Bogolyubov átalakulás

Az elméleti fizikában a Bogolyubov-transzformációt 1958-ban Nikolai Bogolyubov találta meg , hogy megoldást találjon a BCS-elméletre egy homogén rendszerben [1] [2] . A Bogolyubov-transzformációt gyakran használják a Hamilton-féle diagonalizálásra , ezáltal stacionárius megoldásokat adva a Schrödinger-egyenletre . A Bogolyubov-transzformáció az Unruh-effektus , a Hawking-sugárzás és a párosítási effektusok megértéséhez is fontos a magfizikában.

A bozonok esete

Tekintsük a kanonikus kommutációs relációt a bozon létrehozására és az annihilációra vonatkozó operátorokra

\left[{\hat {a)],{\hat {a}}^{\dagger }\right]=1~.

Meghatározunk egy új operátorpárt

{\hat {b}}=u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\tőr }

{\hat {b}}^{\tőr }=u^{*}{\hat {a}}^{\tőr }+v^{*}{\hat {a}}~,

ahol a második hermitikus konjugált az elsővel.

A Bogolyubov transzformáció egy kanonikus transzformáció , amely operátorokat és operátorokat társít . Az u és v állandókra vonatkozó feltételek meghatározásához, amelyek mellett a transzformáció kanonikus, kiszámítjuk a kommutátort ${\hat {a}}$ ${\kalap {a}}^{\tőr }$ ${\hat {b}}{\text{ and}}{\hat {b}}^{\dagger }$

\left[{\hat {b)),{\hat {b}}^{\dagger }\right]=\left[u{\hat {a}}+v{\hat {a}} ^{\tőr },u^{*}{\hat {a}}^{\tőr }+v^{*}{\hat {a}}\right]=\cdots =\left(|u|^ {2}-|v|^{2}\jobbra)\bal[{\kalap {a)],{\kalap {a))^{\tőr }\jobbra].

Nyilvánvalóan ez az a feltétel, amely mellett az átalakítás kanonikus. Az u és v konstansok így ábrázolhatók $\,|u|^{2}-|v|^{2}=1$

u=e^{i\theta _{1}}\operátornév {ch} r

v=e^{i\theta _{2}}\operátornév {sh} r~.

A fermionok esete

Antikommutátorhoz

\left\{{\hat {a)),{\hat {a}}^{\dagger }\right\}=1

ugyanaz a transzformáció u -val és v -vel eredményezi

\left\{{\hat {b)),{\hat {b}}^{\dagger }\right\}=(|u|^{2}+|v|^{2})\ balra\{{\kalap {a)),{\kalap {a}}^{\tőr }\jobbra\}

Ahhoz, hogy a transzformáció kanonikus legyen, u és v a következőképpen ábrázolható

u=e^{i\theta _{1}}\cos r\,\!

v=e^{i\theta _{2}}\sin r\,\!.

Jegyzetek

↑ Valatin, JG (1958. március). „Megjegyzések a szupravezetés elméletéhez”. Il Nuovo Cimento . 7 (6): 843-857. Bibcode : 1958NCim....7...843V . doi : 10.1007/ bf02745589 .
↑ Bogoljubov, N. N. (1958. március). „A szupravezetés elméletének új módszeréről”. Il Nuovo Cimento . 7 (6): 794-805. Bibcode : 1958NCim....7..794B . doi : 10.1007/ bf02745585 .