Helyesen kiosztott feladat

A matematikában helyesen feltett probléma olyan  alkalmazott probléma, amelynek matematikai megoldása létezik, egyedi és stabil [1] . Jacques Hadamard definíciójából származik , amely szerint a fizikai jelenségek matematikai modelljeinek a következő tulajdonságokkal kell rendelkezniük:

1. A megoldás létezik.
2. A megoldás egyedi.
3. A megoldás folyamatosan függ az adatoktól valamilyen ésszerű topológiában .

A rosszul feltett probléma  olyan probléma, amely nem rendelkezik a jól feltett probléma tulajdonságaival.

Tipikus jól feltett problémák például a Dirichlet-probléma a Laplace-egyenlethez és a diffúziós egyenlet adott kezdeti feltételek mellett . „Természetes” problémáknak tekinthetők abban az értelemben, hogy léteznek fizikai folyamatok, amelyeket ezekre a problémákra megoldások írnak le. Másrészt a diffúziós egyenlet inverz problémája - az előző hőmérsékleti eloszlás megtalálása a végső adatokból - nem jól felvett, mert megoldása nagyon érzékeny a végső adatok változásaira.

Az inverz problémák nagyon gyakran rosszul megfogalmazottaknak bizonyulnak . Az ilyen folyamatos problémákat gyakran diszkretizálni kell ahhoz, hogy numerikus megoldást kapjunk. Bár a funkcionális elemzés szempontjából ezek a problémák általában folyamatosak, a véges pontosságú számításnál a numerikus megoldás instabilitása vagy az adatok hibái miatt következhetnek be. Helytelen problémák merülhetnek fel a geofizikai , geológiai , csillagászati ​​megfigyelések feldolgozása során, az optimális irányítás és tervezés problémáinak megoldásában .

Hiába van a probléma jól feltéve, akkor is lehet rosszul kondicionált , vagyis a kezdeti adatok kis hibája sokkal nagyobb hibákhoz vezethet a megoldásokban. A rosszul kondicionált feladatokat számos feltételesség különbözteti meg .

Ha a probléma helyesen van megfogalmazva, akkor jó eséllyel numerikus megoldást kapunk egy stabil algoritmus segítségével . Ha a feladat rosszul van beállítva, akkor a megfogalmazását módosítani kell; általában ehhez néhány további feltevést vezetnek be (például azt, hogy a megoldás sima). Ezt az eljárást regularizálásnak nevezik , és a Tyihonov -féle regularizációt használják a legszélesebb körben , amely lineáris, rosszul felállított problémákra alkalmazható.

Jegyzetek

1. ↑ Helyes és rosszul megfogalmazott problémák / A. N. Tyihonov  // Nagy Szovjet Enciklopédia  : [30 kötetben]  / ch. szerk. A. M. Prohorov . - 3. kiadás - M .  : Szovjet Enciklopédia, 1969-1978.

Irodalom

• Hadamard, Jacques. Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique  (francia) . – Princeton Egyetem Bulletin. - 1902. - S. 49-52.
• McGraw-Hill Dictionary of Scientific and Technical Termins  (Eng.) / Parker, Sybil B.. - 4th. - New York: McGraw-Hill Education , 1989. - ISBN 0070452709 .
• Tikhonov, A. N.; Arsenin, VY A rosszul feltett problémák megoldásai  (neopr.) . - New York: Winston, 1977. - ISBN 0470991240 .
• Lavrentev M. M. , Romanov V. G., Shishatsky S. P. A matematikai fizika és elemzés rosszul feltett problémái. - M.: Nauka, 1980.
• Tikhonov A. N. , Arsenin V. Ya. Módszerek a rosszul feltett problémák megoldására. - M.: Nauka, 1974.
• Ivanov VK, Vasin VV, Tanana VP Lineáris rosszul feltett problémák elmélete és alkalmazásai. - M.: Nauka, 1978.
• Tikhonov A. N. , Leonov A. S., Yagola A. G. Nemlineáris rosszul feltett problémák. — M.: Nauka, 1995. — ISBN 5-02-014582-3 .