Hipergeometrikus függvény

A hipergeometrikus függvény (Gauss-függvény) a körön belül a hipergeometrikus sorozat összegeként van definiálva. $|z|<1$

F(a,b;c;z)=1+\sum _{{k=1}}^{\infty }\left[\prod _{{l=0}}^{{k-1}}{ (a+l)(b+l) \over (1+l)(c+l)}\jobbra]z^{k}=1+{\frac {ab}{c}}{\frac {z} {1!}}+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\pontok ,

és at - annak analitikus folytatásaként . Ez egy másodrendű lineáris közönséges differenciálegyenlet (ODE) megoldása, amelyet hipergeometriai egyenletnek neveznek. $|z|>1$

Történelem

A "hipergeometrikus sorozat" kifejezést először John Wallis használta 1655-ben az Arithmetica Infinitorum című könyvében . Ez a kifejezés egy sorozatra utal, amelynek általános képlete a következő: [1]

{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n+1)}{2\cdot 4\cdot \ldots \cdot 2n)).

A hipergeometrikus sorozatokat Leonhard Euler , részletesebben Gauss [2] tanulmányozta . A 19. században a vizsgálatot Ernst Kummer folytatta, és Bernhard Riemann a hipergeometrikus függvényt az általa kielégített egyenlet alapján határozta meg.

Hipergeometriai egyenlet

Tekintsük az Euler-differenciálegyenletet , ahol az a , b és c paraméterek tetszőleges komplex számok lehetnek. Tetszőleges szabályos szinguláris pontokra történő általánosítását a Riemann differenciálegyenlet adja meg . Az Euler-egyenletnek három szinguláris pontja van : 0, 1 és . $z(1-z){\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+[c-(a+b+1)z]{\frac {du}{dz}}-abu =0,$ $\infty$

Ha a paraméter nem egyenlő nullával és negatív egész számokkal , akkor a reguláris nulla Euler-egyenlet megoldása egy hipergeometrikus sorozaton keresztül írható fel: $c$ $(c\neq 0,-1,-2,\ldots )$

_{2}F_{1}(a,b;c;z)\equiv F(a,b;c;z)=1+{\frac {ab}{c}}{\frac {z}{1 !}}+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\pontok .

Ezt a függvényt hipergeometrikusnak nevezzük. Gyakran használt jelölés ( Pochhammer szimbólum )

(p)_{n}={\frac {\Gamma (p+n)}{\Gamma (p))),

hol van a gamma függvény . Ekkor a hipergeometrikus függvény a következőképpen ábrázolható $\Gamma$

F(a,b;c;z)=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}z^{n}} {(c)_{n}n!}}.

A jelölés azt jelzi, hogy két paraméter van, a és b, „a számlálóhoz megy”, és egy c, „a nevezőhöz megy”. A határon az a sorozat, amelyen keresztül a hipergeometrikus függvény definiálva van, abszolút konvergál , ha az összeg valós része , feltételesen konvergál -hoz , és divergál, ha . Az Euler-differenciálegyenlet második lineárisan független megoldásának alakja $_{2}F_{1}(a,b;c;z)$ $|z|=1$ $a+bc<0$ $z\neq 1$ $0\leq a+bc<1$ $a+bc\geq 1$

\z^{{1-c}}F(b-c+1,a-c+1;2-c;z)

Szinguláris pontja van, és minden nem pozitívra érvényes . [3] $z=0$ $c$ $(c=0,-1,-2,\lpont )$

A hipergeometrikus függvény integrálábrázolása itt (Euler-képlet) a következőképpen írható fel: ${\text{Re}}(c)>{\text{Re}}(b)>0$

F(a,b;c;z)={\Gamma (c) \over \Gamma (b)\Gamma (cb)}\int \limits _{{0}}^{{1}}t^{{ b-1}}(1-t)^{{cb-1}}(1-tz)^{{-a}}\,dt,

hol van az Euler gammafüggvény . Ez a kifejezés egy egyértékű analitikai függvény a komplex síkon, a valós tengely mentén -tól -ig vágva, és analitikus folytatást biztosít a teljes komplex síkra a csak pontban konvergáló hipergeometrikus sorozatok számára . $\gamma (x)$ $z$ $egy$ $\infty$ $\left|z\right|<1$

Privát értékek itt: $z=1/2$

A második Gauss-összegzési tételt a következő képlet fejezi ki:

_{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac 12}\left(1+a+b\right);{\tfrac 12}\right)={\frac {\Gamma ({\ tfrac 12})\Gamma ({\tfrac 12}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac 12}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac 12}\left(1+b\right)))}}.

Bailey tételét a következő képlet fejezi ki:

_{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac 12}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac 12}c)\Gamma ({\tfrac 12} \left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac 12}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac 12}\left(1+ca\right)))) .

Egyéb függvények írása hipergeometriai szempontból

A hipergeometrikus függvény fontos tulajdonsága, hogy bizonyos paraméterértékekkel és a független argumentum transzformációjával számos speciális és elemi függvény nyerhető belőle.

