Poláris bomlás

A poláris dekompozíció egy négyzetes mátrix reprezentációja hermitikus és unitárius mátrixok szorzataként . Ez egy analógja bármely komplex szám felbomlásának a formában . $A$ $S$ $U$ $A=SU$ $z=|z|e^{i\varphi }$

Tulajdonságok

Bármilyen négyzetes mátrix a fölött (felett ) ábrázolható , ahol szimmetrikus (hermitikus) nemnegatív határozott mátrix, ortogonális ( egységes) mátrix. Ha a mátrix nem degenerált , akkor az ilyen ábrázolás egyedi [1] . $A$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $A=SU$ $S$ $U$ $A$
Bármely mátrix ábrázolható , ahol és unitárius mátrixok, átlós mátrix [ 1] . $A$ $A=UDW$ $U$ $W$ $D$
Ha egy nem degenerált mátrix poláris kiterjesztései , akkor [1] . $A=S_{{1}}U_{{1}}=S_{{2}}U_{{2}}$ $A$ $U_{{1}}=U_{{2}}$

Létezés

Bizonyítsuk be, hogy bármely felül négyzetes mátrix ábrázolható egy szimmetrikus nemnegatív határozott mátrix és egy ortogonális mátrix szorzataként. $A$ $\mathbb {R}$

Mivel a mátrix szimmetrikus. A mátrix ortonormális sajátvektoraiból áll [2] egy bázis, amelyet jelölhetünk a sajátértékek csökkenő sorrendjében. ${\left(A^{T}A\right)}^{T}=A^{T}A$ $A^TA$ $\vec{e}$ $A^TA$

Mivel , akkor bármely vektorra és bázisra . Ez azt jelenti, hogy a bázis képe a transzformációhoz képest ortogonális (az alap vektorai közötti szögek megmaradnak, de azok hossza nem). A transzformáció során a bázisvektorok vektorokká alakulnak . $(A^T(x), y) = (x, A(y))$ $e_{i}$ $e_j$ $e$ $\lambda_i (\vec{e_i}, \vec{e_j})=(A^TA(\vec{e_i}), \vec{e_j})=(A(\vec{e_i}), A(\vec{ e_j}))$ $\vec{e}$ $A$ $A$ $\vec{e_i}$ $e$ $\sqrt{\lambda_i} \vec{e_k}$

A mátrix szinguláris értékei a mátrix sajátértékeinek négyzetgyökei . $A$ $\sqrt{\lambda_i}$ $A^TA$

Ezért nyilvánvaló, hogy . Mivel a vizsgált bázisban a vektorok sajátértékeik csökkenő sorrendjében vannak elrendezve, létezik olyan szám , hogy . $\lambda_i \ge 0$ $r$ $\forall i \le r \rightarrow \lambda_i > 0$

Legyen egy vektorrendszer -nél , tetszőlegesen kiegészítve egy ortonormális bázissal. Legyen az átmenet mátrixa bázisról bázisra . Mivel mindkét bázis ortonormális, a mátrix ortogonális. Mivel a mátrix sajátvektorainak van ortonormális bázisa . Ez azt jelenti, hogy a bázis mátrixának átlós alakja van, ezért szimmetrikus egy tetszőleges ortonormális bázisban. $f$ $\vec{f_i} = {{\vec{A(e_i)}} \over {\sqrt{\lambda_i}}}$ $i < r$ $K$ $e$ $f$ $K$ $Q^{-1} A(e_i) = Q^{-1} \left( \sqrt{\lambda_i} f_i\right)=\sqrt{\lambda_i}e_i$ $Q^{-1} A$ $Q^{-1} A$ $\vec{e}$

Tehát, ahol a mátrix ortogonális, a mátrix pedig szimmetrikus. $A=QQ^{-1}A=Q(Q^{-1}A)$ $K$ $Q^{-1} A$

Jegyzetek

↑ 1 2 3 Lineáris algebra feladatai és tételei, 1996 , p. 224.
↑ egy szimmetrikus mátrix sajátértékei

Irodalom

Prasolov VV Lineáris algebra feladatai és tételei. — M .: Nauka, 1996. — 304 p. - ISBN 5-02-014727-3 .