet.
↑ Hall, 2015 , p. 4.2 egyenlet...
↑ Hall, 2015 , p. 4.5 előtti egyenlet.
↑ Knapp, 2001 , p. 2.4 egyenlet.
↑ Knapp, 2001 , p. 2.3.
↑ Hall, 2015 , p. 9.4–5. tétel.
↑ Weinberg, 2002 , p. 5. fejezet.
↑ Hall, 2015 , p. 10.18. tétel.
↑ Hall, 2003 , p. 235.
↑ Tekintse meg a csoportelmélet alapjairól szóló szövegeket.
↑ Rossmann, 2002 , p. 3. és 6. javaslat 2.5.
↑ Hall, 2003 , p. 1. gyakorlat, 6. fejezet.
↑ Bekaert, Boulanger, 2006 , p. négy.
↑ Hall, 2003 , p. 1.20. javaslat.
↑ Hazugság, 2003 , p. Tétel 8.30..
↑ Weinberg, 2002 , p. 231 5.6.
↑ Weinberg, 2002 , p. 5.6.
↑ Weinberg, 2002 , p. 231.
↑ Weinberg, 2002 , p. 2.5., 5.7. szakasz.
↑ Tung, 1985 , p. 10.5.
↑ Weinberg, 2002 ; Ennek leírása (nagyon röviden) a 232. oldalon található, itt egy kicsit több, mint egy lábjegyzet.
↑ Hall, 2003 , p. 7.39.
↑ 1 2 Hall, 2003 , p. 7.40. tétel.
↑ Hall, 2003 , p. 6.6.
↑ Hall, 2003 , p. A 4.5. javaslat második pontja.
↑ Hall, 2003 , p. 219.
↑ Rossmann, 2002 , p. 3. gyakorlat, 6.5.
↑ Legyen H egy Hilbert-tér. A H vége a H - re ható korlátos lineáris operátorok Banach-algebrája . ( Uskova 2006 )
↑ Hall, 2003 , p. melléklet D.3.
↑ Weinberg, 2002 , p. 5.4.8. egyenlet.
↑ 1 2 3 Weinberg, 2002 , p. 5.4.
↑ Weinberg, 2002 , p. 215–216.
↑ Weinberg, 2002 , p. 5.4.6.
↑ Weinberg, 2002 , p. 5.7. szakasz, 232–233.
↑ Weinberg, 2002 , p. 5.7. szakasz, 233.
↑ Weinberg, 2002 , p. 2.6.5.
↑ Weinberg, 2002 , p. A következő egyenlet: 2.6.6.
↑ Weinberg, 2002 , p. 2.6. szakasz
↑ A spin 0 esetek részletes ismertetéséhez,egy2és 1 lásd Greiner és Reinhardt könyvét ( Greiner, Reinhardt 1996 ).
↑ Weinberg, 2002 , p. 3. fejezet.
↑ Rossmann, 2002 ; Lásd a 6.1 szakaszt a véges és a végtelen dimenziójúak további példáiért.
↑ Gelfand, Minlos, Shapiro, 1958 .
↑ Churchill, Brown, 2014 , p. 8. fejezet pp. 307-310..
↑ Gonzalez, Vasquez, 2014 , p. 3.
↑ Abramowitz, Stegun, 1965 , p. 15.6.5.
↑ Simmons, 1972 , p. 30., 31. szakasz...
↑ Simmons, 1972 , p. 30. szakaszok
↑ Simmons, 1972 , p. 31. szakasz
↑ Simmons, 1972 , p. 11. egyenlet az E. függelék 5. fejezetében.
↑ 1 2 Gelfand, Naimark, 1947 .
↑ Langlands, 1985 , p. 205..
↑ Varadarajan, 1989 , p. szakaszok 3.1. 4.1.
↑ Dirac, 1936 .
↑ Fierz, 1939 .
↑ Fierz, Pauli, 1939 .
↑ Langlands, 1985 , p. 203.
↑ Harish-Chandra, 1951 .
↑ Gelfand, Graev, 1953 .
↑ Varadarajan, 1989 , p. 4.1.
