KKS és KAS algebrák

A KKS-algebrákat ( kanonikus kommutációs relációk alapján ) és a KAS-algebrákat (kanonikus antikommutációs viszonyok alapján) használják a kvantummechanika, a kvantumstatisztikai mechanika és a kvantumtérelmélet matematikai apparátusában az összes elemi részecske statisztikáinak és megfigyelhető tulajdonságainak leírására . ] bozonok és fermionok , ill. [2] .

KKS-algebrák és KAS-algebrák mint *-algebrák

Legyen egy valós vektortér , amely egy nem degenerált valós antiszimmetrikus bilineáris formával van felszerelve (azaz szimplektikus vektortér ). unitális *-algebra , amelyet azok az elemek generálnak , amelyekben a relációk érvényesek $V$ $(\cdot ,\cdot )$ $V$

fg-gf=i(f,g)

f^{*}=f

mert bármely in- t a kanonikus kommutációs relációk algebrájának (KKS-algebra) nevezzük . $f,g$ $V$

Ha éppen ellenkezőleg, az elemek által generált unitális *-algebrát egy nem degenerált valós szimmetrikus bilineáris alakkal ruházzuk fel , amelyben az összefüggések $V$ $(\cdot ,\cdot )$ $V$

fg+gf=(f,g)

f^{*}=f

mert all in a kanonikus antikommutációs relációk algebrája (CAS-algebra) . $f, g$ $V$

CKS C*-algebra

Létezik egy különálló, de szorosan összefüggő KKS-algebra, az úgynevezett KKS C*-algebra. Legyen egy valós szimplektikus vektortér nem szinguláris szimplektikus alakkal . Az operátoralgebrák elméletében a KKS over egy unitális C*-algebra , amelyet a tulajdonságokkal rendelkező elemek generálnak. $H$ $(\cdot ,\cdot )$ $H$ ${\displaystyle \{W(f):f\in H\))$

W(f)W(g)=e^{-i(f,g)}W(f+g)

W(f)^{*}=W(-f)

Ezeket a kanonikus kommutációs relációk Weyl-formájának nevezik, és különösen azt jelentik, hogy minden elem egységes és . Köztudott, hogy a KKS-algebra egy egyszerű, nem szétválasztható algebra, és az izomorfizmusig egyedülálló. [3] $W(f)$ $W(0)=1$

Amikor egy Hilbert-tér , és a belső szorzat képzeletbeli része adja meg, akkor a KKS-algebra megbízhatóan reprezentálható a feletti szimmetrikus Fock-téren , a kapcsolat segítségével: $H$ $(\cdot, \cdot)$ $H$

W(f)\left(1,g,{\frac {g^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {g^{\otimes 3}}{3!}}, \ldots \right)=e^{-{\frac {1}{2}}||f||^{2}-\langle f,g\rangle }\left(1,f+g,{\frac {(f+g)^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {(f+g)^{\otimes 3}}{3!}}),\ldots \right)

bármely . A mezőoperátorok mindegyikhez a szimmetrikus Fock tér egyparaméteres unitárius csoportjának generátoraiként vannak definiálva. Ezek önadjungált unbounded operátorok , de formálisan kielégítik a relációt $f,g\in H$ $B(f)$ $f\in H$ $(W(tf))_{t\in \mathbb {R} }$

B(f)B(g)-B(g)B(f)=2i\mathrm {Im} \langle f,g\rangle

Mivel a reláció valós-lineáris, ezért az operátorok egy KKS-algebrát definiálnak az 1. szakasz értelmében . $f\mapsto B(f)$ $B(f)$ $(H,2\mathrm {Im} \langle \cdot ,\cdot \rangle )$

CAS C*-algebra

Legyen Hilbert tér. Az operátoralgebrák elméletében a CAS-algebra egy összetett unitális *-algebra egyedi C*-kiegészítése , amelyet elemek generálnak , figyelembe véve az összefüggéseket. $H$ ${\displaystyle \{b(f),b^{*}(f):f\in H\))$

b(f)b^{*}(g)+b^{*}(g)b(f)=\langle f,g\rangle ,\,

{\megjelenítési stílus b(f)b(g)+b(g)b(f)=0,\,}

\lambda b^{*}(f)=b^{*}(\lambda f),\,

b(f)^{*}=b^{*}(f),\,

mindenkinek , . Ha elválasztható, a CAS-algebra egy megközelítőleg véges dimenziós C*-algebra , és a végtelen dimenziós esetén gyakran így írják . [négy] $f,g\in H$ $\lambda \in \mathbb {C}$ $H$ $H$ ${\displaystyle {M_{2^{\infty }}(\mathbb {C} )))$

Legyen egy antiszimmetrikus Fock-tér és legyen egy ortogonális vetület az antiszimmetrikus vektorokra: $F_{a}(H)$ $H$ $P_a$

P_{a}:\bigoplus _{n=0}^{\infty }H^{\otimes n}\to F_{a}(H).\,

A CAS-algebrát a relációt használva pontosan ábrázoljuk $F_{a}(H)$

b^{*}(f)P_{a}(g_{1}\otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n})=P_{a}(f\otimes g_{1} \otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n})\,

mindenkinek és . Az a tény, hogy C*-algebrát alkotnak, azzal magyarázható, hogy az antiszimmetrikus Fock-térben a teremtés és az annihiláció operátorai korlátos operátorok . Ráadásul a mezőoperátorok kielégítik a kapcsolatot $f,g_{1},\ldots ,g_{n}\in H$ $n\in \mathbb {N}$ $B(f):=b^{*}(f)+b(f)$

B(f)B(g)+B(g)B(f)=2\mathrm {Re} \langle f,g\rangle ,\,

hivatkozást adva az 1. fejezethez .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Segal I. A relativisztikus fizika matematikai problémái. - M., Mir, 1968. - p. 51-52
↑ Bratteli, Ola. Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics: v.2 / Ola Bratteli, Derek W. Robinson. - Springer, 2. kiadás, 1997. - ISBN 978-3-540-61443-2 .
↑ Petz, Denes. Meghívó a kanonikus kommutációs relációk algebrájához . - Leuven University Press, 1990. - ISBN 978-90-6186-360-1 . Archiválva : 2019. augusztus 15. a Wayback Machine -nél
↑ Evans, David E. Quantum Symmemetries in Operator Algebras / David E. Evans, Yasuyuki Kawahigashi . - Oxford University Press, 1998. - ISBN 978-0-19-851175-5 .