Hermitikus konjugált mátrix

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. december 15-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A hermitiánus konjugált mátrix vagy a konjugált-transzponált mátrix egy olyan mátrix * , amely az eredeti mátrixból kapott összetett elemeket úgy kapja meg, hogy az egyes elemeket a komplex konjugátumával transzponálják és helyettesítik . $A$ $A$

A hermitikus konjugált mátrixok nagyjából ugyanazt a szerepet játszanak a komplex vektorterek vizsgálatában, mint a transzponált mátrixok valós terek esetében.

Definíció és jelölés

Ha az eredeti mátrix mérete , akkor a k hermitikus konjugátumának mérete lesz, és a th eleme egyenlő lesz: $A$ $m\szer n$ $A$ $A^{*}$ $n \x m,$ $(i, j)$

\left(A^*\right)_{ij} = \overline{A_{ji}},

ahol a k komplex konjugált számot jelöli (a k konjugált szám , ahol és valós számok ). $\overline{z}$ $z$ $a+bi$ $a-bi$ $a$ $b$

Ellenkező esetben ez a meghatározás a következőképpen írható át:

$A^{*}=\left({\overline {A}}\right)^{\text{T}}={\overline {{A}^{\text{T}}}}.$

A Hermitian konjugált mátrixot általában vagy ( H az angol Hermitian - Hermitian szóból) jelölik, de néha más jelöléseket is használnak: $A^{*}$ $A^H$

$A^{\tőr}$ - a kvantummechanikában ;
$A^+$ - de ez a jelölés összetéveszthető a pszeudoinverz mátrix jelölésével .

Példa

Ha egy

A = \begin{bmatrix} 3 + i & 5 \\ 2-2i & i \end{bmátrix}

akkor

A^* = \begin{bmatrix} 3-i & 2+2i \\ 5 & -i \end{bmátrix}.

Kapcsolódó definíciók

Ha egy mátrix valós számokból áll , akkor a hermitikus konjugált mátrixa csak egy transzponált mátrix : $A$

A^* = A^T,

a_{ij} \in \mathbb{R}.

A négyzetmátrix neve: $A$

Hermitian if ; $A^*=A$
antihermitikus vagy ferde-hermitikus , ha ; $A^* = -A$
normális ha ; $A^*A = AA^*$
egységes if , hol van az identitásmátrix . $A^*A = AA^* = I$ $én$

Tulajdonságok

$(A + B)^* = A^* + B^*$ bármely két mátrixra és azonos méretekre. $A$ $B$
$(cA)^* = \overline{c} A^*$ bármilyen összetett skalárhoz . $c \in \mathbb{C}$
$(AB)^* = B^* A^*$ minden mátrixra és úgy, hogy a szorzatuk definiálva legyen . Figyeljük meg, hogy az egyenlőség jobb oldalán a mátrixszorzás sorrendje megfordul. $A$ $B$ $AB$
$(A^*)^* = A$ bármely mátrixhoz . $A$
A sajátértékek , a determináns és a nyom a Hermitian konjugált mátrix konjugátumára módosul az eredetihez képest.
$A$ akkor és csak akkor invertálható , ha a mátrix invertálható . Ahol: $A^{*}$ $(A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}$
$\langle Ax, y\rangle = \langle x,A^* y \rangle$ bármilyen méretű mátrixra és tetszőleges vektorra és . A jelölés a vektorok standard pontszorzatát jelöli egy komplex vektortérben. $A$ $m\szer n$ $x \in \mathbb{C}^n$ $y \in \mathbb{C}^m$ $\langle\cdot,\cdot\rangle$
A és mátrixok hermitikusak és pozitív félig meghatározottak bármely mátrixra (nem feltétlenül négyzetre). Ha négyzet és nem degenerált, akkor ez a két mátrix pozitív-határozott lesz. $AA^*$ $A^*A$ $A$ $A$

Lásd még

Az adjungált operátor a végtelen dimenziós terekre vonatkozó hermiti konjugált mátrix fogalmának általánosítása.

Linkek

Weisstein, Eric W. Conjugate Transpose (angol) a Wolfram MathWorld weboldalán .

Vektorok és mátrixok

Vektorok

Alapfogalmak	Vektor a geometriában Alap Ortogonális alap Vektor koordináták Kollinearitás Ortogonalitás Lineáris függőség Oszlopköz
A vektorok fajtái	Egységvektor Axiális vektor izotróp vektor Normál Kollinearitás Nulla vektor Sugár vektor Sajátvektor
Műveletek vektorokon	Skaláris szorzat vektor termék vegyes termék Pszeudoszkaláris termék Kettős kereszttermék
Tértípusok	vektor tér affin tér Euklideszi tér Pszeudoeuklideszi tér Normált tér Minkowski tér

mátrixok

Alapfogalmak	Mátrixszorzás Transzponált mátrix Hermitikus konjugált mátrix Szimmetrikus mátrix inverz mátrix Sajátérték Mátrix karakterisztikus polinomja
Speciális mátrixok	Identitásmátrix Nulla mátrix Átlós mátrix lambda mátrix
Mátrix dekompozíciók	LU bomlás Cholesky-bomlás QR-bontás LUP bomlás szinguláris érték felbontás Mátrix spektrális lebontása

Egyéb