Ostrogradsky módszer

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. március 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 7 szerkesztést igényelnek .

Osztrogradszkij módszere olyan racionális függvények integrálásának módszere, ahol a nevezőben több irreducibilis tényező szerepel. A módszer lehetővé teszi, hogy csak algebrai műveleteket használjunk egy tetszőleges racionális függvény integrálásának problémájára a nevezőben több gyök nélküli racionális függvény integrálásának problémájára.

Történelem

Az Ostrogradsky-módszer M. V. Ostrogradsky nevéhez fűződik , aki először 1844. november 22-én, a Tudományos Akadémia Fizikai és Matematikai Tanszékének ülésén javasolta [1] , a következő évben megjelent franciául [2] , a cikket lefordították. oroszul 1958-ban. [ egy]

A módszer leírása

A racionális függvény bármely integrálja ábrázolható

\int {\frac {P(x)}{Q(x)}}dx={\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)))+\int {\ frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}} dx

Itt van a polinom összes irreducibilis tényezőjének szorzata a multiplicitás figyelembevétele nélkül (vagyis a polinom minden irreducibilis tényezője egyszer fordul elő a polinom felbontásában), a polinom összes irreducibilis tényezőjének szorzata csökkentett multiplicitással. 1-gyel (a multiplicitási polinom minden irreducibilis tényezője a polinomidők dekompozíciójában fordul elő ). A tört helyes. Ezt a képletet Ostrogradsky-képletnek nevezik . itt van a racionális függvény integráljának algebrai (racionális) része , és ez a transzcendentális része . $Q_{2}(x)$ $Q(x)$ $Q(x)$ $Q_{2}(x)$ $Q_{1}(x)$ $Q(x)$ $Q(x)$ $n$ $Q_{1}(x)$ $n-1$ ${\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)))$ ${\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)))$ $\int {\frac {P(x)}{Q(x)}}dx$ $\int {\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}}dx$

A módszer lényege a következő. Polinomokat írunk és határozatlan együtthatókkal: $P_{1}(x)$ $P_{2}(x)$

{\displaystyle P_{1}(x)=A_{s}x^{s}+\ldots +A_{1}x+A_{0))

{\displaystyle P_{2}(x)=B_{r}x^{r}+\ldots +B_{1}x+B_{0))

A polinomok fokszámait később megtudhatja, vagy előre is biztosra veheti. Engedd tovább . Az integrál alatti törtnek helyesnek kell lennie, így a fokot felvehetjük . Ha az eredeti tört helyes volt, akkor helyes, és a fokszámot vehetjük úgy, mint . Ha hibás, akkor válassza ki az egész részt, és csökkentse a törtet a megfelelőre (vagy vegyen olyan fokot, hogy a bal és a jobb oldali egész rész fokszáma egybeessen). $\operátornév {deg} {P}=n,\ \operátornév {deg} {Q}=m,\ \operátornév {deg} {Q_{2}}=p,\ \operátornév {deg} {Q_{ 1}}=mp$ $P_2$ $p-1$ ${\frac {P_{1}}{Q_{1}}}$ $P_1$ $mp-1$

Most ezeknek a polinomoknak az együtthatóit a határozatlan együtthatók módszerével találhatjuk meg. Tegyük meg ezt az egyenlőséget.

{\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {P_{1}'(x)Q_{1}(x)-P_{1}(x)Q_{1 }'(x)}{Q_{1}^{2}(x)}}+{\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)))

Szorozd meg mindkét oldalt -vel . $Q(x)$

P(x)={\frac {P_{1}'(x)Q(x)}{Q_{1}(x)))-{\frac {P_{1}(x)Q_{1 }'(x)Q(x)}{Q_{1}^{2}(x)))+{\frac {P_{2}(x)Q(x)}{Q_{2}(x)} }=P_{1}'(x)Q_{2}(x)-P_{1}(x){\frac {Q_{1}'(x)Q_{2}(x)}{Q_{1} (x)}}+P_{2}(x)Q_{1}(x)

