Clebsch-Gordan együtthatók

A Clebsch-Gordan együtthatók a kvantummechanikai szögmomentumok kölcsönhatásának leírásában találnak alkalmazást. Ezek a teljes impulzusimpulzus sajátfüggvényeinek tágulási együtthatói az összegzett szögimpulzus sajátfüggvényeinek alapja szempontjából. A Clebsch-Gordan együtthatók a spin-pálya kölcsönhatás kiszámításához, valamint az izospin formalizmushoz használatosak .

A Clebsch-Gordan együtthatók Alfred Clebsch (1833-1872) és Paul Albert Gordan (1837-1912) nevéhez fűződik.

A szögimpulzus kölcsönhatása

Lásd még a Momentum operátor című cikket .

Tekintsünk két és szögnyomatékot , amelyeknek kvantumszámai és ( -komponens) és és . Ebben az esetben , és vegye az értékeket , ill. A szögnyomatékok ingáznak , ami azt jelenti, hogy mindkettő egyidejűleg bármilyen pontossággal mérhető. Minden impulzusmomentum megfelel a saját sajátfüggvény-alapjának (vektornak): vagy . A bázisban a momentum egyszerű átlós alakot vesz fel, hasonlóan a bázisban . $J_{1}$ $J_{2}$ $j_{1}$ $m_1$ $z$ $j_{2}$ $m_2$ $m_1$ $m_2$ $m_{1}=[-j_{1},\;\ldots ,\;j_{1}]$ $m_{2}=[-j_{2},\;\ldots ,\;j_{2}]$ $[J_{1},\;J_{2}]=0$ $\left|j_{1},\;m_{1}\right\rangle$ $\left|j_{2},\;m_{2}\right\rangle$ $\left|j_{1},\;m_{1}\right\rangle$ $J_{1}$ $J_{2}$ $\left|j_{2},\;m_{2}\right\rangle$

Kölcsönhatáskor mind a szögimpulzus, mind az összeadás egy közös nyomatékot ad , amelynek kvantumszámai és , a következő értékeket véve $J_{1}$ $J_{2}$ ${\vec {J}}={\vec {J_{1}}}+{\vec {J_{2}}}$ $J$ $M$

|j_{1}-j_{2}|\leqslant J\leqslant |j_{1}+j_{2}|

és (az 1. lépéssel).

M=[-J,\;\ldots ,\;J]

Mivel a teljes szögimpulzus két különálló szögnyomatékból és -ből áll , ezért az egyedi nyomatékok két sajátos terének szorzatának terében bővíthető: $J_{1}$ $J_{2}$

\left|j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\right\rangle =\left|j_{1},\;m_{1} \right\rangle \otimes \left|j_{2},\;m_{2}\right\rangle .

Ennek a bázisnak a vektorai azonban nem lesznek a teljes szögimpulzus sajátvektorai, és ebben a bázisban való ábrázolása nem lesz egyszerű átlós alakban. ${\vec {J}}$

A teljes szögimpulzus sajátvektorainak alapja

A lendületi sajátvektorokat a , , és kvantumszámok egyedileg határozzák meg . Ezen vektorok alapján a teljes nyomaték egyszerű átlós alakot ölt. Ugyanis ${\vec {J}}$ $J$ $M$ $j_{1}$ $j_{2}$ $J$

{\vec {J}}\,^{2}\left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle =J(J+1)\ hbar ^{2}\left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle ;

J_{z}\left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle =M\hbar \left|J,\;M,\;j_{ 1},\;j_{2}\right\rangle .

A Clebsch-Gordan együtthatók unitárius transzformációval átmenetet adnak az egyedi momentumok sajáttereinek szorzatának bázisáról a sajátvektorok bázisára . $\left|j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\right\rangle$ $\left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle$

\left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle =\sum _{m_{1},\;m_{2}}\left|j_ {1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\right\rangle \langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\ ;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle .

Itt vannak a Clebsch-Gordan együtthatók. $\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2 }\rangle$

A Clebsch-Gordan együtthatók tulajdonságai

A Clebsch-Gordan együtthatók nullával egyenlőek, ha a két feltétel egyike nem teljesül : ${\displaystyle |j_{1}-j_{2}|\leqslant J\leqslant j_{1}+j_{2))$ ${\displaystyle M=m_{1}+m_{2))$

\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2 }\rangle \neq 0\quad \Rightarrow \quad |j_{1}-j_{2}|\leqslant J\leqslant j_{1}+j_{2}\;\wedge \;M=m_{1}+ m_{2}.

A Clebsch-Gordan együtthatók valós számokkal vannak megadva:

\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2 }\rangle \in \mathbb {R} .

