Algebra a mező felett

A mező feletti algebra egy bilineáris szorzattal ellátott vektortér . Ez azt jelenti, hogy egy mező feletti algebra egyszerre vektortér és gyűrű is, és ezek a struktúrák konzisztensek. Ennek a fogalomnak az általánosítása a gyűrű feletti algebra , amely általában véve nem vektortér, hanem egy gyűrű feletti modul .

Egy algebrát asszociatívnak mondunk, ha a szorzás művelete asszociatív ; ennek megfelelően az egységgel rendelkező algebra olyan algebra, amelyben létezik olyan elem, amely a szorzás szempontjából semleges. Egyes tankönyvekben az "algebra" szó "asszociatív algebrát" jelent, de a nem asszociatív algebráknak is van némi jelentősége.

Definíció

Legyen vektortér egy szorzásnak nevezett művelettel felszerelt mező felett. Ekkor egy algebra véget ér, ha a következő tulajdonságok bármelyikre érvényesek: $A$ $K$ $A\time A\-tól A-ig$ $A$ $K$ $x,y,z\in A,\;a,b\in K$

$(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z$
$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$
$(ax)\cdot (by)=(ab)(x\cdot y)$ .

Ez a három tulajdonság egy szóban kifejezhető azzal, hogy a szorzás művelete bilineáris . Az egységalgebrák esetében gyakran a következő egyenértékű definíciót adják:

A mező felett egységnyi algebra egy olyan gyűrű, amelynek egysége olyan egységű gyűrűk homomorfizmusával van felszerelve, hogy a gyűrű középpontjához tartozik (vagyis az összes többi elemmel való szorzás útján ingázó elemek halmaza). Ezek után feltehetjük, hogy ez egy vektortér a következő skalárral való szorzás műveletével : .

K

A

f:K\to A

f(K)

A

A

K

\alpha \in K

\alpha x=f(\alpha )\cdot x

Kapcsolódó definíciók

Az -algebrák homomorfizmusa olyan -lineáris leképezés, amely bármely tartományra vonatkozik. $K$ $K$ $f(ab)=f(a)\cdot f(b)$ $a,b$
Az algebra egy mező feletti algebrája olyan lineáris altér , amelyben az altér bármely két elemének szorzata ismét ehhez tartozik. Más szóval, egy mező feletti lineáris algebra részhalmaza, ha egy gyűrű részgyűrűje és egy lineáris tér altere [1] . $K$ $U$ $R$ $P$ $R$ $R$
- Az algebra egy elemét algebrainak nevezzük , ha véges dimenziós részalgebrában van.
- Egy algebrát algebrainak nevezünk, ha minden eleme algebrai. [2]

Az -algebra bal oldali ideálja egy lineáris altér, amelyet a gyűrű egy tetszőleges elemével való bal oldali szorzás zár le. Ennek megfelelően a helyes ideál a megfelelő szorzás alatt zárul; a kétoldalú ideál olyan ideál, amely bal- és jobboldali is. Az egyetlen különbség e definíció és a gyűrűideál definíciója között az a követelmény, hogy a mező elemeivel való szorzáskor zárva legyen, az azonosságú algebráknál ez a követelmény automatikusan teljesül. $K$
Az osztási algebra egy olyan mező feletti algebra, amelynek bármely elemére a és egyenletek megoldhatók [3] . Konkrétan egy asszociatív osztási algebra, amelynek egysége van, ferde mező . $a\neq 0$ $b$ $ax=b$ $ya=b$
Az algebra középpontja az olyan elemek halmaza, amelyek bármely elem esetében . $A$ $a\in A$ $xa=ax$ $x\in A$

Példák

Asszociatív algebrák

A komplex számok természetesen egy kétdimenziós algebra a valós számok felett .
A kvaterniók egy négydimenziós algebra valós számok felett.
Az előző két példa egy mező , illetve egy ferde mező, és ez nem véletlen: minden olyan véges dimenziós algebra, amelynek nincs nulla osztója , osztásalgebra. Valójában a bal oldali szorzás ennek az algebrának, mint vektortérnek a lineáris transzformációja , ennek a transzformációnak nulla magja van (mivel nem nulla osztó), ezért szürjektív; konkrétan van egy tetszőleges elem inverz képe , azaz egy olyan elem , amelyre = . A második feltétel hasonlóan igazolódik. $x$ $x$ $b$ $y$ $xy$ $b$
Kommutatív (és végtelen dimenziós) polinomalgebra . $K[x]$
Függvényalgebrák , mint például a (0, 1) intervallumon definiált valós értékű folytonos függvények -algebrája , vagy a komplex sík rögzített nyitott részhalmazán definiált holomorf függvények -algebrája . $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$
Lineáris operátorok algebrái Hilbert -téren .

Nem asszociatív algebrák

Strukturális együtthatók

Az algebrában egy mező feletti szorzást egyedileg bázisvektorok szorzatai határozzák meg. Így egy mező feletti algebra definiálásához elegendő megadni a méretet és a szerkezeti együtthatókat , amelyek a mező elemei. Ezeket az együtthatókat a következőképpen határozzák meg: $K$ $n$ $n^3$ $c_{{i,j,k}}$

{\mathbf {e}}_{{i}}{\mathbf {e}}_{{j}}=\sum _{{k=1}}^{n}c_{{i,j,k} }{\mathbf {e}}_{{k}}

hol van valami alap . Az izomorf algebráknak különböző szerkezeti együtthatók halmazai felelhetnek meg. $(e_{1},e_{2},\ldots e_{n})$ $A$

Ha csak egy kommutatív gyűrű és nem egy mező, akkor ez a leírás csak akkor lehetséges, ha az algebra egy szabad modul . $K$ $A$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Szkornyakov L. A. Az algebra elemei. - M., Nauka, 1986. - p. 190
↑ Jacobson N. Gyűrűk szerkezete . - M .: IL, 1961. - 392 p.
↑ Kuzmin E. N. Algebra felosztással A Wayback Machine 2015. július 14-i archív példánya

Irodalom

Szkornyakov L. A., Shestakov I. P. . fejezet III. Gyűrűk és modulok // Általános algebra / Szerk. szerk. L. A. Szkornyakova . - M . : Tudomány , 1990. - T. 1. - S. 291-572. — 592 p. — (Referencia matematikai könyvtár). — 30.000 példány. — ISBN 5-02-014426-6 .