Születési és megsemmisítési operátorok

A létrehozási és megsemmisítési operátorok olyan matematikai operátorok , amelyeket széles körben használnak a kvantummechanikában , különösen a kvantumharmonikus oszcillátorok és sokrészecskés rendszerek tanulmányozásában [1] . A kvantumtérelméletben a kvantált mezők hullámfüggvényei operátor jelentéssel bírnak, és operátorokra bomlanak a részecskék létrehozására és megsemmisítésére [2] . Az annihilációs operátor (általában jelöléssel ) eggyel csökkenti az adott állapotban lévő részecskék számát. A létrehozási operátor (általában jelöléssel jelölve ) eggyel növeli az adott állapotban lévő részecskék számát; konjugált az annihilációs operátorhoz. Ezeket az operátorokat használják hullámfüggvények helyett a fizika és a kémia számos területén ( második kvantálás ). A teremtés és a megsemmisítés operátorainak fogalmát Paul Dirac [3] vezette be a tudományba . ${\hat {a}}$ ${\kalap {a}}^{\tőr }$

A teremtés és a megsemmisítés operátorai különböző típusú részecskék állapotát befolyásolhatják. Például a kvantumkémiában és a soktest-elméletben a teremtés és a megsemmisítés operátorai gyakran befolyásolják az elektronikus állapotokat. Kifejezetten utalhatnak a kvantumharmonikus oszcillátor létraoperátoraira is . Utóbbi esetben a növelés (csökkentés) operátort létrehozó (megsemmisítés) operátorként értelmezzük, amely energiakvantumot ad hozzá (eltávolít) az oszcillátorrendszer(ek)hez. Használhatók fononok ábrázolására .

A bozonképző és annihilációs operátorok matematikája ugyanaz, mint a kvantumharmonikus oszcillátor létraoperátoraié . Például az azonos bozonállapothoz tartozó létrehozási és megsemmisítési operátorok kommutátora egyenlő eggyel, míg az összes többi kommutátor eltűnik. A matematika azonban más a fermionok esetében, mivel kommutátorok helyett antikommutátorokat használnak [4] .

Definíció

Legyen egy egyrészecskés Hilbert-tér (vagyis bármely Hilbert-tér, amely egyetlen részecske állapotát reprezentálja). ( A Hilbert tér feletti bozonikus KKS algebra olyan adjunkt operátorokkal ( * -mal jelölve ) rendelkező algebra, amelyet elemek absztrakt módon generálnak , ahol a -hoz tartozik , figyelembe véve a kapcsolatokat: $H$ $H$ $a(f)$ $f$ $H$

[a(f),a(g)]=[a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)]=0

[a(f),a^{\dagger }(g)]=\langle f\mid g\rangle ,

melltartóban és ket jelölésben .

A KKS bozonikus algebrára való leképezésnek komplex antilineárisnak kell lennie . Az elemhez fűződő konjugátum , a leképezés pedig komplex lineáris H -ben . Így saját CCR algebrájának komplex vektoraltereként használják. Ennek az algebrának az ábrázolásában az elem annihilációs operátorként és létrehozási operátorként kerül megvalósításra. $a:f\to a(f)$ $H$ $a(f)$ $a^{\dagger }(f)$ $f\to a^{\dagger }(f)$ $H$ $a(f)$ $a^{\dagger }(f)$

Általános esetben a KKS algebra végtelen dimenziós. Ha egy Banach-teret befejezünk, akkor abból C*-algebra lesz . A KKS-algebra over szorosan kapcsolódik, de nem azonos a Weil-algebrával . $H$

A fermionok esetében a (fermionikus) CAS over -algebra hasonlóan épül fel, de ehelyett antikommutációs relációkat használ , nevezetesen $H$

\{a(f),a(g)\}=\{a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\}=0

\{a(f),a^{\dagger }(g)\}=\langle f\mid g\rangle .

A CAS algebra csak akkor véges dimenziós, ha véges dimenziós. Ha egy Banach-teret vesszük (csak végtelen dimenziós esetben szükséges), akkor abból algebra lesz. A CAS algebra szorosan kapcsolódik a Clifford algebrához , de nem azonos azzal . $H$ $C^{*}$

Az operátor fizikai jelentése az , hogy elpusztítja az állapotú részecskét, miközben létrehozza az állapotú részecskét . $a(f)$ $|f\rangle$ $a^{\dagger }(f)$ $|f\rangle$

A szabad tér vákuumállapota a részecskék nélküli állapot , amelyet a következőképpen jellemeznek: $\left|0\right\rangle$

a(f)\left|0\right\rangle =0.

Ha így normalizáljuk , akkor megadja az állapotban lévő részecskék számát . $|f\rangle$ $\langle f|f\rangle =1$ $N=a^{\dagger }(f)a(f)$ $|f\rangle$

Teremtési és megsemmisítési operátorok a kvantumtérelméletekben

A kvantumtérelméletekben és a soktest-problémában a kvantumállapotok létrehozásának és megsemmisítésének operátorait és , használják . Ezek az operátorok megváltoztatják a részecskeszám-operátor sajátértékeit , $a_{i}^{\dagger }$ ${\displaystyle a_{i}^{\,))$

{\displaystyle N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,))

egységenként, a harmonikus oszcillátorhoz hasonlóan. Az alsó indexek (például ) kvantumszámokat jelentenek , amelyek a rendszer egyrészecskés állapotait jelölik; ezért nem feltétlenül egyes számok. Például a kvantumszámok sorát használjuk a hidrogénatom állapotainak ábrázolására . $én$ $(n,l,m,s)$

A létrehozási és megsemmisítési operátorok kommutációs relációi egy több bozonos rendszerben:

[a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }]\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }-a_{j}^ {\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},

[a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }]=[a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}]=0,

hol van a kommutátor és a Kronecker szimbólum . $[\ \ ,\ \ ]$ $\delta _{{ij}}$

Fermionoknál a kommutátort egy antikommutátor helyettesíti , ${\displaystyle \{\ \ ,\ \ \))$

\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\}\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }+a_{j }^{\tőr }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},

\{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}=\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}\} =0.

Ezért a nem átfedő (azaz ) operátorok cseréje a létrehozási vagy megsemmisítési operátorokban előjelet vált a fermionrendszerekben, de nem a bozonrendszerekben. $i\neq j$

Ha az i -vel jelölt állapotok egy H Hilbert-tér ortonormális bázisai , akkor ennek a konstrukciónak az eredménye megegyezik az előző részben a CCR algebra és a CAR algebra felépítésével. Ha valamilyen operátor folytonos spektrumának megfelelő sajátvektorokat képviselnek , mint a nem kötött részecskéknél a QFT-ben, akkor az értelmezés finomabb.

Lásd még

Fock tér
Segal–Bargman tér
Optikai fázistér
Bogolyubov átalakulás
Holstein-Primakov átalakulás
Jordan–Wigner átalakulás
Jordánia térképezése
Klein transzformáció
Kanonikus kommutációs reláció

Jegyzetek

↑ Feynman, 1975 , p. 175.
↑ Bogolyubov, 1957 , p. 69.
↑ Dirac, PAMD (1927). A sugárzás kibocsátásának és abszorpciójának kvantumelmélete , Proc Roy Soc London Ser A , 114 (767), 243-265.
↑ Feynman, 1975 , p. 200-201.

Irodalom

R. Feynman . Statisztikai mechanika. - M . : Mir, 1975. - 407 p.
N. N. Bogolyubov és D. V. Shirkov . Bevezetés a kvantált mezők elméletébe. - M . : Állami Műszaki és Elméleti Irodalmi Kiadó, 1957. - 441 p.