A Clebsch-Gordan együttható értéke pozitív: $M=J$

\langle j_{1},\;j_{1};\;j_{2},\;J-j_{1}\vert J,\;J,\;j_{1},\;j_ {2}\rangle >0.

A Clebsch-Gordan együtthatók abszolút értékben egyenlőek : $M=-M$

\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2 }\rangle =(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1},\;-m_{1};\;j_{2},\;-m_{2 }\vert J,\;-M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle .

A Clebsch-Gordan együtthatók teljesítik az ortogonalitási feltételt:

\sum _{m_{1},\;m_{2}}\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J, \;M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle \langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J' ,\;M',\;j_{1},\;j_{2}\rangle =\delta _{JJ'}\delta _{MM'}.

A Clebsch-Gordan együtthatók teljesítik az ortogonalitási feltételt:

\sum _{J,\;M}\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\; j_{1},\;j_{2}\rangle \langle j_{1},\;m'_{1};j_{2},\;m'_{2}\vert J,\;M, \;j_{1},\;j_{2}\rangle =\delta _{m_{1}m'_{1}}\delta _{m_{2}m'_{2}}.

A Clebsch-Gordan együtthatók számítása

Az és a sajátállapot közvetlenül az alkotó momentumok sajáttereinek szorzata alapján kapjuk meg (csak az egyik együttható 1, a többi nulla) ${\displaystyle J=j_{1}+j_{2))$ $M=J$

|j_{1}+j_{2},\;j_{1}+j_{2},\;j_{1},\;j_{2}\rangle =|j_{1},\; j_{1};\;j_{2},\;j_{2}\rangle .

A dekrement operátor alkalmazásával lekérheti a -tól állapotokat , vagy az összes állapotot a és -tól . ${\displaystyle J_{-}=J_{1\,-}+J_{2\,-))$ $|j_{1}+j_{2},\;j_{1}+j_{2}-1,\;j_{1},\;j_{2}\rangle$ $|j_{1}+j_{2},\;-j_{1}-j_{2},\;j_{1},j_{2}\rangle$ ${\displaystyle J=j_{1}+j_{2))$ ${\displaystyle M=-J,\;\ldots ,\;J=-j_{1}-j_{2},\;\ldots ,\;j_{1}+j_{2))$

Az állapotot az állapotra való ortogonalitás feltételéből és abból az egyetértésből kaphatjuk meg, hogy a Clebsch-Gordan együttható at pozitív. $|j_{1}+j_{2}-1,\;j_{1}+j_{2}-1,\;j_{1},\;j_{2}\rangle$ $|j_{1}+j_{2},\;j_{1}+j_{2}-1,\;j_{1},\;j_{2}\rangle$ $M=J$

A csökkentés operátort alkalmazva ismét megkaphatjuk az összes állapotot -val . Ezt az eljárást iteratívan alkalmazhatja az összesre legfeljebb . $J=j_{1}+j_{2}-1$ $M=-j_{1}-j_{2}+1,\;\ldots ,\;j_{1}+j_{2}-1$ $J$ $J=|j_{1}-j_{2}|$

A gyakorlatban a Clebsch-Gordan együtthatók kiszámítása a következő képlet szerint történik:

\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2 }\rangle ={\sqrt {2j+1}}{\sqrt {\Delta _{j_{1}j_{2}j}}}{\sqrt {\dfrac {(j_{1}+m_{1} )!(jm)!}{(j_{1}-m_{1})!(j_{2}+m_{2})!(j_{2}-m_{2})!(j+m)! }}}\times

\times \sum _{s=\max(m_{1}+m_{2},\;j_{1}-j_{2})}^{j}{\dfrac {(-1)^ {j_{1}+m_{2}-s}(j+s)!(j_{2}+s-m_{1})!}{(js)!(s-m_{1}-m_{2 })!(s-j_{1}+j_{2})!(j_{1}+j_{2}+s+1)!}},

ahol

\Delta _{j_{1}j_{2}j}={\frac {(j_{1}+j_{2}-j)!(j_{2}+j-j_{1})! (j+j_{1}+j_{2}+1)!}{(j_{1}-j_{2}+j)!}}.