Példák

$\left(1+x\right)^{n}=F(-n,b;b;-x)$
$x^{n}=F\bal(-n,b;b;1-x\jobb)$
${1 \over x}\ln(1+x)=F(1,1;2;-x)$

{1 \over x}\arcsin(x)=F\left({\frac {1}{2)),{\frac {1}{2));{\frac {3}{2));x ^{2}\jobbra)

$e^{x}=\lim _{{n\to \infty }}F\left(1,n;1;{x \over n}\right)$
$\cos x=\lim _{{a,\;b\to \infty }}F\left(a,b;{\frac {1}{2));-{\frac {x^{2}} {4ab}}\jobbra)$
$\cosh x=\lim _{{a,\;b\to \infty }}F\left(a,b;{\frac {1}{2}};{x^{2} \over 4ab}\ jobb)$
Az első típusú teljes elliptikus integrál : $K(k)=\int \limits _{{0}}^{{\pi /2}}\!{\frac {d\varphi }{{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{ 2}\varphi ))))={\frac {\pi }{2))F\left({\frac {1}{2)),{\frac {1}{2));1;k^ {2}\jobbra)$
Második típusú teljes elliptikus integrál : $E(k)=\int \limits _{{0}}^{{\pi /2}}\!{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}\,d \varphi ={\frac {\pi }{2}}F\left(-{\frac {1}{2)),{\frac {1}{2));1;k^{2}\jobb )$
Legendre polinom : $P_{n}(x)=F(n+1,-n;1;{\frac {1-x}{2)))$
Kapcsolódó Legendre funkció : $P_{{n,\;m}}(x)=(1-x^{2})^{({\frac {m}{2}}}}{\Gamma (n+m+1) \over 2^{m}\Gamma (n-m+1)\Gamma (m+1)}F\left(n+m+1,mn;m+1;{\frac {1-x}{2)) \jobb)$
Bessel funkciók : $J_{\nu }(x)=\lim _{a,\;b\to \infty }\left[{\frac {\left({\dfrac {x}{2))\right)^ {\nu }}{\Gamma (\nu +1)}}F\left(a,b;\nu +1;-{\frac {x^{2}}{4ab}}\right)\right]$
Kummer (Pochhammer) függvény, vagy degenerált hipergeometrikus függvény $M(a,c,z)={}_{1}F_{1}(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }F(a,b;c;z/ b)$ megoldása a degenerált hipergeometriai egyenletre $z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(cz){\frac {dw}{dz}}-aw=0.$
Egy degenerált hipergeometrikus függvény egész szám, nem pozitív első argumentummal egy általánosított Laguerre-polinom : $L_{n}^{\lambda }(x)={}_{1}F_{1}(-n,\lambda ,x).$

Identitások

$27\,(z-1)^{2}\cdot {_{2}F_{1}}\left({\tfrac {1}{4)),{\tfrac {3}{4} };{\tfrac {2}{3}};z\right)^{8}+18\,(z-1)\cdot {_{2}F_{1}}\left({\tfrac {1 }{4)),{\tfrac {3}{4}};{\tfrac {2}{3}};z\right)^{4}-8\cdot {_{2}F_{1}} \left({\tfrac {1}{4)),{\tfrac {3}{4));{\tfrac {2}{3));z\right)^{2}=1$
És az előző kifejezés egy csodálatos különleges esete: $_{2}F_{1}\left({\frac {1}{4)),{\frac {3}{4));\,{\frac {2}{3));\ ,{\frac {1}{3}}\right)={\frac {1}{\sqrt ({\sqrt ({\frac {4}{\sqrt {2-{\sqrt[{3}]{ 4}}}}}+{\sqrt[{3}]{4}}+4}}-{\sqrt {2-{\sqrt[{3}]{4}}}}-2}}}$

Jegyzetek

↑ Scott, 1981 , p. 16.
↑ Vinogradov, 1977 , p. 1004.
↑ Bateman, Erdeyi, 1. kötet, 1973 , p. 69-70.

Irodalom

Matematikai enciklopédia / Szerk. I. M. Vinogradova. - M. , 1977. - T. 1.
Bateman G., Erdeyi A. Magasabb transzcendentális funkciók = Higher Transcendental Functions / Per. N. Ya. Vilenkina. - Szerk. 2.,. - M. : Nauka, 1973. - T. 1. - 296 p. - 14.000 példány.
Kuznetsov D. S.: Speciális funkciók - M .: "Felsőiskola", 1962
Landau L. D. , Lifshits E. M. Kvantummechanika (nem relativisztikus elmélet). — 4. kiadás. — M .: Nauka , 1989. — 768 p. - (" Elméleti fizika ", III. kötet). - ISBN 5-02-014421-5 . - matematikai összeadások
Kazuhiko Aomoto, Michitake Kita. Hipergeometriai függvények elmélete / Ford. írta: Kenji Iohara. - Springer, 2011. - 20. évf. 305. - 317 p. — (Springer-monográfiák a matematikában sorozat). — ISBN 9784431539124 .
Scott JF John Wallis, DD, FRS, (1616-1703) matematikai munkája. - American Mathematical Soc., 1981. - 240 p. – (Chelsea Publishing Series). — ISBN 9780828403146 .

Szótárak és enciklopédiák	Nagy Szovjet (1 kiadás) Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	NKC : ph161655