Anti-hermitikus mátrix

A matematikában az antihermitikus vagy ferde-hermitiánus mátrix egy A négyzetmátrix , amelynek hermitikus konjugációja megváltoztatja az eredeti mátrix előjelét:

A^{\dagger }=-A,

vagy elemről elemre:

a_{i,j}=-{\overline {a_{j,i))},

ahol a szám összetett ragozását jelöli . $\overline{x}$ $x$

Tulajdonságok

A B mátrix akkor és csak akkor hermitikus , ha az i B mátrix antihermitikus. Ez azt jelenti, hogy ha A antihermitikus, akkor a ±iA mátrixok hermitikusak. Valamint bármely anti-hermitikus A mátrix ábrázolható úgy, hogy A = i B , ahol B a hermitiánus. Így az antihermitikus mátrixok tulajdonságai kifejezhetők a hermitikus mátrixok tulajdonságaival és fordítva.
Az A mátrix akkor és csak akkor antihermitiánus bármely vektorra és (a forma antihermitiánus). $X^{\dagger }A^{\dagger }Y=-X^{\dagger }AY$ $x$ $Y$ $X^{\dagger }AY$
Az antihermitiánus mátrixokat összeadás, valós számmal való szorzás, páratlan hatványra emelés, inverzió (nem szinguláris mátrixok) zárják.
Az antihermitikus mátrixok normálisak .
Az anti-hermitikus mátrix egyenletes ereje a hermitiánus mátrix. Különösen, ha anti-hermitista, akkor remete. $A$ $A^{2}$
Az antihermitikus mátrix sajátértékei vagy nullák, vagy tisztán képzeletbeliek .
Bármely négyzetmátrix ábrázolható egy hermitiánus és egy antihermitikus mátrix összegeként:

M=M_{h}+M_{a}

, ahol

M_{h}={\frac {1}{2}}(M+M^{\tőr })

- remete,

M_{a}={\frac {1}{2}}(MM^{\tőr })

- antiremetikus.

Az antihermitikus mátrixok alkotják a Lie csoport Lie algebráját . ${\mathfrak {u}}(n)$ $ENSZ)$

Bármely olyan komplex szám esetén , ahol , egy az egyhez megfeleltetés van az olyan unitárius mátrixok között , amelyek sajátértéke nem egyenlő a -val, és az antihermitiánus mátrixok között, amelyeket a Cayley-képletek adnak meg: $\lambda$ $|\lambda |=1$ $U$ $a$ $A$

U=\lambda (AI)(A+I)^{-1},

A=\lambda (aI+U)(aI-U)^{-1},

én

Különösen, ha :

\lambda =-1

U=(IA)(I+A)^{-1},

A=(NE)(I+U)^{-1}.