Ha egész szám, akkor ebben a képletben az összegzést egész értékek felett hajtjuk végre , ha pedig fél egész szám, akkor az összegzést fél egész értékek felett hajtjuk végre . ${\displaystyle j_{1}-j_{2))$ $s$ ${\displaystyle j_{1}-j_{2))$ $s$

A transzformációs csoport Clebsch-Gordan együtthatói (általánosított Clebsch-Gordan együtthatók)

Tekintsünk egy csoportot és annak reprezentációját . Válasszunk ennek a csoportnak bázisvektorait és irreducibilis reprezentációit is . Irreducibilis tenzor operátornak ( irreducible tensor ) nevezzük az operátorok halmazát , ha a csoportot alkotó transzformációk eredményeként a tenzorkomponensek egymáson keresztül transzformálódnak e csoport irreducibilis reprezentációi szerint, azaz kielégíti a következő összefüggést : $G$ ${\displaystyle \psi _{\mu }^{(\alpha )))$ ${\displaystyle \psi _{\nu }^{(\beta )))$ ${\displaystyle D^{(\alpha )))$ ${\displaystyle D^{(\beta )))$ $f_{k}$ $\{{\hat {F}}_{\chi }^{(k)}\}_{1}^{f_{k}}$ $g$ $G$ ${\displaystyle {\hat {F}}_{\chi }^{(k)))$ $D^{(k)}$

{\tilde {\hat {F}}}_{\chi }^{(k)}=\sum _{\chi '}D_{\chi '\chi }^{(k)}(g ){\hat {F}}_{\chi '}^{(k)}.

A vektorok ahol a reprezentáció alapját képezik . Ez az ábrázolás általában véve redukálható. Ezért reprezentálható irreducibilis reprezentációk bázisvektorainak lineáris kombinációiként, amelyekbe a reprezentációk (fent említett) közvetlen szorzata fel van osztva . Ehhez a csoport általánosított Clebsh-Gordan együtthatóit használjuk . $|{\hat {F}}_{\chi }^{(k)}\psi _{\nu }^{(\beta )}\rangle$ ${\displaystyle \chi =1,\;2,\;\ldots ,\;f_{k};\;\nu =1,\;2,\;\ldots ,\;f_{\beta ))$ ${\displaystyle D^{(k)}\times D^{(\beta )))$ ${\displaystyle D^{(\gamma )))$ $G$ $\langle k\chi ,\;\beta \nu \vert \gamma \rho \rangle$

|{\hat {F}}_{\chi }^{(k)}\psi _{\nu }^{(\beta )}\rangle =\sum _{\gamma \rho }\langle k\chi ,\;\beta \nu \vert \gamma \rho \rangle \({\hat {F))^{(k)}\psi ^{(\beta )}\}_{\rho }^ {\gamma }.

Egy csoport általánosított Clebsch-Gordan együtthatóit úgy definiáljuk, mint az irreducibilis reprezentációk bázisvektorainak a reprezentációk közvetlen szorzatának lineáris kombinációjába való kiterjesztésének együtthatóit . ${\displaystyle {\hat {D}}^{(\gamma )))$ ${\displaystyle {\hat {D}}^{(\alpha )}\times {\hat {D}}^{(\beta )))$

\{V^{(\alpha )}V^{(\beta )}\}_{\rho }^{\gamma }=\sum _{\mu ,\;\nu }\langle \alpha \mu ,\;\beta \nu \vert \gamma \rho \rangle V_{\mu }^{(\alpha )}V_{\nu }^{(\beta )},

ahol a reprezentációk bázisvektorai , és a reprezentáció bázisvektorai : . ${\displaystyle V_{\mu }^{(\alpha )},V_{\nu }^{(\beta )))$ ${\displaystyle {\hat {D}}^{(\alpha )},\;{\hat {D}}^{(\beta )))$ $\{V^{(\alpha )}V^{(\beta )}\}_{\rho }^{\gamma }$ ${\displaystyle {\hat {D}}^{(\gamma )))$ ${\displaystyle {\hat {D}}^{(\alpha )}\times {\hat {D}}^{(\beta )}=\sum _{\gamma }^{\oplus }a^{( \gamma )}{\hat {D}}^{(\gamma )))$

A Clebsch-Gordan együtthatók definíciójából következik: . $V_{\mu }^{(\alpha )}V_{\nu }^{(\beta )}=\sum _{\gamma \rho }\langle \alpha \mu ,\;\beta \nu \vert \gamma \rho \rangle \{V^{(\alpha )}V^{(\beta )}\}_{\rho }^{\gamma }$
A Clebsch-Gordan együtthatók egységes mátrixot alkotnak.

Lásd még

Linkek

Táblázat példákkal a és egyes értékeire ( $j_{1}$ $j_{2}$ PDF, 70 kB) ( Megjegyzés : ez a táblázat feltételezi, hogy az együttható értékének négyzetgyökét kell venni)

Irodalom

Sobelman II. Bevezetés az atomspektrumok elméletébe. - Irodalmi Kiadó, 1963.
Blokhintsev D. I. A kvantummechanika alapjai. — 5. kiadás. - Nauka, 1976. - 664 p.