↑ Rühl, 1970 .
↑ Takahashi, 1963 .
↑ Helgason, 1968 .
↑ Helgason, 2000 .
↑ Jorgenson, Lang, 2008 .
↑ Gelfand, Graev, Pyatetsky-Shapiro, 1966 .
↑ Knapp, 2001 , p. II. fejezet
↑ 12 Taylor , 1986 .
↑ Knapp, 2001 , p. 2. fejezet: 2.12.
↑ Gelfand, Graev, 1953 .
↑ Takahashi, 1963 , p. 343..
↑ Knapp, 2001 , p. 2.24 egyenlet.
↑ Folland, 2015 , p. 3.1.
↑ Folland, 2015 , p. 5.2. Tétel.
↑ Tung, 1985 , p. 10.3.3.
↑ Harish-Chandra, 1947 , p. Lábjegyzet p. 374.
↑ Tung, 1985 , p. 7.3–13., 7.3–14.
↑ Harish-Chandra, 1947 , p. 8. egyenlet.
↑ Hall, 2015 , p. Javaslat C.7.
↑ Hall, 2015 , p. Függelék C.2.
↑ Tung, 1985 , p. II. lépés, 10.2.
↑ Tung, 1985 , 10.3 egyenletek; A Clebsch–Gordan együtthatók Tanga-jelölése eltér az itt használtaktól.
↑ Harish-Chandra, 1947 , p. 375.
↑ Tung, 1985 , p. VII-3 egyenlet.
↑ Tung, 1985 , p. 10.3–5., 7., 8. egyenletek.
↑ Tung, 1985 , p. VII-9 egyenlet..
↑ Tung, 1985 , p. VII-10., 11. egyenletek.
↑ Tung, 1985 , p. Egyenletek VII-12.
↑ Tung, 1985 , p. VII-13 egyenletek..
↑ Weinberg, 2002 , p. 2.4.12 egyenlet.
↑ Weinberg, 2002 , p. 2.4.18–2.4.20 egyenletek.
↑ Weinberg, 2002 , p. Egyenlőség 5.4.19, 5.4.20.

Irodalom

Gonzalez PA, Vasquez Y. Dirac Az új típusú fekete lyukak kvázinormális módjai az új tömeges gravitációban // Eur. Phys. JC - Berlin Heidelberg: Springer, 2014. - T. 74:2969 . - S. 3 . — ISSN 1434-6044 . - doi : 10.1140/epjc/s10052-014-2969-1 . - Iránykód . - arXiv : 1404.5371v2 .
Abramowitz M., Stegun IA Matematikai függvények kézikönyve: képletekkel, grafikonokkal és matematikai táblázatokkal . - New York: Dover Publications , 1965. - (Dover Books on Mathematics). — ISBN 978-0486612720 .
Bargmann V. A Lorenz-csoport redukálhatatlan egységes reprezentációi // Ann. of Math .. - 1947. - T. 48 , no. 3 . - S. 568-640 . - doi : 10.2307/1969129 . — . (az SO(2,1) és SL(2, R) csoportok ábrázoláselmélete; a második rész a bevezetőben írt SO(3; 1) és SL(2, C) kérdésekkel foglalkozik, de a rész nem megjelent).
Bargmann V., Wigner EP Group a relativisztikus hullámegyenletek elméleti tárgyalása . — Proc. Natl. Acad. sci. USA. - 1948. - T. 34. - S. 211-223. - doi : 10.1073/pnas.34.5.211 .
Bourbaki N. Hazugságcsoportok és hazugságalgebrák: 1-3. fejezet . - Springer, 1998. - ISBN 978-3-540-64242-8 .
Brauer R. , Weyl H. Spinors n dimenzióban // Amer. J. Math .. - 1935. - T. 57 , no. 2 . - S. 425-449 . - doi : 10.2307/2371218 .
Bäuerle GGA, de Kerf EA Véges és végtelen dimenziós Lie algebrák és alkalmazása a fizikában / A. van Groesen, EM de Jager. - North-Holland, 1990. - Vol. 1. - (Tanulmányok a matematikai fizikából). — ISBN 0-444-88776-8 .
