Szabad mező
A szabad tér olyan fizikai mező , amelynek kvantumai nem kölcsönhatásban lévő részecskék, és amelyet energiával és impulzussal írnak le. [1] A szabad mezők különböző részecskéknek felelnek meg, és ezek a részecskék leírásának alapját jelentik a kölcsönható mezők elméletének keretében. [2]
Leírás
A klasszikus fizikában a szabad tér olyan mező, amelynek mozgásegyenleteit lineáris parciális differenciálegyenletek (PDE) adják meg . [1] Egyedi megoldásuk van egy adott kezdeti feltételre.
A kvantumtérelméletben az operátorértékekkel általánosított függvényekkel matematikailag leírt kvantált mező szabad mező , ha eleget tesz valamilyen lineáris PDE-nek, így egy klasszikus mezőre ugyanazon lineáris PDE megfelelő esete az Euler lesz. -Lagrange-egyenlet valamilyen másodfokú Lagrange -egyenlethez . [1] Ezeket az általánosított függvényeket úgy tudjuk megkülönböztetni, hogy deriváltjaikat differenciált általánosított függvényekkel határozzuk meg . További részletekért lásd az általános funkciót . Mivel nem közönséges általános függvényekkel van dolgunk, hanem általános függvényekkel, operátorértékekkel, egyértelmű, hogy ezek a PDE-k nem állapotkorlátozások, hanem a kiterjesztett mezők közötti kapcsolatokat írják le. Az operátorok a PDE mellett egy másik relációt is kielégítenek, a kommutációs és antikommutációs relációt.
Kanonikus kommutációs reláció
Jellemzően kommutátor ( bozonoknál ) vagy antikommutátor fermionoknál , két kiterjesztett mező esetén Peierls-zárójelben [en] van az idők szorzata a mező ( amit egy igazán általánosított, nem egy közönséges függvény ír le), az általánosított kiterjesztett függvénymezők parciális differenciálegyenletéhez. Matematikailag ezt a CCR és a CAR algebra írja le .
A végtelen sok szabadságfokkal rendelkező CCR/CAR algebráknak sok nem egyenértékű irreducibilis egységnyi reprezentációja van. Ha az elméletet Minkowski téren definiáljuk , akkor választhatunk egy egységes irreducibilis reprezentációt, amely tartalmazza a vákuum állapotot , bár ez nem mindig szükséges.
Példa
Legyen egy általánosított függvény operátorértékkel és PDE-vel (Klein-Gordon):
.
Ez a bozonikus mező. Általánosított függvény meghatározása Peierls zárójelekkel
Akkor,
hol van a klasszikus mező és vannak a Peierls zárójelek.
Ezután a kanonikus kommutációs reláció
.![{\displaystyle [\phi [f],\phi [g]]=i\Delta [f,g]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0f9297fe8d6d53461b570599cbcc7891908537)
Vegye figyelembe, hogy ez egy általánosított függvény két argumentummal, és végtelenül kiterjeszthető.
Hasonlóan ragaszkodhatnánk ehhez
![{\displaystyle {\mathcal {T}}\{[((\partial ^{\mu }\partial _{\mu }+m^{2})\phi )[f],\phi [g]]\ }=-i\int d^{d}xf(x)g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51848760784065569b2062c0879950a27fcfbc43)
ahol az időrendező operátor és a és térbeli négydimenziós intervallum választja el egymástól .
.
![{\displaystyle [\phi [f],\phi [g]]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6605eb8bee06db5e4bc1d0f9e20003a50fc5da41)
Lásd még
- Normál rendelés
- Wick-tétel (a kvantum elektrodinamikában)
Jegyzetek
- ↑ 1 2 3 Thirring, 1964 , p. 53.
- ↑ Bogolyubov, 1957 , p. 26.
Irodalom
- Walter E. Thirring A kvantumelektrodinamika alapelvei. - M . : Felsőiskola, 1964. - 226 p.
- N. N. Bogolyubov és D. V. Shirkov . Bevezetés a kvantált mezők elméletébe. - M . : Állami Műszaki és Elméleti Irodalmi Kiadó, 1957. - 441 p.