Az egyenlőség mindkét oldala polinomokat tartalmaz. itt is van egy polinom, mivel osztható -vel . Egyenlőítjük az együtthatókat egyenlő hatványokon, és megkapjuk a lineáris algebrai egyenletrendszert . Megoldása eredményeként megkapjuk a polinomok és a együtthatóit . $P_{1}(x){\frac {Q_{1}'(x)Q_{2}(x)}{Q_{1}(x)))$ $Q_{1}'(x)Q_{2}(x)$ $Q_{1}(x)$ $P_{1}(x)$ $P_{2}(x)$

Ennek eredményeként az eredeti integrált a formában mutattuk be . A probléma egy olyan tört integrálására redukálódott, amelyben a nevezőben nem szerepel több irreducibilis tényező. ${\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}+\int {\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x))) dx$

A képlet lehetővé teszi a polinomok és a fokok pontosabb kiválasztását . Ha az összes kifejezés hatványait egyenlővé tesszük, akkor és . $P(x)=P_{1}'(x)Q_{2}(x)-P_{1}(x){\frac {Q_{1}'(x)Q_{2}(x) }{Q_{1}(x)}}+P_{2}(x)Q_{1}(x)$ $P_{1}(x)$ $P_{2}(x)$ $s=n-p+1$ $r=n+pm$

Ostrogradsky módszere lehetővé teszi, hogy azonnal megkapjuk egy racionális függvény integráljának algebrai részét. Sőt, ehhez még az irreducibilisekre való bontást sem szükséges kiszámítani . Valóban, , . A polinomok GCD-je kiszámítható az euklideszi algoritmus segítségével . Így egy racionális függvény integráljának algebrai része az Ostrogradsky-módszerrel, csak algebrai műveletek alkalmazásával kereshető meg. $Q(x)$ $Q_{1}(x)={\text{gcd))(Q,Q')$ $Q_{2}(x)={\frac {Q}({\text{gcd}}(Q,Q')}}$

Bizonyítás

Annak bizonyítása, hogy az Ostrogradsky-formula bármely racionális törtre felírható, azonnal megkapjuk az integrál általános alakjából.

Írjuk fel egy racionális függvény integráljának általános alakját.

\int {\frac {P(x)}{\displaystyle \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}}\displaystyle \prod _{ i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{m_{i))))\,dx={\frac {T(x)}{\ displaystyle \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}-1}\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(x^{2} +p_{i}x+q_{i})^{m_{i}-1}}}+\sum _{i=1}^{l}{A_{i}\ln {|x-x_{i }|}}+\sum _{i=1}^{n}\left({B_{i}\ln(x^{2}+p_{i}x+q_{i})+C_{i} \operátornév {arctg} {\frac {x+r_{i}}{h}}}\right)

${\displaystyle x+r_{i))$ itt van egy lineáris binomiális, amelyet a teljes négyzet kiválasztásával kapunk , azaz . Vigyük az integrál alá a logaritmusokat és az arctangenseket. $x^{2}+p_{i}x+q_{i}$ ${\displaystyle x^{2}+p_{i}x+q_{i}=(x+r_{i})^{2}+h^{2))$

\int {\frac {P(x)}{\displaystyle \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}}\displaystyle \prod _{ i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{m_{i))))\,dx={\frac {T(x)}{\ displaystyle \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}-1}\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(x^{2} +p_{i}x+q_{i})^{m_{i}-1}}}+\int \left(\sum _{i=1}^{l}{\frac {A_{i}} {x-x_{i}}}+\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {B_{i}(2x+p_{i})+C_{i}h}{x ^{2}+p_{i}x+q_{i}}}\jobbra)\jobbra)\,dx

A kapott képlet Osztrogradszkij képlete. Az integrál alatti tört helyes, mert ez a megfelelő törtek összege.

Jegyzetek

↑ 1 2 M. V. Osztrogradszkij. Válogatott művek / Szerk. V. I. Szmirnova . - L . : A Szovjetunió Tudományos Akadémia Kiadója, 1958. - S. 471 . - ( A tudomány klasszikusai ). - 3000 példányban.
↑ M. Osztrogradszkij. De l'integration des fractions rationelles . — Bulletin de la classe physico-mathématique de l'Academie Impériale des Sciences de Saint-Petersbourg. - 1845. - Kt. IV. — ezredes. 145-167, 286-300.