Bäuerle GGA, de Kerf EA, ten Kroode APE Véges és végtelen dimenziós Lie algebrák és alkalmazása a fizikában / A. van Groesen, EM de Jager. - Észak-Holland, 1997. - V. 7. - (Matematikai fizika tanulmányai). — ISBN 978-0-444-82836-1 .
Les groupes projectifs qui ne laissant invariante aucun multiplicité plane (Fr) // Bull. szoc. Matek.. - 1913. - T. 41 . - S. 53-96 .
Churchill RV, Brown JW Komplex változók és alkalmazások. — 9. — New York: McGraw–Hill, 2014. — ISBN 978-0073-383-170 .
Coleman AJ Minden idők legnagyobb matematikai dolgozata // A matematikai intelligencia . - Springer-Verlag, 1989. - 20. évf. 11 , iss. 3 . - P. 29-38 . — ISSN 0343-6993 . - doi : 10.1007/BF03025189 .
Dalitz RH, Rudolf Peierls. Paul Adrien Maurice Dirac. 1902. augusztus 8. – 1984. október 20. // Biogr. Mem. Fellows R. Soc .. - 1986. - T. 32 . - S. 138-185 . - doi : 10.1098/rsbm.1986.0006 .
Delbourgo R., Salam A., Strathdee J. Harmonikus elemzés a homogén Lorentz-csoport szempontjából // Physics Letters B. - 1967. - Vol. 25 , no. 3 . - S. 230-232 . - doi : 10.1016/0370-2693(67)90050-0 . - .
Dirac PAM Az elektron kvantumelmélete // Proc. Roy. szoc. A. _ - 1928. - T. 117 , sz. 778 . - S. 610-624 . - doi : 10.1098/rspa.1928.0023 . - .
Dirac PAM Relativisztikus hullámegyenletek // Proc. Roy. szoc. A. _ - 1936. - T. 155 , sz. 886 . - S. 447-459 . - doi : 10.1098/rspa.1936.0111 . - .
Dirac PAM A Lorentz-csoport egységes reprezentációi // Proc. Roy. szoc. A. _ - 1945. - T. 183 , sz. 994 . - S. 284-295 . - doi : 10.1098/rspa.1945.0003 . - .
Dixmier J., Malliavin P. Factorisations de fonctions et de vecteurs indéfiniment différentiables (Fr) // Bull. Sc. Matek.. - 1978. - T. 102 . - S. 305-330 .
Fierz M. Über die relativistische theorie Kräftefreier teilchen mit beliebigem spin (német) // Helv. Phys. acta. - 1939. - T. 12 , sz. 1 . - S. 3-37 . - doi : 10.5169/tömítések-110930 .
Fierz M., Pauli W. Az elektromágneses térben tetszőleges spinű részecskék relativisztikus hullámegyenleteiről // Proc. Roy. szoc. A. _ - 1939. - T. 173 , sz. 953 . - S. 211-232 . - doi : 10.1098/rspa.1939.0140 . - .
Folland G. Tanfolyam az absztrakt harmonikus elemzésből. — 2. - CRC Press , 2015. - ISBN 978-1498727136 .
Fulton W. , Harris J. Reprezentációs elmélet. Egy első tanfolyam. - New York: Springer-Verlag, 1991. - V. 129. - (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-97495-8 .
Gelfand I.M., Graev M.I. Egy általános módszerről egy hazugság-csoport szabályos reprezentációjának irreducibilis reprezentációkra való felbontására // A Szovjetunió Tudományos Akadémiájának jelentései . - 1953. - T. 92 . - S. 221-224 .
Gel'fand I.M., Graev M.I., Vilenkin N. Ya. IV. fejezet Harmonikus elemzés a másodrendű komplex unimoduláris mátrixok csoportján // Integrálgeometria és az ábrázoláselmélet kapcsolódó problémái. - M . : Állam. Fizikai és Matematikai Kiadó. Lit-ry., 1962. - S. 276-288. — (Általános funkciók).
Gel'fand I. M. , Graev M. I. , Pyatetsky-Shapiro I. I. Reprezentációs elmélet és automorf függvények. - "Nauka" Fizikai és matematikai irodalom főkiadása, 1966. - (Általános függvények).
Gelfand I. M. , Minlos R. A. , Shapiro Z. Ya. A rotációs csoportok és Lorentz-csoportok ábrázolásai, alkalmazásaik. - M .: Nauka, 1958.
Gelfand IM , Naimark MA A Lorentz csoport egységes reprezentációi . - Izv. Szovjetunió Tudományos Akadémia szer. Mat.. - 1947. - T. 11. - S. 411-504.
Richard Dagobert Brauer // Életrajzi emlékek . - National Academy Press, 1998. - T. 75. - S. 70-95. — (Életrajzi emlékek). — ISBN 978-0309062954 .
Greiner W. , Müller B. Kvantummechanika: Szimmetriák. - Springer, 1994. - ISBN 978-3540580805 .
Greiner W. , Reinhardt J. Field Quantization. - Springer, 1996. - ISBN 3-540-59179-6 .
Harish Chandra. A Lorentz-csoport végtelen irreducibilis reprezentációi // Proc. Roy. szoc. A. _ - 1947. - T. 189 , sz. 1018 . - S. 372-401 . - doi : 10.1098/rspa.1947.0047 . - .
Harish Chandra. Plancherel-képlet összetett, félig egyszerű Lie-csoportokhoz // Proc. Natl. Acad. sci. USA. - 1951. - T. 37 , sz. 12 . - S. 813-818 . - doi : 10.1073/pnas.37.12.813 . - Iránykód .
Brian C Hall. Hazugságcsoportok, hazugságalgebrák és ábrázolások: elemi bevezető. — 1. - Springer, 2003. - V. 222. - (Matematika érettségi szövegek). — ISBN 0-387-40122-9 .
Brian C Hall. Hazugságcsoportok, hazugság-algebrák és reprezentációk: elemi bevezetés. — 2. - Springer, 2015. - V. 222. - (Matematika érettségi szövegek). — ISBN 978-3319134666 . - doi : 10.1007/978-3-319-13467-3 .
Helgason S. Hazugságcsoportok és szimmetrikus terek. - Benjamin, 1968. - S. 1-71. – (Battelle Rencontres). (Általános bevezető fizikusoknak)
Helgason S. Csoportok és geometriai elemzés. Integrált geometria, invariáns differenciáloperátorok és gömbfüggvények (az 1984-es eredeti javított reprintje). - American Mathematical Society, 2000. - V. 83. - (Mathematical Surveys and Monographs). — ISBN 0-8218-2673-5 .
Jorgenson J., Lang S. A hőmag és a théta inverziója SL(2, C ). - Springer, 2008. - (Springer-monográfiák a matematikából). - ISBN 978-0-387-38031-5 .
Wilhelm Killing . Die Zusammensetzung der stetigen/endlichen Transformationsgruppen (német) // Mathematische Annalen. - 1888. - T. 31 , sz. 2 (június) . - S. 252-290 . - doi : 10.1007/bf01211904 .
Bevezetés a hazugságcsoportokba és a hazugságalgebrákba . - Cambridge University Press, 2008. - V. 113. - (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). — ISBN 978-0521889698 .

Klauder JR életrajzi emlékei . - National Academy Press, 1999. - T. 76. - S. 37-50. — (Életrajzi emlékek). - ISBN 0-309-06434-1 .
Anthony W. Knapp. Félig egyszerű csoportok reprezentációelmélete. Áttekintés példák alapján. - Princeton University Press, 2001. - (Princeton Landmarks in Mathematics). — ISBN 0-691-09089-0 . (Elemi bevezetés az SL(2, C ) csoportba)
Langlands RP Harish-Chandra // Biogr. Mems Fell .. - R. Soc., 1985. - T. 31 . - S. 198-225 . - doi : 10.1098/rsbm.1985.0008 .
Sophus hazugság . Bevezetés a Smooth elosztókba. - 2003. - T. 218. - (Tavaszi érettségi szövegek matematikából). — ISBN 0-387-95448-1 .
Sophus hazugság . Theorie der Transformationsgruppen I (1888), II (1890), III (1893). — 1888.
Sophus hazugság . Theorie der Transformationsgruppen II (1890). — 1890.
Sophus hazugság . Theorie der Transformationsgruppen III (1893). — 1893.
Charles W. Misner , Kip. S. Thorne , John A. Wheeler . Gravitáció . - W. H. Freeman, 1973. - ISBN 0-7167-0344-0 .
- Mizner Ch., Thorn K., Wheeler J. Gravity. - M . : Mir, 1977. - T. 1.
- Mizner Ch., Thorn K., Wheeler J. Gravity. - M . : Mir, 1977. - T. 3.
- Mizner Ch., Thorn K., Wheeler J. Gravity. - M . : Mir, 1977. - T. 1.

Naimark M. A. A Lorentz-csoport lineáris ábrázolásai. - M . : Állam. Fizikai-matematikai irodalomból, 1958.
Wolf Rossmann. Hazugságcsoportok – Bevezetés a lineáris csoportokon keresztül. - Oxford Science Publications, 2002. - (Oxford Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0 19 859683 9 .
Rühl W. A Lorentz-csoport és a harmonikus elemzés. - Benjamin, 1970. (Részletes előadás fizikusoknak)
Simmons G.F. Differenciálegyenletek alkalmazásokkal és történelmi megjegyzésekkel. - TM H. - New Dheli: Tata McGra–Hill Publishing Company Ltd. , 1972. - ISBN 0-07-099572-9 .
Elias M. Stein. Csoportreprezentációk analitikus folytatása // Előrelépések a matematikában .. - 1970. - T. 4 . - S. 172-207 . - doi : 10.1016/0001-8708(70)90022-8 . (James Whitmore előadása a Yale Egyetemen 1967-ben)

Takahashi R. Sur les représentations unitaires des groupes de Lorentz généralisés (Fr) // Bull. szoc. Math. Franciaország. - 1963. - T. 91 . - S. 289-433 .
Taylor ME 9. fejezet, SL(2, C ) és általánosabb Lorentz-csoportok // Noncommutative harmonic analysis. - American Mathematical Society, 1986. - V. 22. - (Mathematical Surveys and Monographs). - ISBN 0-8218-1523-7 .
Wu Ki Tung. Csoportelmélet a fizikában. – New Jersey London, Singapore Hong Kong: World Scientific , 1985. – ISBN 978-9971966577 .
Varadarajan VS Bevezetés a félig egyszerű hazugságcsoportok harmonikus elemzésébe. - Cambridge University Press , 1989. - ISBN 978-0521663625 .
Weinberg S. Alapítványok. - Cambridge: Cambridge University Press , 2002. - Vol. 1. - (The Quantum Theory of Fields). — ISBN 0-521-55001-7 .
Weinberg S. Szuperszimmetria. — 1. - Cambridge: Cambridge University Press, 2000. - V. 3. - (The Quantum Theory of Fields). — ISBN 978-0521670555 .
Weyl H. A klasszikus csoportok. Invariánsaik és reprezentációik . - Princeton University Press , 1939. - ISBN 978-0-691-05756-9 .
Weyl H. A csoportok elmélete és a kvantummechanika. - Dover, 1931. - ISBN 0-486-60269-9 .
Wigner EP Az inhomogén Lorentz-csoport egységes reprezentációiról // Annals of Mathematics . - 1939. - T. 40 , sz. 1 . - S. 149 204 . - doi : 10.2307/1968551 . - . .
Zwiebach B. Első húrelméleti kurzus. - Cambridge University Press , 2004. - ISBN 0 521 83143 1 .
Uskova N.B. Egy félig egyszerű sajátérték közelítéséről // VESTNIK VGU. - 2006. - Kiadás. 1 .
Lomsadze Yu. M. Csoportelméleti bevezetés az elemi részecskék elméletébe. - M . : Felsőiskola, 1962. - 186 p. - 13.000 példány.